Theorem isf32lem2 9176

Description: Lemma for isfin3-2 9189. Non-minimum implies that there is always another decrease. (Contributed by Stefan O'Rear, 5-Nov-2014.)

Hypotheses

Ref	Expression
isf32lem.a	|- ( ph -> F : om --> ~P G )
isf32lem.b	|- ( ph -> A. x e. om ( F ` suc x ) C_ ( F ` x ) )
isf32lem.c	|- ( ph -> -. |^| ran F e. ran F )

Assertion

Ref	Expression
isf32lem2	|- ( ( ph /\ A e. om ) -> E. a e. om ( A e. a /\ ( F ` suc a ) C. ( F ` a ) ) )

Distinct variable groups:   x, a   G, a   ph, a, x   A, a, x   F, a, x

Allowed substitution hint:   G( x)

Proof of Theorem isf32lem2

Dummy variables b c d are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		isf32lem.c	. . . . 5 |- ( ph -> -. |^| ran F e. ran F )
2	1	adantr 481	. . . 4 |- ( ( ph /\ A e. om ) -> -. |^| ran F e. ran F )
3		isf32lem.a	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> F : om --> ~P G )
4		ffn 6045	. . . . . . . . . 10 |- ( F : om --> ~P G -> F Fn om )
5	3, 4	syl 17	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> F Fn om )
6		peano2 7086	. . . . . . . . 9 |- ( A e. om -> suc A e. om )
7		fnfvelrn 6356	. . . . . . . . 9 |- ( ( F Fn om /\ suc A e. om ) -> ( F ` suc A ) e. ran F )
8	5, 6, 7	syl2an 494	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ A e. om ) -> ( F ` suc A ) e. ran F )
9	8	adantr 481	. . . . . . 7 |- ( ( ( ph /\ A e. om ) /\ A. a e. om ( A e. a -> ( F ` suc a ) = ( F ` a ) ) ) -> ( F ` suc A ) e. ran F )
10		intss1 4492	. . . . . . 7 |- ( ( F ` suc A ) e. ran F -> |^| ran F C_ ( F ` suc A ) )
11	9, 10	syl 17	. . . . . 6 |- ( ( ( ph /\ A e. om ) /\ A. a e. om ( A e. a -> ( F ` suc a ) = ( F ` a ) ) ) -> |^| ran F C_ ( F ` suc A ) )
12		fvelrnb 6243	. . . . . . . . . . 11 |- ( F Fn om -> ( b e. ran F <-> E. c e. om ( F ` c ) = b ) )
13	5, 12	syl 17	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> ( b e. ran F <-> E. c e. om ( F ` c ) = b ) )
14	13	ad2antrr 762	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ph /\ A e. om ) /\ A. a e. om ( A e. a -> ( F ` suc a ) = ( F ` a ) ) ) -> ( b e. ran F <-> E. c e. om ( F ` c ) = b ) )
15		simplrr 801	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ( ph /\ A e. om ) /\ ( A. a e. om ( A e. a -> ( F ` suc a ) = ( F ` a ) ) /\ c e. om ) ) /\ suc A C_ c ) -> c e. om )
16	6	ad3antlr 767	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ( ph /\ A e. om ) /\ ( A. a e. om ( A e. a -> ( F ` suc a ) = ( F ` a ) ) /\ c e. om ) ) /\ suc A C_ c ) -> suc A e. om )
17		simpr 477	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ( ph /\ A e. om ) /\ ( A. a e. om ( A e. a -> ( F ` suc a ) = ( F ` a ) ) /\ c e. om ) ) /\ suc A C_ c ) -> suc A C_ c )
18		simplrl 800	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ( ph /\ A e. om ) /\ ( A. a e. om ( A e. a -> ( F ` suc a ) = ( F ` a ) ) /\ c e. om ) ) /\ suc A C_ c ) -> A. a e. om ( A e. a -> ( F ` suc a ) = ( F ` a ) ) )
19		fveq2 6191	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( b = suc A -> ( F ` b ) = ( F ` suc A ) )
20	19	eqeq2d 2632	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( b = suc A -> ( ( F ` suc A ) = ( F ` b ) <-> ( F ` suc A ) = ( F ` suc A ) ) )
21	20	imbi2d 330	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( b = suc A -> ( ( A. a e. om ( A e. a -> ( F ` suc a ) = ( F ` a ) ) -> ( F ` suc A ) = ( F ` b ) ) <-> ( A. a e. om ( A e. a -> ( F ` suc a ) = ( F ` a ) ) -> ( F ` suc A ) = ( F ` suc A ) ) ) )
22		fveq2 6191	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( b = d -> ( F ` b ) = ( F ` d ) )
23	22	eqeq2d 2632	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( b = d -> ( ( F ` suc A ) = ( F ` b ) <-> ( F ` suc A ) = ( F ` d ) ) )
24	23	imbi2d 330	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( b = d -> ( ( A. a e. om ( A e. a -> ( F ` suc a ) = ( F ` a ) ) -> ( F ` suc A ) = ( F ` b ) ) <-> ( A. a e. om ( A e. a -> ( F ` suc a ) = ( F ` a ) ) -> ( F ` suc A ) = ( F ` d ) ) ) )
25		fveq2 6191	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( b = suc d -> ( F ` b ) = ( F ` suc d ) )
26	25	eqeq2d 2632	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( b = suc d -> ( ( F ` suc A ) = ( F ` b ) <-> ( F ` suc A ) = ( F ` suc d ) ) )
27	26	imbi2d 330	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( b = suc d -> ( ( A. a e. om ( A e. a -> ( F ` suc a ) = ( F ` a ) ) -> ( F ` suc A ) = ( F ` b ) ) <-> ( A. a e. om ( A e. a -> ( F ` suc a ) = ( F ` a ) ) -> ( F ` suc A ) = ( F ` suc d ) ) ) )
28		fveq2 6191	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( b = c -> ( F ` b ) = ( F ` c ) )
29	28	eqeq2d 2632	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( b = c -> ( ( F ` suc A ) = ( F ` b ) <-> ( F ` suc A ) = ( F ` c ) ) )
30	29	imbi2d 330	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( b = c -> ( ( A. a e. om ( A e. a -> ( F ` suc a ) = ( F ` a ) ) -> ( F ` suc A ) = ( F ` b ) ) <-> ( A. a e. om ( A e. a -> ( F ` suc a ) = ( F ` a ) ) -> ( F ` suc A ) = ( F ` c ) ) ) )
31		eqid 2622	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( F ` suc A ) = ( F ` suc A )
32	31	2a1i 12	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( suc A e. om -> ( A. a e. om ( A e. a -> ( F ` suc a ) = ( F ` a ) ) -> ( F ` suc A ) = ( F ` suc A ) ) )
33		elex 3212	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 |- ( suc A e. om -> suc A e. _V )
34		sucexb 7009	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 |- ( A e. _V <-> suc A e. _V )
35	33, 34	sylibr 224	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 |- ( suc A e. om -> A e. _V )
36	35	adantl 482	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 |- ( ( d e. om /\ suc A e. om ) -> A e. _V )
37		sucssel 5819	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 |- ( A e. _V -> ( suc A C_ d -> A e. d ) )
38	36, 37	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( ( d e. om /\ suc A e. om ) -> ( suc A C_ d -> A e. d ) )
39	38	imp 445	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( ( ( d e. om /\ suc A e. om ) /\ suc A C_ d ) -> A e. d )
40		eleq2 2690	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 |- ( a = d -> ( A e. a <-> A e. d ) )
41		suceq 5790	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 |- ( a = d -> suc a = suc d )
42	41	fveq2d 6195	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 |- ( a = d -> ( F ` suc a ) = ( F ` suc d ) )
43		fveq2 6191	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 |- ( a = d -> ( F ` a ) = ( F ` d ) )
44	42, 43	eqeq12d 2637	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 |- ( a = d -> ( ( F ` suc a ) = ( F ` a ) <-> ( F ` suc d ) = ( F ` d ) ) )
45	40, 44	imbi12d 334	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 |- ( a = d -> ( ( A e. a -> ( F ` suc a ) = ( F ` a ) ) <-> ( A e. d -> ( F ` suc d ) = ( F ` d ) ) ) )
46	45	rspcv 3305	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 |- ( d e. om -> ( A. a e. om ( A e. a -> ( F ` suc a ) = ( F ` a ) ) -> ( A e. d -> ( F ` suc d ) = ( F ` d ) ) ) )
47	46	com23 86	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( d e. om -> ( A e. d -> ( A. a e. om ( A e. a -> ( F ` suc a ) = ( F ` a ) ) -> ( F ` suc d ) = ( F ` d ) ) ) )
48	47	ad2antrr 762	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( ( ( d e. om /\ suc A e. om ) /\ suc A C_ d ) -> ( A e. d -> ( A. a e. om ( A e. a -> ( F ` suc a ) = ( F ` a ) ) -> ( F ` suc d ) = ( F ` d ) ) ) )
49	39, 48	mpd 15	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( ( d e. om /\ suc A e. om ) /\ suc A C_ d ) -> ( A. a e. om ( A e. a -> ( F ` suc a ) = ( F ` a ) ) -> ( F ` suc d ) = ( F ` d ) ) )
50		eqtr3 2643	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( ( ( F ` suc A ) = ( F ` d ) /\ ( F ` suc d ) = ( F ` d ) ) -> ( F ` suc A ) = ( F ` suc d ) )
51	50	expcom 451	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( F ` suc d ) = ( F ` d ) -> ( ( F ` suc A ) = ( F ` d ) -> ( F ` suc A ) = ( F ` suc d ) ) )
52	49, 51	syl6 35	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( ( d e. om /\ suc A e. om ) /\ suc A C_ d ) -> ( A. a e. om ( A e. a -> ( F ` suc a ) = ( F ` a ) ) -> ( ( F ` suc A ) = ( F ` d ) -> ( F ` suc A ) = ( F ` suc d ) ) ) )
53	52	a2d 29	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ( d e. om /\ suc A e. om ) /\ suc A C_ d ) -> ( ( A. a e. om ( A e. a -> ( F ` suc a ) = ( F ` a ) ) -> ( F ` suc A ) = ( F ` d ) ) -> ( A. a e. om ( A e. a -> ( F ` suc a ) = ( F ` a ) ) -> ( F ` suc A ) = ( F ` suc d ) ) ) )
54	21, 24, 27, 30, 32, 53	findsg 7093	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( c e. om /\ suc A e. om ) /\ suc A C_ c ) -> ( A. a e. om ( A e. a -> ( F ` suc a ) = ( F ` a ) ) -> ( F ` suc A ) = ( F ` c ) ) )
55	54	impr 649	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( c e. om /\ suc A e. om ) /\ ( suc A C_ c /\ A. a e. om ( A e. a -> ( F ` suc a ) = ( F ` a ) ) ) ) -> ( F ` suc A ) = ( F ` c ) )
56	15, 16, 17, 18, 55	syl22anc 1327	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ( ph /\ A e. om ) /\ ( A. a e. om ( A e. a -> ( F ` suc a ) = ( F ` a ) ) /\ c e. om ) ) /\ suc A C_ c ) -> ( F ` suc A ) = ( F ` c ) )
57		eqimss 3657	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( F ` suc A ) = ( F ` c ) -> ( F ` suc A ) C_ ( F ` c ) )
58	56, 57	syl 17	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ( ph /\ A e. om ) /\ ( A. a e. om ( A e. a -> ( F ` suc a ) = ( F ` a ) ) /\ c e. om ) ) /\ suc A C_ c ) -> ( F ` suc A ) C_ ( F ` c ) )
59	6	ad3antlr 767	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ( ph /\ A e. om ) /\ ( A. a e. om ( A e. a -> ( F ` suc a ) = ( F ` a ) ) /\ c e. om ) ) /\ c C_ suc A ) -> suc A e. om )
60		simplrr 801	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ( ph /\ A e. om ) /\ ( A. a e. om ( A e. a -> ( F ` suc a ) = ( F ` a ) ) /\ c e. om ) ) /\ c C_ suc A ) -> c e. om )
61		simpr 477	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ( ph /\ A e. om ) /\ ( A. a e. om ( A e. a -> ( F ` suc a ) = ( F ` a ) ) /\ c e. om ) ) /\ c C_ suc A ) -> c C_ suc A )
62		simplll 798	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ( ph /\ A e. om ) /\ ( A. a e. om ( A e. a -> ( F ` suc a ) = ( F ` a ) ) /\ c e. om ) ) /\ c C_ suc A ) -> ph )
63		isf32lem.b	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ph -> A. x e. om ( F ` suc x ) C_ ( F ` x ) )
64	3, 63, 1	isf32lem1 9175	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( suc A e. om /\ c e. om ) /\ ( c C_ suc A /\ ph ) ) -> ( F ` suc A ) C_ ( F ` c ) )
65	59, 60, 61, 62, 64	syl22anc 1327	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ( ph /\ A e. om ) /\ ( A. a e. om ( A e. a -> ( F ` suc a ) = ( F ` a ) ) /\ c e. om ) ) /\ c C_ suc A ) -> ( F ` suc A ) C_ ( F ` c ) )
66		nnord 7073	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( suc A e. om -> Ord suc A )
67	6, 66	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( A e. om -> Ord suc A )
68	67	ad2antlr 763	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ph /\ A e. om ) /\ ( A. a e. om ( A e. a -> ( F ` suc a ) = ( F ` a ) ) /\ c e. om ) ) -> Ord suc A )
69		nnord 7073	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( c e. om -> Ord c )
70	69	ad2antll 765	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ph /\ A e. om ) /\ ( A. a e. om ( A e. a -> ( F ` suc a ) = ( F ` a ) ) /\ c e. om ) ) -> Ord c )
71		ordtri2or2 5823	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( Ord suc A /\ Ord c ) -> ( suc A C_ c \/ c C_ suc A ) )
72	68, 70, 71	syl2anc 693	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ph /\ A e. om ) /\ ( A. a e. om ( A e. a -> ( F ` suc a ) = ( F ` a ) ) /\ c e. om ) ) -> ( suc A C_ c \/ c C_ suc A ) )
73	58, 65, 72	mpjaodan 827	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ph /\ A e. om ) /\ ( A. a e. om ( A e. a -> ( F ` suc a ) = ( F ` a ) ) /\ c e. om ) ) -> ( F ` suc A ) C_ ( F ` c ) )
74	73	anassrs 680	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( ph /\ A e. om ) /\ A. a e. om ( A e. a -> ( F ` suc a ) = ( F ` a ) ) ) /\ c e. om ) -> ( F ` suc A ) C_ ( F ` c ) )
75		sseq2 3627	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( F ` c ) = b -> ( ( F ` suc A ) C_ ( F ` c ) <-> ( F ` suc A ) C_ b ) )
76	74, 75	syl5ibcom 235	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( ph /\ A e. om ) /\ A. a e. om ( A e. a -> ( F ` suc a ) = ( F ` a ) ) ) /\ c e. om ) -> ( ( F ` c ) = b -> ( F ` suc A ) C_ b ) )
77	76	rexlimdva 3031	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ph /\ A e. om ) /\ A. a e. om ( A e. a -> ( F ` suc a ) = ( F ` a ) ) ) -> ( E. c e. om ( F ` c ) = b -> ( F ` suc A ) C_ b ) )
78	14, 77	sylbid 230	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ph /\ A e. om ) /\ A. a e. om ( A e. a -> ( F ` suc a ) = ( F ` a ) ) ) -> ( b e. ran F -> ( F ` suc A ) C_ b ) )
79	78	ralrimiv 2965	. . . . . . 7 |- ( ( ( ph /\ A e. om ) /\ A. a e. om ( A e. a -> ( F ` suc a ) = ( F ` a ) ) ) -> A. b e. ran F ( F ` suc A ) C_ b )
80		ssint 4493	. . . . . . 7 |- ( ( F ` suc A ) C_ |^| ran F <-> A. b e. ran F ( F ` suc A ) C_ b )
81	79, 80	sylibr 224	. . . . . 6 |- ( ( ( ph /\ A e. om ) /\ A. a e. om ( A e. a -> ( F ` suc a ) = ( F ` a ) ) ) -> ( F ` suc A ) C_ |^| ran F )
82	11, 81	eqssd 3620	. . . . 5 |- ( ( ( ph /\ A e. om ) /\ A. a e. om ( A e. a -> ( F ` suc a ) = ( F ` a ) ) ) -> |^| ran F = ( F ` suc A ) )
83	82, 9	eqeltrd 2701	. . . 4 |- ( ( ( ph /\ A e. om ) /\ A. a e. om ( A e. a -> ( F ` suc a ) = ( F ` a ) ) ) -> |^| ran F e. ran F )
84	2, 83	mtand 691	. . 3 |- ( ( ph /\ A e. om ) -> -. A. a e. om ( A e. a -> ( F ` suc a ) = ( F ` a ) ) )
85		rexnal 2995	. . 3 |- ( E. a e. om -. ( A e. a -> ( F ` suc a ) = ( F ` a ) ) <-> -. A. a e. om ( A e. a -> ( F ` suc a ) = ( F ` a ) ) )
86	84, 85	sylibr 224	. 2 |- ( ( ph /\ A e. om ) -> E. a e. om -. ( A e. a -> ( F ` suc a ) = ( F ` a ) ) )
87		suceq 5790	. . . . . . . 8 |- ( x = a -> suc x = suc a )
88	87	fveq2d 6195	. . . . . . 7 |- ( x = a -> ( F ` suc x ) = ( F ` suc a ) )
89		fveq2 6191	. . . . . . 7 |- ( x = a -> ( F ` x ) = ( F ` a ) )
90	88, 89	sseq12d 3634	. . . . . 6 |- ( x = a -> ( ( F ` suc x ) C_ ( F ` x ) <-> ( F ` suc a ) C_ ( F ` a ) ) )
91	90	cbvralv 3171	. . . . 5 |- ( A. x e. om ( F ` suc x ) C_ ( F ` x ) <-> A. a e. om ( F ` suc a ) C_ ( F ` a ) )
92	63, 91	sylib 208	. . . 4 |- ( ph -> A. a e. om ( F ` suc a ) C_ ( F ` a ) )
93	92	adantr 481	. . 3 |- ( ( ph /\ A e. om ) -> A. a e. om ( F ` suc a ) C_ ( F ` a ) )
94		pm4.61 442	. . . . 5 |- ( -. ( A e. a -> ( F ` suc a ) = ( F ` a ) ) <-> ( A e. a /\ -. ( F ` suc a ) = ( F ` a ) ) )
95		dfpss2 3692	. . . . . . 7 |- ( ( F ` suc a ) C. ( F ` a ) <-> ( ( F ` suc a ) C_ ( F ` a ) /\ -. ( F ` suc a ) = ( F ` a ) ) )
96	95	simplbi2 655	. . . . . 6 |- ( ( F ` suc a ) C_ ( F ` a ) -> ( -. ( F ` suc a ) = ( F ` a ) -> ( F ` suc a ) C. ( F ` a ) ) )
97	96	anim2d 589	. . . . 5 |- ( ( F ` suc a ) C_ ( F ` a ) -> ( ( A e. a /\ -. ( F ` suc a ) = ( F ` a ) ) -> ( A e. a /\ ( F ` suc a ) C. ( F ` a ) ) ) )
98	94, 97	syl5bi 232	. . . 4 |- ( ( F ` suc a ) C_ ( F ` a ) -> ( -. ( A e. a -> ( F ` suc a ) = ( F ` a ) ) -> ( A e. a /\ ( F ` suc a ) C. ( F ` a ) ) ) )
99	98	ralimi 2952	. . 3 |- ( A. a e. om ( F ` suc a ) C_ ( F ` a ) -> A. a e. om ( -. ( A e. a -> ( F ` suc a ) = ( F ` a ) ) -> ( A e. a /\ ( F ` suc a ) C. ( F ` a ) ) ) )
100		rexim 3008	. . 3 |- ( A. a e. om ( -. ( A e. a -> ( F ` suc a ) = ( F ` a ) ) -> ( A e. a /\ ( F ` suc a ) C. ( F ` a ) ) ) -> ( E. a e. om -. ( A e. a -> ( F ` suc a ) = ( F ` a ) ) -> E. a e. om ( A e. a /\ ( F ` suc a ) C. ( F ` a ) ) ) )
101	93, 99, 100	3syl 18	. 2 |- ( ( ph /\ A e. om ) -> ( E. a e. om -. ( A e. a -> ( F ` suc a ) = ( F ` a ) ) -> E. a e. om ( A e. a /\ ( F ` suc a ) C. ( F ` a ) ) ) )
102	86, 101	mpd 15	1 |- ( ( ph /\ A e. om ) -> E. a e. om ( A e. a /\ ( F ` suc a ) C. ( F ` a ) ) )

Syntax hints:   -. wn 3   -> wi 4   <-> wb 196   \/ wo 383   /\ wa 384   = wceq 1483   e. wcel 1990   A.wral 2912   E.wrex 2913   _Vcvv 3200   C_ wss 3574   C. wpss 3575   ~Pcpw 4158   |^|cint 4475   ran crn 5115   Ord word 5722   suc csuc 5725   Fn wfn 5883   -->wf 5884   ` cfv 5888   omcom 7065

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1722  ax-4 1737  ax-5 1839  ax-6 1888  ax-7 1935  ax-8 1992  ax-9 1999  ax-10 2019  ax-11 2034  ax-12 2047  ax-13 2246  ax-ext 2602  ax-sep 4781  ax-nul 4789  ax-pr 4906  ax-un 6949

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1038  df-3an 1039  df-tru 1486  df-ex 1705  df-nf 1710  df-sb 1881  df-eu 2474  df-mo 2475  df-clab 2609  df-cleq 2615  df-clel 2618  df-nfc 2753  df-ne 2795  df-ral 2917  df-rex 2918  df-rab 2921  df-v 3202  df-sbc 3436  df-dif 3577  df-un 3579  df-in 3581  df-ss 3588  df-pss 3590  df-nul 3916  df-if 4087  df-pw 4160  df-sn 4178  df-pr 4180  df-tp 4182  df-op 4184  df-uni 4437  df-int 4476  df-br 4654  df-opab 4713  df-mpt 4730  df-tr 4753  df-id 5024  df-eprel 5029  df-po 5035  df-so 5036  df-fr 5073  df-we 5075  df-xp 5120  df-rel 5121  df-cnv 5122  df-co 5123  df-dm 5124  df-rn 5125  df-ord 5726  df-on 5727  df-lim 5728  df-suc 5729  df-iota 5851  df-fun 5890  df-fn 5891  df-f 5892  df-fv 5896  df-om 7066

This theorem is referenced by:  isf32lem5  9179