Theorem eluzfz2 12349

Description: Membership in a finite set of sequential integers - special case. (Contributed by NM, 13-Sep-2005.) (Revised by Mario Carneiro, 28-Apr-2015.)

Assertion

Ref	Expression
eluzfz2	|- ( N e. ( ZZ>= ` M ) -> N e. ( M ... N ) )

Proof of Theorem eluzfz2

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eluzelz 11697	. . 3 |- ( N e. ( ZZ>= ` M ) -> N e. ZZ )
2		uzid 11702	. . 3 |- ( N e. ZZ -> N e. ( ZZ>= ` N ) )
3	1, 2	syl 17	. 2 |- ( N e. ( ZZ>= ` M ) -> N e. ( ZZ>= ` N ) )
4		eluzfz 12337	. 2 |- ( ( N e. ( ZZ>= ` M ) /\ N e. ( ZZ>= ` N ) ) -> N e. ( M ... N ) )
5	3, 4	mpdan 702	1 |- ( N e. ( ZZ>= ` M ) -> N e. ( M ... N ) )

Syntax hints:   -> wi 4   e. wcel 1990   ` cfv 5888  (class class class)co 6650   ZZcz 11377   ZZ>=cuz 11687   ...cfz 12326

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1722  ax-4 1737  ax-5 1839  ax-6 1888  ax-7 1935  ax-8 1992  ax-9 1999  ax-10 2019  ax-11 2034  ax-12 2047  ax-13 2246  ax-ext 2602  ax-sep 4781  ax-nul 4789  ax-pow 4843  ax-pr 4906  ax-un 6949  ax-cnex 9992  ax-resscn 9993  ax-pre-lttri 10010

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1038  df-3an 1039  df-tru 1486  df-ex 1705  df-nf 1710  df-sb 1881  df-eu 2474  df-mo 2475  df-clab 2609  df-cleq 2615  df-clel 2618  df-nfc 2753  df-ne 2795  df-nel 2898  df-ral 2917  df-rex 2918  df-rab 2921  df-v 3202  df-sbc 3436  df-csb 3534  df-dif 3577  df-un 3579  df-in 3581  df-ss 3588  df-nul 3916  df-if 4087  df-pw 4160  df-sn 4178  df-pr 4180  df-op 4184  df-uni 4437  df-iun 4522  df-br 4654  df-opab 4713  df-mpt 4730  df-id 5024  df-xp 5120  df-rel 5121  df-cnv 5122  df-co 5123  df-dm 5124  df-rn 5125  df-res 5126  df-ima 5127  df-iota 5851  df-fun 5890  df-fn 5891  df-f 5892  df-f1 5893  df-fo 5894  df-f1o 5895  df-fv 5896  df-ov 6653  df-oprab 6654  df-mpt2 6655  df-1st 7168  df-2nd 7169  df-er 7742  df-en 7956  df-dom 7957  df-sdom 7958  df-pnf 10076  df-mnf 10077  df-xr 10078  df-ltxr 10079  df-le 10080  df-neg 10269  df-z 11378  df-uz 11688  df-fz 12327

This theorem is referenced by:  eluzfz2b  12350  elfzubelfz  12353  fzopth  12378  fzsuc  12388  fseq1p1m1  12414  fzm1  12420  fzneuz  12421  fzoend  12559  uzindi  12781  seqcl2  12819  seqfveq2  12823  seqshft2  12827  monoord  12831  monoord2  12832  seqsplit  12834  seqcaopr3  12836  seqf1olem2a  12839  seqf1olem1  12840  seqf1olem2  12841  seqid2  12847  seqhomo  12848  seqcoll  13248  seqcoll2  13249  wrdeqs1cat  13474  swrdccatin12lem2  13489  swrdccatin12lem3  13490  swrdccatin12  13491  splid  13504  spllen  13505  splval2  13508  summolem2a  14446  fsumm1  14480  telfsumo  14534  telfsumo2  14535  fsumparts  14538  prodfn0  14626  prodfrec  14627  prodmolem2a  14664  fprodm1  14697  sadadd  15189  sadass  15193  smuval2  15204  vdwlem6  15690  efgredleme  18156  efgredlemc  18158  efgcpbllemb  18168  frgpuplem  18185  telgsumfzslem  18385  telgsumfzs  18386  pmatcollpw3fi1lem1  20591  chfacfisf  20659  chfacfisfcpmat  20660  iscmet3lem1  23089  iscmet3lem2  23090  voliunlem1  23318  volsup  23324  mbfi1fseqlem3  23484  wilthlem2  24795  wilthlem3  24796  chtub  24937  dchrisum0flb  25199  pntpbnd1  25275  pntlemf  25294  spthonepeq  26648  wwlksnext  26788  submatres  29872  madjusmdetlem1  29893  madjusmdetlem2  29894  madjusmdetlem3  29895  madjusmdetlem4  29896  ballotlemfc0  30554  ballotlemfcc  30555  ballotlemfrci  30589  gsumnunsn  30615  wrdsplex  30618  cvmliftlem10  31276  supfz  31613  fwddifnp1  32272  poimirlem3  33412  poimirlem4  33413  poimirlem16  33425  poimirlem19  33428  poimirlem20  33429  poimirlem23  33432  poimirlem31  33440  volsupnfl  33454  sdclem2  33538  fdc  33541  mettrifi  33553  iunincfi  39272  fmul01lt1lem2  39817  limsupubuzlem  39944  dvnmul  40158  dvnprodlem3  40163  stoweidlem3  40220  stoweidlem11  40228  stoweidlem17  40234  stoweidlem34  40251  fourierdlem15  40339  fourierdlem25  40349  fourierdlem50  40373  fourierdlem52  40375  fourierdlem54  40377  fourierdlem65  40388  fourierdlem81  40404  fourierdlem92  40415  fourierdlem102  40425  fourierdlem111  40434  fourierdlem113  40436  fourierdlem114  40437  etransclem35  40486  sge0p1  40631  carageniuncllem1  40735  caratheodorylem1  40740  smfmullem4  41001  ssfz12  41324  elfzlble  41330  smonoord  41341  pfxccatin12lem2  41424  pfxccatin12  41425