Theorem sucexb 7009

Description: A successor exists iff its class argument exists. (Contributed by NM, 22-Jun-1998.)

Assertion

Ref	Expression
sucexb	|- ( A e. _V <-> suc A e. _V )

Proof of Theorem sucexb

Step	Hyp	Ref	Expression
1		unexb 6958	. 2 |- ( ( A e. _V /\ { A } e. _V ) <-> ( A u. { A } ) e. _V )
2		snex 4908	. . 3 |- { A } e. _V
3	2	biantru 526	. 2 |- ( A e. _V <-> ( A e. _V /\ { A } e. _V ) )
4		df-suc 5729	. . 3 |- suc A = ( A u. { A } )
5	4	eleq1i 2692	. 2 |- ( suc A e. _V <-> ( A u. { A } ) e. _V )
6	1, 3, 5	3bitr4i 292	1 |- ( A e. _V <-> suc A e. _V )

Syntax hints:   <-> wb 196   /\ wa 384   e. wcel 1990   _Vcvv 3200   u. cun 3572   {csn 4177   suc csuc 5725

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1722  ax-4 1737  ax-5 1839  ax-6 1888  ax-7 1935  ax-8 1992  ax-9 1999  ax-10 2019  ax-11 2034  ax-12 2047  ax-13 2246  ax-ext 2602  ax-sep 4781  ax-nul 4789  ax-pr 4906  ax-un 6949

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-tru 1486  df-ex 1705  df-nf 1710  df-sb 1881  df-clab 2609  df-cleq 2615  df-clel 2618  df-nfc 2753  df-rex 2918  df-v 3202  df-dif 3577  df-un 3579  df-in 3581  df-ss 3588  df-nul 3916  df-sn 4178  df-pr 4180  df-uni 4437  df-suc 5729

This theorem is referenced by:  sucexg  7010  sucelon  7017  ordsucelsuc  7022  oeordi  7667  suc11reg  8516  rankxpsuc  8745  isf32lem2  9176  limsucncmpi  32444