Theorem somo 5069

Description: A totally ordered set has at most one minimal element. (Contributed by Mario Carneiro, 24-Jun-2015.) (Revised by NM, 16-Jun-2017.)

Assertion

Ref	Expression
somo	|- ( R Or A -> E* x e. A A. y e. A -. y R x )

Distinct variable groups:   x, y, A   x, R, y

Proof of Theorem somo

Dummy variable z is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		breq1 4656	. . . . . . . . . . 11 |- ( y = x -> ( y R z <-> x R z ) )
2	1	notbid 308	. . . . . . . . . 10 |- ( y = x -> ( -. y R z <-> -. x R z ) )
3	2	rspcv 3305	. . . . . . . . 9 |- ( x e. A -> ( A. y e. A -. y R z -> -. x R z ) )
4		breq1 4656	. . . . . . . . . . 11 |- ( y = z -> ( y R x <-> z R x ) )
5	4	notbid 308	. . . . . . . . . 10 |- ( y = z -> ( -. y R x <-> -. z R x ) )
6	5	rspcv 3305	. . . . . . . . 9 |- ( z e. A -> ( A. y e. A -. y R x -> -. z R x ) )
7	3, 6	im2anan9 880	. . . . . . . 8 |- ( ( x e. A /\ z e. A ) -> ( ( A. y e. A -. y R z /\ A. y e. A -. y R x ) -> ( -. x R z /\ -. z R x ) ) )
8	7	ancomsd 470	. . . . . . 7 |- ( ( x e. A /\ z e. A ) -> ( ( A. y e. A -. y R x /\ A. y e. A -. y R z ) -> ( -. x R z /\ -. z R x ) ) )
9	8	imp 445	. . . . . 6 |- ( ( ( x e. A /\ z e. A ) /\ ( A. y e. A -. y R x /\ A. y e. A -. y R z ) ) -> ( -. x R z /\ -. z R x ) )
10		ioran 511	. . . . . . 7 |- ( -. ( x R z \/ z R x ) <-> ( -. x R z /\ -. z R x ) )
11		solin 5058	. . . . . . . . . 10 |- ( ( R Or A /\ ( x e. A /\ z e. A ) ) -> ( x R z \/ x = z \/ z R x ) )
12		df-3or 1038	. . . . . . . . . 10 |- ( ( x R z \/ x = z \/ z R x ) <-> ( ( x R z \/ x = z ) \/ z R x ) )
13	11, 12	sylib 208	. . . . . . . . 9 |- ( ( R Or A /\ ( x e. A /\ z e. A ) ) -> ( ( x R z \/ x = z ) \/ z R x ) )
14		or32 549	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( x R z \/ x = z ) \/ z R x ) <-> ( ( x R z \/ z R x ) \/ x = z ) )
15	13, 14	sylib 208	. . . . . . . 8 |- ( ( R Or A /\ ( x e. A /\ z e. A ) ) -> ( ( x R z \/ z R x ) \/ x = z ) )
16	15	ord 392	. . . . . . 7 |- ( ( R Or A /\ ( x e. A /\ z e. A ) ) -> ( -. ( x R z \/ z R x ) -> x = z ) )
17	10, 16	syl5bir 233	. . . . . 6 |- ( ( R Or A /\ ( x e. A /\ z e. A ) ) -> ( ( -. x R z /\ -. z R x ) -> x = z ) )
18	9, 17	syl5 34	. . . . 5 |- ( ( R Or A /\ ( x e. A /\ z e. A ) ) -> ( ( ( x e. A /\ z e. A ) /\ ( A. y e. A -. y R x /\ A. y e. A -. y R z ) ) -> x = z ) )
19	18	exp4b 632	. . . 4 |- ( R Or A -> ( ( x e. A /\ z e. A ) -> ( ( x e. A /\ z e. A ) -> ( ( A. y e. A -. y R x /\ A. y e. A -. y R z ) -> x = z ) ) ) )
20	19	pm2.43d 53	. . 3 |- ( R Or A -> ( ( x e. A /\ z e. A ) -> ( ( A. y e. A -. y R x /\ A. y e. A -. y R z ) -> x = z ) ) )
21	20	ralrimivv 2970	. 2 |- ( R Or A -> A. x e. A A. z e. A ( ( A. y e. A -. y R x /\ A. y e. A -. y R z ) -> x = z ) )
22		breq2 4657	. . . . 5 |- ( x = z -> ( y R x <-> y R z ) )
23	22	notbid 308	. . . 4 |- ( x = z -> ( -. y R x <-> -. y R z ) )
24	23	ralbidv 2986	. . 3 |- ( x = z -> ( A. y e. A -. y R x <-> A. y e. A -. y R z ) )
25	24	rmo4 3399	. 2 |- ( E* x e. A A. y e. A -. y R x <-> A. x e. A A. z e. A ( ( A. y e. A -. y R x /\ A. y e. A -. y R z ) -> x = z ) )
26	21, 25	sylibr 224	1 |- ( R Or A -> E* x e. A A. y e. A -. y R x )

Syntax hints:   -. wn 3   -> wi 4   \/ wo 383   /\ wa 384   \/ w3o 1036   e. wcel 1990   A.wral 2912   E*wrmo 2915   class class class wbr 4653   Or wor 5034

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1722  ax-4 1737  ax-5 1839  ax-6 1888  ax-7 1935  ax-9 1999  ax-10 2019  ax-11 2034  ax-12 2047  ax-13 2246  ax-ext 2602

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1038  df-3an 1039  df-tru 1486  df-ex 1705  df-nf 1710  df-sb 1881  df-eu 2474  df-mo 2475  df-clab 2609  df-cleq 2615  df-clel 2618  df-nfc 2753  df-ral 2917  df-rmo 2920  df-rab 2921  df-v 3202  df-dif 3577  df-un 3579  df-in 3581  df-ss 3588  df-nul 3916  df-if 4087  df-sn 4178  df-pr 4180  df-op 4184  df-br 4654  df-so 5036

This theorem is referenced by:  wereu  5110  wereu2  5111  nomaxmo  31847