Theorem sorpssint 6947

Description: In a chain of sets, a minimal element is the intersection of the chain. (Contributed by Stefan O'Rear, 2-Nov-2014.)

Assertion

Ref	Expression
sorpssint	|- ( [ C.] Or Y -> ( E. u e. Y A. v e. Y -. v C. u <-> |^| Y e. Y ) )

Distinct variable group:   u, Y, v

Proof of Theorem sorpssint

Step	Hyp	Ref	Expression
1		intss1 4492	. . . . . 6 |- ( u e. Y -> |^| Y C_ u )
2	1	3ad2ant2 1083	. . . . 5 |- ( ( [ C.] Or Y /\ u e. Y /\ A. v e. Y -. v C. u ) -> |^| Y C_ u )
3		sorpssi 6943	. . . . . . . . . 10 |- ( ( [ C.] Or Y /\ ( u e. Y /\ v e. Y ) ) -> ( u C_ v \/ v C_ u ) )
4	3	anassrs 680	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( [ C.] Or Y /\ u e. Y ) /\ v e. Y ) -> ( u C_ v \/ v C_ u ) )
5		ax-1 6	. . . . . . . . . 10 |- ( u C_ v -> ( -. v C. u -> u C_ v ) )
6		sspss 3706	. . . . . . . . . . 11 |- ( v C_ u <-> ( v C. u \/ v = u ) )
7		orel1 397	. . . . . . . . . . . 12 |- ( -. v C. u -> ( ( v C. u \/ v = u ) -> v = u ) )
8		eqimss2 3658	. . . . . . . . . . . 12 |- ( v = u -> u C_ v )
9	7, 8	syl6com 37	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( v C. u \/ v = u ) -> ( -. v C. u -> u C_ v ) )
10	6, 9	sylbi 207	. . . . . . . . . 10 |- ( v C_ u -> ( -. v C. u -> u C_ v ) )
11	5, 10	jaoi 394	. . . . . . . . 9 |- ( ( u C_ v \/ v C_ u ) -> ( -. v C. u -> u C_ v ) )
12	4, 11	syl 17	. . . . . . . 8 |- ( ( ( [ C.] Or Y /\ u e. Y ) /\ v e. Y ) -> ( -. v C. u -> u C_ v ) )
13	12	ralimdva 2962	. . . . . . 7 |- ( ( [ C.] Or Y /\ u e. Y ) -> ( A. v e. Y -. v C. u -> A. v e. Y u C_ v ) )
14	13	3impia 1261	. . . . . 6 |- ( ( [ C.] Or Y /\ u e. Y /\ A. v e. Y -. v C. u ) -> A. v e. Y u C_ v )
15		ssint 4493	. . . . . 6 |- ( u C_ |^| Y <-> A. v e. Y u C_ v )
16	14, 15	sylibr 224	. . . . 5 |- ( ( [ C.] Or Y /\ u e. Y /\ A. v e. Y -. v C. u ) -> u C_ |^| Y )
17	2, 16	eqssd 3620	. . . 4 |- ( ( [ C.] Or Y /\ u e. Y /\ A. v e. Y -. v C. u ) -> |^| Y = u )
18		simp2 1062	. . . 4 |- ( ( [ C.] Or Y /\ u e. Y /\ A. v e. Y -. v C. u ) -> u e. Y )
19	17, 18	eqeltrd 2701	. . 3 |- ( ( [ C.] Or Y /\ u e. Y /\ A. v e. Y -. v C. u ) -> |^| Y e. Y )
20	19	rexlimdv3a 3033	. 2 |- ( [ C.] Or Y -> ( E. u e. Y A. v e. Y -. v C. u -> |^| Y e. Y ) )
21		intss1 4492	. . . . 5 |- ( v e. Y -> |^| Y C_ v )
22		ssnpss 3710	. . . . 5 |- ( |^| Y C_ v -> -. v C. |^| Y )
23	21, 22	syl 17	. . . 4 |- ( v e. Y -> -. v C. |^| Y )
24	23	rgen 2922	. . 3 |- A. v e. Y -. v C. |^| Y
25		psseq2 3695	. . . . . 6 |- ( u = |^| Y -> ( v C. u <-> v C. |^| Y ) )
26	25	notbid 308	. . . . 5 |- ( u = |^| Y -> ( -. v C. u <-> -. v C. |^| Y ) )
27	26	ralbidv 2986	. . . 4 |- ( u = |^| Y -> ( A. v e. Y -. v C. u <-> A. v e. Y -. v C. |^| Y ) )
28	27	rspcev 3309	. . 3 |- ( ( |^| Y e. Y /\ A. v e. Y -. v C. |^| Y ) -> E. u e. Y A. v e. Y -. v C. u )
29	24, 28	mpan2 707	. 2 |- ( |^| Y e. Y -> E. u e. Y A. v e. Y -. v C. u )
30	20, 29	impbid1 215	1 |- ( [ C.] Or Y -> ( E. u e. Y A. v e. Y -. v C. u <-> |^| Y e. Y ) )

Syntax hints:   -. wn 3   -> wi 4   <-> wb 196   \/ wo 383   /\ wa 384   /\ w3a 1037   = wceq 1483   e. wcel 1990   A.wral 2912   E.wrex 2913   C_ wss 3574   C. wpss 3575   |^|cint 4475   Or wor 5034   [ C.] crpss 6936

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1722  ax-4 1737  ax-5 1839  ax-6 1888  ax-7 1935  ax-9 1999  ax-10 2019  ax-11 2034  ax-12 2047  ax-13 2246  ax-ext 2602  ax-sep 4781  ax-nul 4789  ax-pr 4906

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1038  df-3an 1039  df-tru 1486  df-ex 1705  df-nf 1710  df-sb 1881  df-eu 2474  df-mo 2475  df-clab 2609  df-cleq 2615  df-clel 2618  df-nfc 2753  df-ne 2795  df-ral 2917  df-rex 2918  df-rab 2921  df-v 3202  df-dif 3577  df-un 3579  df-in 3581  df-ss 3588  df-pss 3590  df-nul 3916  df-if 4087  df-sn 4178  df-pr 4180  df-op 4184  df-int 4476  df-br 4654  df-opab 4713  df-so 5036  df-xp 5120  df-rel 5121  df-rpss 6937

This theorem is referenced by:  fin2i2  9140  isfin2-2  9141