Theorem setrec2lem1 42440

Description: Lemma for setrec2 42442. The functional part of F has the same values as F. (Contributed by Emmett Weisz, 4-Mar-2021.) (New usage is discouraged.)

Assertion

Ref	Expression
setrec2lem1	|- ( ( F |` { x | E! y x F y } ) ` a ) = ( F ` a )

Distinct variable groups:   x, F, y   x, a, y

Allowed substitution hint:   F( a)

Proof of Theorem setrec2lem1

Step	Hyp	Ref	Expression
1		fvres 6207	. 2 |- ( a e. { x | E! y x F y } -> ( ( F |` { x | E! y x F y } ) ` a ) = ( F ` a ) )
2		dmres 5419	. . . . . . 7 |- dom ( F |` { x | E! y x F y } ) = ( { x | E! y x F y } i^i dom F )
3		inss1 3833	. . . . . . 7 |- ( { x | E! y x F y } i^i dom F ) C_ { x | E! y x F y }
4	2, 3	eqsstri 3635	. . . . . 6 |- dom ( F |` { x | E! y x F y } ) C_ { x | E! y x F y }
5	4	sseli 3599	. . . . 5 |- ( a e. dom ( F |` { x | E! y x F y } ) -> a e. { x | E! y x F y } )
6	5	con3i 150	. . . 4 |- ( -. a e. { x | E! y x F y } -> -. a e. dom ( F |` { x | E! y x F y } ) )
7		ndmfv 6218	. . . 4 |- ( -. a e. dom ( F |` { x | E! y x F y } ) -> ( ( F |` { x | E! y x F y } ) ` a ) = (/) )
8	6, 7	syl 17	. . 3 |- ( -. a e. { x | E! y x F y } -> ( ( F |` { x | E! y x F y } ) ` a ) = (/) )
9		vex 3203	. . . . . . 7 |- a e. _V
10		breq1 4656	. . . . . . . 8 |- ( x = a -> ( x F y <-> a F y ) )
11	10	eubidv 2490	. . . . . . 7 |- ( x = a -> ( E! y x F y <-> E! y a F y ) )
12	9, 11	elab 3350	. . . . . 6 |- ( a e. { x | E! y x F y } <-> E! y a F y )
13	12	notbii 310	. . . . 5 |- ( -. a e. { x | E! y x F y } <-> -. E! y a F y )
14	13	biimpi 206	. . . 4 |- ( -. a e. { x | E! y x F y } -> -. E! y a F y )
15		tz6.12-2 6182	. . . 4 |- ( -. E! y a F y -> ( F ` a ) = (/) )
16	14, 15	syl 17	. . 3 |- ( -. a e. { x | E! y x F y } -> ( F ` a ) = (/) )
17	8, 16	eqtr4d 2659	. 2 |- ( -. a e. { x | E! y x F y } -> ( ( F |` { x | E! y x F y } ) ` a ) = ( F ` a ) )
18	1, 17	pm2.61i 176	1 |- ( ( F |` { x | E! y x F y } ) ` a ) = ( F ` a )

Syntax hints:   -. wn 3   = wceq 1483   e. wcel 1990   E!weu 2470   {cab 2608   i^i cin 3573   (/)c0 3915   class class class wbr 4653   dom cdm 5114   |` cres 5116   ` cfv 5888

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1722  ax-4 1737  ax-5 1839  ax-6 1888  ax-7 1935  ax-8 1992  ax-9 1999  ax-10 2019  ax-11 2034  ax-12 2047  ax-13 2246  ax-ext 2602  ax-sep 4781  ax-nul 4789  ax-pow 4843  ax-pr 4906

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3an 1039  df-tru 1486  df-ex 1705  df-nf 1710  df-sb 1881  df-eu 2474  df-mo 2475  df-clab 2609  df-cleq 2615  df-clel 2618  df-nfc 2753  df-ral 2917  df-rex 2918  df-rab 2921  df-v 3202  df-dif 3577  df-un 3579  df-in 3581  df-ss 3588  df-nul 3916  df-if 4087  df-sn 4178  df-pr 4180  df-op 4184  df-uni 4437  df-br 4654  df-opab 4713  df-xp 5120  df-dm 5124  df-res 5126  df-iota 5851  df-fv 5896

This theorem is referenced by:  setrec2  42442