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Theorem ssfz12 41324
Description: Subset relationship for finite sets of sequential integers. (Contributed by Alexander van der Vekens, 16-Mar-2018.)
Assertion
Ref Expression
ssfz12 |- ( ( K e. ZZ /\ L e. ZZ /\ K <_ L ) -> ( ( K ... L ) C_ ( M ... N ) -> ( M <_ K /\ L <_ N ) ) )
Proof of Theorem ssfz12
StepHypRef Expression
1 eluz 11701 . . . 4 |- ( ( K e. ZZ /\ L e. ZZ ) -> ( L e. ( ZZ>= ` K ) <-> K <_ L ) )
21biimp3ar 1433 . . 3 |- ( ( K e. ZZ /\ L e. ZZ /\ K <_ L ) -> L e. ( ZZ>= ` K ) )
3 eluzfz1 12348 . . 3 |- ( L e. ( ZZ>= ` K ) -> K e. ( K ... L ) )
42, 3syl 17 . 2 |- ( ( K e. ZZ /\ L e. ZZ /\ K <_ L ) -> K e. ( K ... L ) )
5 eluzfz2 12349 . . . 4 |- ( L e. ( ZZ>= ` K ) -> L e. ( K ... L ) )
62, 5syl 17 . . 3 |- ( ( K e. ZZ /\ L e. ZZ /\ K <_ L ) -> L e. ( K ... L ) )
7 ssel2 3598 . . . . . . . 8 |- ( ( ( K ... L ) C_ ( M ... N ) /\ K e. ( K ... L ) ) -> K e. ( M ... N ) )
8 ssel2 3598 . . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( K ... L ) C_ ( M ... N ) /\ L e. ( K ... L ) ) -> L e. ( M ... N ) )
9 elfzuz3 12339 . . . . . . . . . . 11 |- ( L e. ( M ... N ) -> N e. ( ZZ>= ` L ) )
10 eluz2 11693 . . . . . . . . . . . . 13 |- ( K e. ( ZZ>= ` M ) <-> ( M e. ZZ /\ K e. ZZ /\ M <_ K ) )
11 eluz2 11693 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( N e. ( ZZ>= ` L ) <-> ( L e. ZZ /\ N e. ZZ /\ L <_ N ) )
12 pm3.21 464 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( L <_ N -> ( M <_ K -> ( M <_ K /\ L <_ N ) ) )
13123ad2ant3 1084 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( L e. ZZ /\ N e. ZZ /\ L <_ N ) -> ( M <_ K -> ( M <_ K /\ L <_ N ) ) )
1411, 13sylbi 207 . . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( N e. ( ZZ>= ` L ) -> ( M <_ K -> ( M <_ K /\ L <_ N ) ) )
1514a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( K e. ZZ /\ L e. ZZ /\ K <_ L ) -> ( N e. ( ZZ>= ` L ) -> ( M <_ K -> ( M <_ K /\ L <_ N ) ) ) )
1615com13 88 . . . . . . . . . . . . . 14 |- ( M <_ K -> ( N e. ( ZZ>= ` L ) -> ( ( K e. ZZ /\ L e. ZZ /\ K <_ L ) -> ( M <_ K /\ L <_ N ) ) ) )
17163ad2ant3 1084 . . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( M e. ZZ /\ K e. ZZ /\ M <_ K ) -> ( N e. ( ZZ>= ` L ) -> ( ( K e. ZZ /\ L e. ZZ /\ K <_ L ) -> ( M <_ K /\ L <_ N ) ) ) )
1810, 17sylbi 207 . . . . . . . . . . . 12 |- ( K e. ( ZZ>= ` M ) -> ( N e. ( ZZ>= ` L ) -> ( ( K e. ZZ /\ L e. ZZ /\ K <_ L ) -> ( M <_ K /\ L <_ N ) ) ) )
19 elfzuz 12338 . . . . . . . . . . . 12 |- ( K e. ( M ... N ) -> K e. ( ZZ>= ` M ) )
2018, 19syl11 33 . . . . . . . . . . 11 |- ( N e. ( ZZ>= ` L ) -> ( K e. ( M ... N ) -> ( ( K e. ZZ /\ L e. ZZ /\ K <_ L ) -> ( M <_ K /\ L <_ N ) ) ) )
218, 9, 203syl 18 . . . . . . . . . 10 |- ( ( ( K ... L ) C_ ( M ... N ) /\ L e. ( K ... L ) ) -> ( K e. ( M ... N ) -> ( ( K e. ZZ /\ L e. ZZ /\ K <_ L ) -> ( M <_ K /\ L <_ N ) ) ) )
2221ex 450 . . . . . . . . 9 |- ( ( K ... L ) C_ ( M ... N ) -> ( L e. ( K ... L ) -> ( K e. ( M ... N ) -> ( ( K e. ZZ /\ L e. ZZ /\ K <_ L ) -> ( M <_ K /\ L <_ N ) ) ) ) )
2322com4t 93 . . . . . . . 8 |- ( K e. ( M ... N ) -> ( ( K e. ZZ /\ L e. ZZ /\ K <_ L ) -> ( ( K ... L ) C_ ( M ... N ) -> ( L e. ( K ... L ) -> ( M <_ K /\ L <_ N ) ) ) ) )
247, 23syl 17 . . . . . . 7 |- ( ( ( K ... L ) C_ ( M ... N ) /\ K e. ( K ... L ) ) -> ( ( K e. ZZ /\ L e. ZZ /\ K <_ L ) -> ( ( K ... L ) C_ ( M ... N ) -> ( L e. ( K ... L ) -> ( M <_ K /\ L <_ N ) ) ) ) )
2524ex 450 . . . . . 6 |- ( ( K ... L ) C_ ( M ... N ) -> ( K e. ( K ... L ) -> ( ( K e. ZZ /\ L e. ZZ /\ K <_ L ) -> ( ( K ... L ) C_ ( M ... N ) -> ( L e. ( K ... L ) -> ( M <_ K /\ L <_ N ) ) ) ) ) )
2625com24 95 . . . . 5 |- ( ( K ... L ) C_ ( M ... N ) -> ( ( K ... L ) C_ ( M ... N ) -> ( ( K e. ZZ /\ L e. ZZ /\ K <_ L ) -> ( K e. ( K ... L ) -> ( L e. ( K ... L ) -> ( M <_ K /\ L <_ N ) ) ) ) ) )
2726pm2.43i 52 . . . 4 |- ( ( K ... L ) C_ ( M ... N ) -> ( ( K e. ZZ /\ L e. ZZ /\ K <_ L ) -> ( K e. ( K ... L ) -> ( L e. ( K ... L ) -> ( M <_ K /\ L <_ N ) ) ) ) )
2827com14 96 . . 3 |- ( L e. ( K ... L ) -> ( ( K e. ZZ /\ L e. ZZ /\ K <_ L ) -> ( K e. ( K ... L ) -> ( ( K ... L ) C_ ( M ... N ) -> ( M <_ K /\ L <_ N ) ) ) ) )
296, 28mpcom 38 . 2 |- ( ( K e. ZZ /\ L e. ZZ /\ K <_ L ) -> ( K e. ( K ... L ) -> ( ( K ... L ) C_ ( M ... N ) -> ( M <_ K /\ L <_ N ) ) ) )
304, 29mpd 15 1 |- ( ( K e. ZZ /\ L e. ZZ /\ K <_ L ) -> ( ( K ... L ) C_ ( M ... N ) -> ( M <_ K /\ L <_ N ) ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 384   /\ w3a 1037   e. wcel 1990   C_ wss 3574   class class class wbr 4653   ` cfv 5888  (class class class)co 6650   <_ cle 10075   ZZcz 11377   ZZ>=cuz 11687   ...cfz 12326
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1722  ax-4 1737  ax-5 1839  ax-6 1888  ax-7 1935  ax-8 1992  ax-9 1999  ax-10 2019  ax-11 2034  ax-12 2047  ax-13 2246  ax-ext 2602  ax-sep 4781  ax-nul 4789  ax-pow 4843  ax-pr 4906  ax-un 6949  ax-cnex 9992  ax-resscn 9993  ax-pre-lttri 10010
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1038  df-3an 1039  df-tru 1486  df-ex 1705  df-nf 1710  df-sb 1881  df-eu 2474  df-mo 2475  df-clab 2609  df-cleq 2615  df-clel 2618  df-nfc 2753  df-ne 2795  df-nel 2898  df-ral 2917  df-rex 2918  df-rab 2921  df-v 3202  df-sbc 3436  df-csb 3534  df-dif 3577  df-un 3579  df-in 3581  df-ss 3588  df-nul 3916  df-if 4087  df-pw 4160  df-sn 4178  df-pr 4180  df-op 4184  df-uni 4437  df-iun 4522  df-br 4654  df-opab 4713  df-mpt 4730  df-id 5024  df-xp 5120  df-rel 5121  df-cnv 5122  df-co 5123  df-dm 5124  df-rn 5125  df-res 5126  df-ima 5127  df-iota 5851  df-fun 5890  df-fn 5891  df-f 5892  df-f1 5893  df-fo 5894  df-f1o 5895  df-fv 5896  df-ov 6653  df-oprab 6654  df-mpt2 6655  df-1st 7168  df-2nd 7169  df-er 7742  df-en 7956  df-dom 7957  df-sdom 7958  df-pnf 10076  df-mnf 10077  df-xr 10078  df-ltxr 10079  df-le 10080  df-neg 10269  df-z 11378  df-uz 11688  df-fz 12327
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