Theorem shincli 28221

Description: Closure of intersection of two subspaces. (Contributed by NM, 19-Oct-1999.) (New usage is discouraged.)

Hypotheses

Ref	Expression
shincl.1	|- A e. SH
shincl.2	|- B e. SH

Assertion

Ref	Expression
shincli	|- ( A i^i B ) e. SH

Proof of Theorem shincli

Step	Hyp	Ref	Expression
1		shincl.1	. . . 4 |- A e. SH
2	1	elexi 3213	. . 3 |- A e. _V
3		shincl.2	. . . 4 |- B e. SH
4	3	elexi 3213	. . 3 |- B e. _V
5	2, 4	intpr 4510	. 2 |- |^| { A , B } = ( A i^i B )
6	1, 3	pm3.2i 471	. . . . 5 |- ( A e. SH /\ B e. SH )
7	2, 4	prss 4351	. . . . 5 |- ( ( A e. SH /\ B e. SH ) <-> { A , B } C_ SH )
8	6, 7	mpbi 220	. . . 4 |- { A , B } C_ SH
9	2	prnz 4310	. . . 4 |- { A , B } =/= (/)
10	8, 9	pm3.2i 471	. . 3 |- ( { A , B } C_ SH /\ { A , B } =/= (/) )
11	10	shintcli 28188	. 2 |- |^| { A , B } e. SH
12	5, 11	eqeltrri 2698	1 |- ( A i^i B ) e. SH

Syntax hints:   /\ wa 384   e. wcel 1990   =/= wne 2794   i^i cin 3573   C_ wss 3574   (/)c0 3915   {cpr 4179   |^|cint 4475   SHcsh 27785

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1722  ax-4 1737  ax-5 1839  ax-6 1888  ax-7 1935  ax-9 1999  ax-10 2019  ax-11 2034  ax-12 2047  ax-13 2246  ax-ext 2602  ax-sep 4781  ax-nul 4789  ax-pr 4906  ax-hilex 27856  ax-hfvadd 27857  ax-hv0cl 27860  ax-hfvmul 27862

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3an 1039  df-tru 1486  df-ex 1705  df-nf 1710  df-sb 1881  df-eu 2474  df-mo 2475  df-clab 2609  df-cleq 2615  df-clel 2618  df-nfc 2753  df-ne 2795  df-ral 2917  df-rex 2918  df-rab 2921  df-v 3202  df-sbc 3436  df-csb 3534  df-dif 3577  df-un 3579  df-in 3581  df-ss 3588  df-nul 3916  df-if 4087  df-pw 4160  df-sn 4178  df-pr 4180  df-op 4184  df-uni 4437  df-int 4476  df-iun 4522  df-br 4654  df-opab 4713  df-id 5024  df-xp 5120  df-rel 5121  df-cnv 5122  df-co 5123  df-dm 5124  df-rn 5125  df-res 5126  df-ima 5127  df-iota 5851  df-fun 5890  df-fn 5891  df-f 5892  df-fv 5896  df-ov 6653  df-sh 28064

This theorem is referenced by:  shincl  28240  shmodsi  28248  shmodi  28249  5oalem1  28513  5oalem3  28515  5oalem5  28517  5oalem6  28518  5oai  28520  3oalem2  28522  3oalem6  28526  cdj3lem1  29293