Theorem sorpsscmpl 6948

Description: The componentwise complement of a chain of sets is also a chain of sets. (Contributed by Stefan O'Rear, 2-Nov-2014.)

Assertion

Ref	Expression
sorpsscmpl	|- ( [ C.] Or Y -> [ C.] Or { u e. ~P A | ( A \ u ) e. Y } )

Distinct variable groups:   u, Y   u, A

Proof of Theorem sorpsscmpl

Dummy variables x y are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		difeq2 3722	. . . . . . 7 |- ( u = x -> ( A \ u ) = ( A \ x ) )
2	1	eleq1d 2686	. . . . . 6 |- ( u = x -> ( ( A \ u ) e. Y <-> ( A \ x ) e. Y ) )
3	2	elrab 3363	. . . . 5 |- ( x e. { u e. ~P A | ( A \ u ) e. Y } <-> ( x e. ~P A /\ ( A \ x ) e. Y ) )
4		difeq2 3722	. . . . . . 7 |- ( u = y -> ( A \ u ) = ( A \ y ) )
5	4	eleq1d 2686	. . . . . 6 |- ( u = y -> ( ( A \ u ) e. Y <-> ( A \ y ) e. Y ) )
6	5	elrab 3363	. . . . 5 |- ( y e. { u e. ~P A | ( A \ u ) e. Y } <-> ( y e. ~P A /\ ( A \ y ) e. Y ) )
7		an4 865	. . . . . 6 |- ( ( ( x e. ~P A /\ ( A \ x ) e. Y ) /\ ( y e. ~P A /\ ( A \ y ) e. Y ) ) <-> ( ( x e. ~P A /\ y e. ~P A ) /\ ( ( A \ x ) e. Y /\ ( A \ y ) e. Y ) ) )
8	7	biimpi 206	. . . . 5 |- ( ( ( x e. ~P A /\ ( A \ x ) e. Y ) /\ ( y e. ~P A /\ ( A \ y ) e. Y ) ) -> ( ( x e. ~P A /\ y e. ~P A ) /\ ( ( A \ x ) e. Y /\ ( A \ y ) e. Y ) ) )
9	3, 6, 8	syl2anb 496	. . . 4 |- ( ( x e. { u e. ~P A | ( A \ u ) e. Y } /\ y e. { u e. ~P A | ( A \ u ) e. Y } ) -> ( ( x e. ~P A /\ y e. ~P A ) /\ ( ( A \ x ) e. Y /\ ( A \ y ) e. Y ) ) )
10		sorpssi 6943	. . . . . . . 8 |- ( ( [ C.] Or Y /\ ( ( A \ x ) e. Y /\ ( A \ y ) e. Y ) ) -> ( ( A \ x ) C_ ( A \ y ) \/ ( A \ y ) C_ ( A \ x ) ) )
11	10	expcom 451	. . . . . . 7 |- ( ( ( A \ x ) e. Y /\ ( A \ y ) e. Y ) -> ( [ C.] Or Y -> ( ( A \ x ) C_ ( A \ y ) \/ ( A \ y ) C_ ( A \ x ) ) ) )
12		selpw 4165	. . . . . . . . . . 11 |- ( x e. ~P A <-> x C_ A )
13		dfss4 3858	. . . . . . . . . . 11 |- ( x C_ A <-> ( A \ ( A \ x ) ) = x )
14	12, 13	bitri 264	. . . . . . . . . 10 |- ( x e. ~P A <-> ( A \ ( A \ x ) ) = x )
15		selpw 4165	. . . . . . . . . . 11 |- ( y e. ~P A <-> y C_ A )
16		dfss4 3858	. . . . . . . . . . 11 |- ( y C_ A <-> ( A \ ( A \ y ) ) = y )
17	15, 16	bitri 264	. . . . . . . . . 10 |- ( y e. ~P A <-> ( A \ ( A \ y ) ) = y )
18		sscon 3744	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( A \ y ) C_ ( A \ x ) -> ( A \ ( A \ x ) ) C_ ( A \ ( A \ y ) ) )
19		sseq12 3628	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( A \ ( A \ x ) ) = x /\ ( A \ ( A \ y ) ) = y ) -> ( ( A \ ( A \ x ) ) C_ ( A \ ( A \ y ) ) <-> x C_ y ) )
20	18, 19	syl5ib 234	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( A \ ( A \ x ) ) = x /\ ( A \ ( A \ y ) ) = y ) -> ( ( A \ y ) C_ ( A \ x ) -> x C_ y ) )
21		sscon 3744	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( A \ x ) C_ ( A \ y ) -> ( A \ ( A \ y ) ) C_ ( A \ ( A \ x ) ) )
22		sseq12 3628	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( A \ ( A \ y ) ) = y /\ ( A \ ( A \ x ) ) = x ) -> ( ( A \ ( A \ y ) ) C_ ( A \ ( A \ x ) ) <-> y C_ x ) )
23	22	ancoms 469	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( A \ ( A \ x ) ) = x /\ ( A \ ( A \ y ) ) = y ) -> ( ( A \ ( A \ y ) ) C_ ( A \ ( A \ x ) ) <-> y C_ x ) )
24	21, 23	syl5ib 234	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( A \ ( A \ x ) ) = x /\ ( A \ ( A \ y ) ) = y ) -> ( ( A \ x ) C_ ( A \ y ) -> y C_ x ) )
25	20, 24	orim12d 883	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( A \ ( A \ x ) ) = x /\ ( A \ ( A \ y ) ) = y ) -> ( ( ( A \ y ) C_ ( A \ x ) \/ ( A \ x ) C_ ( A \ y ) ) -> ( x C_ y \/ y C_ x ) ) )
26	14, 17, 25	syl2anb 496	. . . . . . . . 9 |- ( ( x e. ~P A /\ y e. ~P A ) -> ( ( ( A \ y ) C_ ( A \ x ) \/ ( A \ x ) C_ ( A \ y ) ) -> ( x C_ y \/ y C_ x ) ) )
27	26	com12 32	. . . . . . . 8 |- ( ( ( A \ y ) C_ ( A \ x ) \/ ( A \ x ) C_ ( A \ y ) ) -> ( ( x e. ~P A /\ y e. ~P A ) -> ( x C_ y \/ y C_ x ) ) )
28	27	orcoms 404	. . . . . . 7 |- ( ( ( A \ x ) C_ ( A \ y ) \/ ( A \ y ) C_ ( A \ x ) ) -> ( ( x e. ~P A /\ y e. ~P A ) -> ( x C_ y \/ y C_ x ) ) )
29	11, 28	syl6 35	. . . . . 6 |- ( ( ( A \ x ) e. Y /\ ( A \ y ) e. Y ) -> ( [ C.] Or Y -> ( ( x e. ~P A /\ y e. ~P A ) -> ( x C_ y \/ y C_ x ) ) ) )
30	29	com3l 89	. . . . 5 |- ( [ C.] Or Y -> ( ( x e. ~P A /\ y e. ~P A ) -> ( ( ( A \ x ) e. Y /\ ( A \ y ) e. Y ) -> ( x C_ y \/ y C_ x ) ) ) )
31	30	impd 447	. . . 4 |- ( [ C.] Or Y -> ( ( ( x e. ~P A /\ y e. ~P A ) /\ ( ( A \ x ) e. Y /\ ( A \ y ) e. Y ) ) -> ( x C_ y \/ y C_ x ) ) )
32	9, 31	syl5 34	. . 3 |- ( [ C.] Or Y -> ( ( x e. { u e. ~P A | ( A \ u ) e. Y } /\ y e. { u e. ~P A | ( A \ u ) e. Y } ) -> ( x C_ y \/ y C_ x ) ) )
33	32	ralrimivv 2970	. 2 |- ( [ C.] Or Y -> A. x e. { u e. ~P A | ( A \ u ) e. Y } A. y e. { u e. ~P A | ( A \ u ) e. Y } ( x C_ y \/ y C_ x ) )
34		sorpss 6942	. 2 |- ( [ C.] Or { u e. ~P A | ( A \ u ) e. Y } <-> A. x e. { u e. ~P A | ( A \ u ) e. Y } A. y e. { u e. ~P A | ( A \ u ) e. Y } ( x C_ y \/ y C_ x ) )
35	33, 34	sylibr 224	1 |- ( [ C.] Or Y -> [ C.] Or { u e. ~P A | ( A \ u ) e. Y } )

Syntax hints:   -> wi 4   <-> wb 196   \/ wo 383   /\ wa 384   = wceq 1483   e. wcel 1990   A.wral 2912   {crab 2916   \ cdif 3571   C_ wss 3574   ~Pcpw 4158   Or wor 5034   [ C.] crpss 6936

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1722  ax-4 1737  ax-5 1839  ax-6 1888  ax-7 1935  ax-9 1999  ax-10 2019  ax-11 2034  ax-12 2047  ax-13 2246  ax-ext 2602  ax-sep 4781  ax-nul 4789  ax-pr 4906

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1038  df-3an 1039  df-tru 1486  df-ex 1705  df-nf 1710  df-sb 1881  df-eu 2474  df-mo 2475  df-clab 2609  df-cleq 2615  df-clel 2618  df-nfc 2753  df-ne 2795  df-ral 2917  df-rex 2918  df-rab 2921  df-v 3202  df-dif 3577  df-un 3579  df-in 3581  df-ss 3588  df-pss 3590  df-nul 3916  df-if 4087  df-pw 4160  df-sn 4178  df-pr 4180  df-op 4184  df-br 4654  df-opab 4713  df-po 5035  df-so 5036  df-xp 5120  df-rel 5121  df-rpss 6937

This theorem is referenced by:  fin2i2  9140  isfin2-2  9141