Theorem smoeq 7447

Description: Equality theorem for strictly monotone functions. (Contributed by Andrew Salmon, 16-Nov-2011.)

Assertion

Ref	Expression
smoeq	|- ( A = B -> ( Smo A <-> Smo B ) )

Proof of Theorem smoeq

Dummy variables x y are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		id 22	. . . 4 |- ( A = B -> A = B )
2		dmeq 5324	. . . 4 |- ( A = B -> dom A = dom B )
3	1, 2	feq12d 6033	. . 3 |- ( A = B -> ( A : dom A --> On <-> B : dom B --> On ) )
4		ordeq 5730	. . . 4 |- ( dom A = dom B -> ( Ord dom A <-> Ord dom B ) )
5	2, 4	syl 17	. . 3 |- ( A = B -> ( Ord dom A <-> Ord dom B ) )
6		fveq1 6190	. . . . . . 7 |- ( A = B -> ( A ` x ) = ( B ` x ) )
7		fveq1 6190	. . . . . . 7 |- ( A = B -> ( A ` y ) = ( B ` y ) )
8	6, 7	eleq12d 2695	. . . . . 6 |- ( A = B -> ( ( A ` x ) e. ( A ` y ) <-> ( B ` x ) e. ( B ` y ) ) )
9	8	imbi2d 330	. . . . 5 |- ( A = B -> ( ( x e. y -> ( A ` x ) e. ( A ` y ) ) <-> ( x e. y -> ( B ` x ) e. ( B ` y ) ) ) )
10	9	2ralbidv 2989	. . . 4 |- ( A = B -> ( A. x e. dom A A. y e. dom A ( x e. y -> ( A ` x ) e. ( A ` y ) ) <-> A. x e. dom A A. y e. dom A ( x e. y -> ( B ` x ) e. ( B ` y ) ) ) )
11	2	raleqdv 3144	. . . . 5 |- ( A = B -> ( A. y e. dom A ( x e. y -> ( B ` x ) e. ( B ` y ) ) <-> A. y e. dom B ( x e. y -> ( B ` x ) e. ( B ` y ) ) ) )
12	11	ralbidv 2986	. . . 4 |- ( A = B -> ( A. x e. dom A A. y e. dom A ( x e. y -> ( B ` x ) e. ( B ` y ) ) <-> A. x e. dom A A. y e. dom B ( x e. y -> ( B ` x ) e. ( B ` y ) ) ) )
13	2	raleqdv 3144	. . . 4 |- ( A = B -> ( A. x e. dom A A. y e. dom B ( x e. y -> ( B ` x ) e. ( B ` y ) ) <-> A. x e. dom B A. y e. dom B ( x e. y -> ( B ` x ) e. ( B ` y ) ) ) )
14	10, 12, 13	3bitrd 294	. . 3 |- ( A = B -> ( A. x e. dom A A. y e. dom A ( x e. y -> ( A ` x ) e. ( A ` y ) ) <-> A. x e. dom B A. y e. dom B ( x e. y -> ( B ` x ) e. ( B ` y ) ) ) )
15	3, 5, 14	3anbi123d 1399	. 2 |- ( A = B -> ( ( A : dom A --> On /\ Ord dom A /\ A. x e. dom A A. y e. dom A ( x e. y -> ( A ` x ) e. ( A ` y ) ) ) <-> ( B : dom B --> On /\ Ord dom B /\ A. x e. dom B A. y e. dom B ( x e. y -> ( B ` x ) e. ( B ` y ) ) ) ) )
16		df-smo 7443	. 2 |- ( Smo A <-> ( A : dom A --> On /\ Ord dom A /\ A. x e. dom A A. y e. dom A ( x e. y -> ( A ` x ) e. ( A ` y ) ) ) )
17		df-smo 7443	. 2 |- ( Smo B <-> ( B : dom B --> On /\ Ord dom B /\ A. x e. dom B A. y e. dom B ( x e. y -> ( B ` x ) e. ( B ` y ) ) ) )
18	15, 16, 17	3bitr4g 303	1 |- ( A = B -> ( Smo A <-> Smo B ) )

Syntax hints:   -> wi 4   <-> wb 196   /\ w3a 1037   = wceq 1483   e. wcel 1990   A.wral 2912   dom cdm 5114   Ord word 5722   Oncon0 5723   -->wf 5884   ` cfv 5888   Smo wsmo 7442

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1722  ax-4 1737  ax-5 1839  ax-6 1888  ax-7 1935  ax-9 1999  ax-10 2019  ax-11 2034  ax-12 2047  ax-13 2246  ax-ext 2602

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3an 1039  df-tru 1486  df-ex 1705  df-nf 1710  df-sb 1881  df-clab 2609  df-cleq 2615  df-clel 2618  df-nfc 2753  df-ral 2917  df-rex 2918  df-rab 2921  df-v 3202  df-dif 3577  df-un 3579  df-in 3581  df-ss 3588  df-nul 3916  df-if 4087  df-sn 4178  df-pr 4180  df-op 4184  df-uni 4437  df-br 4654  df-opab 4713  df-tr 4753  df-po 5035  df-so 5036  df-fr 5073  df-we 5075  df-rel 5121  df-cnv 5122  df-co 5123  df-dm 5124  df-rn 5125  df-ord 5726  df-iota 5851  df-fun 5890  df-fn 5891  df-f 5892  df-fv 5896  df-smo 7443

This theorem is referenced by:  smores3  7450  smo0  7455  cofsmo  9091  cfsmolem  9092  alephsing  9098