Theorem shintcli 28188

Description: Closure of intersection of a nonempty subset of SH. (Contributed by NM, 14-Oct-1999.) (New usage is discouraged.)

Hypothesis

Ref	Expression
shintcl.1	|- ( A C_ SH /\ A =/= (/) )

Assertion

Ref	Expression
shintcli	|- |^| A e. SH

Proof of Theorem shintcli

Dummy variables x y z are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		shintcl.1	. . . . 5 |- ( A C_ SH /\ A =/= (/) )
2	1	simpri 478	. . . 4 |- A =/= (/)
3		n0 3931	. . . . 5 |- ( A =/= (/) <-> E. z z e. A )
4		intss1 4492	. . . . . . 7 |- ( z e. A -> |^| A C_ z )
5	1	simpli 474	. . . . . . . . 9 |- A C_ SH
6	5	sseli 3599	. . . . . . . 8 |- ( z e. A -> z e. SH )
7		shss 28067	. . . . . . . 8 |- ( z e. SH -> z C_ ~H )
8	6, 7	syl 17	. . . . . . 7 |- ( z e. A -> z C_ ~H )
9	4, 8	sstrd 3613	. . . . . 6 |- ( z e. A -> |^| A C_ ~H )
10	9	exlimiv 1858	. . . . 5 |- ( E. z z e. A -> |^| A C_ ~H )
11	3, 10	sylbi 207	. . . 4 |- ( A =/= (/) -> |^| A C_ ~H )
12	2, 11	ax-mp 5	. . 3 |- |^| A C_ ~H
13		ax-hv0cl 27860	. . . . . 6 |- 0h e. ~H
14	13	elexi 3213	. . . . 5 |- 0h e. _V
15	14	elint2 4482	. . . 4 |- ( 0h e. |^| A <-> A. z e. A 0h e. z )
16		sh0 28073	. . . . 5 |- ( z e. SH -> 0h e. z )
17	6, 16	syl 17	. . . 4 |- ( z e. A -> 0h e. z )
18	15, 17	mprgbir 2927	. . 3 |- 0h e. |^| A
19	12, 18	pm3.2i 471	. 2 |- ( |^| A C_ ~H /\ 0h e. |^| A )
20		elinti 4485	. . . . . . . . 9 |- ( x e. |^| A -> ( z e. A -> x e. z ) )
21	20	com12 32	. . . . . . . 8 |- ( z e. A -> ( x e. |^| A -> x e. z ) )
22		elinti 4485	. . . . . . . . 9 |- ( y e. |^| A -> ( z e. A -> y e. z ) )
23	22	com12 32	. . . . . . . 8 |- ( z e. A -> ( y e. |^| A -> y e. z ) )
24		shaddcl 28074	. . . . . . . . . 10 |- ( ( z e. SH /\ x e. z /\ y e. z ) -> ( x +h y ) e. z )
25	6, 24	syl3an1 1359	. . . . . . . . 9 |- ( ( z e. A /\ x e. z /\ y e. z ) -> ( x +h y ) e. z )
26	25	3expib 1268	. . . . . . . 8 |- ( z e. A -> ( ( x e. z /\ y e. z ) -> ( x +h y ) e. z ) )
27	21, 23, 26	syl2and 500	. . . . . . 7 |- ( z e. A -> ( ( x e. |^| A /\ y e. |^| A ) -> ( x +h y ) e. z ) )
28	27	com12 32	. . . . . 6 |- ( ( x e. |^| A /\ y e. |^| A ) -> ( z e. A -> ( x +h y ) e. z ) )
29	28	ralrimiv 2965	. . . . 5 |- ( ( x e. |^| A /\ y e. |^| A ) -> A. z e. A ( x +h y ) e. z )
30		ovex 6678	. . . . . 6 |- ( x +h y ) e. _V
31	30	elint2 4482	. . . . 5 |- ( ( x +h y ) e. |^| A <-> A. z e. A ( x +h y ) e. z )
32	29, 31	sylibr 224	. . . 4 |- ( ( x e. |^| A /\ y e. |^| A ) -> ( x +h y ) e. |^| A )
33	32	rgen2a 2977	. . 3 |- A. x e. |^| A A. y e. |^| A ( x +h y ) e. |^| A
34		shmulcl 28075	. . . . . . . . . 10 |- ( ( z e. SH /\ x e. CC /\ y e. z ) -> ( x .h y ) e. z )
35	6, 34	syl3an1 1359	. . . . . . . . 9 |- ( ( z e. A /\ x e. CC /\ y e. z ) -> ( x .h y ) e. z )
36	35	3expib 1268	. . . . . . . 8 |- ( z e. A -> ( ( x e. CC /\ y e. z ) -> ( x .h y ) e. z ) )
37	23, 36	sylan2d 499	. . . . . . 7 |- ( z e. A -> ( ( x e. CC /\ y e. |^| A ) -> ( x .h y ) e. z ) )
38	37	com12 32	. . . . . 6 |- ( ( x e. CC /\ y e. |^| A ) -> ( z e. A -> ( x .h y ) e. z ) )
39	38	ralrimiv 2965	. . . . 5 |- ( ( x e. CC /\ y e. |^| A ) -> A. z e. A ( x .h y ) e. z )
40		ovex 6678	. . . . . 6 |- ( x .h y ) e. _V
41	40	elint2 4482	. . . . 5 |- ( ( x .h y ) e. |^| A <-> A. z e. A ( x .h y ) e. z )
42	39, 41	sylibr 224	. . . 4 |- ( ( x e. CC /\ y e. |^| A ) -> ( x .h y ) e. |^| A )
43	42	rgen2 2975	. . 3 |- A. x e. CC A. y e. |^| A ( x .h y ) e. |^| A
44	33, 43	pm3.2i 471	. 2 |- ( A. x e. |^| A A. y e. |^| A ( x +h y ) e. |^| A /\ A. x e. CC A. y e. |^| A ( x .h y ) e. |^| A )
45		issh2 28066	. 2 |- ( |^| A e. SH <-> ( ( |^| A C_ ~H /\ 0h e. |^| A ) /\ ( A. x e. |^| A A. y e. |^| A ( x +h y ) e. |^| A /\ A. x e. CC A. y e. |^| A ( x .h y ) e. |^| A ) ) )
46	19, 44, 45	mpbir2an 955	1 |- |^| A e. SH

Syntax hints:   /\ wa 384   E.wex 1704   e. wcel 1990   =/= wne 2794   A.wral 2912   C_ wss 3574   (/)c0 3915   |^|cint 4475  (class class class)co 6650   CCcc 9934   ~Hchil 27776   +h cva 27777   .h csm 27778   0hc0v 27781   SHcsh 27785

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1722  ax-4 1737  ax-5 1839  ax-6 1888  ax-7 1935  ax-9 1999  ax-10 2019  ax-11 2034  ax-12 2047  ax-13 2246  ax-ext 2602  ax-sep 4781  ax-nul 4789  ax-pr 4906  ax-hilex 27856  ax-hfvadd 27857  ax-hv0cl 27860  ax-hfvmul 27862

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3an 1039  df-tru 1486  df-ex 1705  df-nf 1710  df-sb 1881  df-eu 2474  df-mo 2475  df-clab 2609  df-cleq 2615  df-clel 2618  df-nfc 2753  df-ne 2795  df-ral 2917  df-rex 2918  df-rab 2921  df-v 3202  df-sbc 3436  df-csb 3534  df-dif 3577  df-un 3579  df-in 3581  df-ss 3588  df-nul 3916  df-if 4087  df-pw 4160  df-sn 4178  df-pr 4180  df-op 4184  df-uni 4437  df-int 4476  df-iun 4522  df-br 4654  df-opab 4713  df-id 5024  df-xp 5120  df-rel 5121  df-cnv 5122  df-co 5123  df-dm 5124  df-rn 5125  df-res 5126  df-ima 5127  df-iota 5851  df-fun 5890  df-fn 5891  df-f 5892  df-fv 5896  df-ov 6653  df-sh 28064

This theorem is referenced by:  shintcl  28189  chintcli  28190  shincli  28221