Theorem limsucncmpi 32444

Description: The successor of a limit ordinal is not compact. (Contributed by Chen-Pang He, 20-Oct-2015.)

Hypothesis

Ref	Expression
limsucncmpi.1	|- Lim A

Assertion

Ref	Expression
limsucncmpi	|- -. suc A e. Comp

Proof of Theorem limsucncmpi

Dummy variables y z are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		elex 3212	. . . . 5 |- ( suc A e. Top -> suc A e. _V )
2		sucexb 7009	. . . . 5 |- ( A e. _V <-> suc A e. _V )
3	1, 2	sylibr 224	. . . 4 |- ( suc A e. Top -> A e. _V )
4		sssucid 5802	. . . . 5 |- A C_ suc A
5		elpwg 4166	. . . . 5 |- ( A e. _V -> ( A e. ~P suc A <-> A C_ suc A ) )
6	4, 5	mpbiri 248	. . . 4 |- ( A e. _V -> A e. ~P suc A )
7		limsucncmpi.1	. . . . . . 7 |- Lim A
8		limuni 5785	. . . . . . 7 |- ( Lim A -> A = U. A )
9	7, 8	ax-mp 5	. . . . . 6 |- A = U. A
10		elin 3796	. . . . . . . . . 10 |- ( z e. ( ~P A i^i Fin ) <-> ( z e. ~P A /\ z e. Fin ) )
11		elpwi 4168	. . . . . . . . . . 11 |- ( z e. ~P A -> z C_ A )
12	11	anim1i 592	. . . . . . . . . 10 |- ( ( z e. ~P A /\ z e. Fin ) -> ( z C_ A /\ z e. Fin ) )
13	10, 12	sylbi 207	. . . . . . . . 9 |- ( z e. ( ~P A i^i Fin ) -> ( z C_ A /\ z e. Fin ) )
14		nlim0 5783	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- -. Lim (/)
15	7, 14	2th 254	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( Lim A <-> -. Lim (/) )
16		xor3 372	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( -. ( Lim A <-> Lim (/) ) <-> ( Lim A <-> -. Lim (/) ) )
17	15, 16	mpbir 221	. . . . . . . . . . . . . 14 |- -. ( Lim A <-> Lim (/) )
18		limeq 5735	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( A = (/) -> ( Lim A <-> Lim (/) ) )
19	18	necon3bi 2820	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( -. ( Lim A <-> Lim (/) ) -> A =/= (/) )
20	17, 19	ax-mp 5	. . . . . . . . . . . . 13 |- A =/= (/)
21		uni0 4465	. . . . . . . . . . . . 13 |- U. (/) = (/)
22	20, 21	neeqtrri 2867	. . . . . . . . . . . 12 |- A =/= U. (/)
23		unieq 4444	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( z = (/) -> U. z = U. (/) )
24	23	neeq2d 2854	. . . . . . . . . . . 12 |- ( z = (/) -> ( A =/= U. z <-> A =/= U. (/) ) )
25	22, 24	mpbiri 248	. . . . . . . . . . 11 |- ( z = (/) -> A =/= U. z )
26	25	a1i 11	. . . . . . . . . 10 |- ( ( z C_ A /\ z e. Fin ) -> ( z = (/) -> A =/= U. z ) )
27		limord 5784	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( Lim A -> Ord A )
28		ordsson 6989	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( Ord A -> A C_ On )
29	7, 27, 28	mp2b 10	. . . . . . . . . . . . 13 |- A C_ On
30		sstr2 3610	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( z C_ A -> ( A C_ On -> z C_ On ) )
31	29, 30	mpi 20	. . . . . . . . . . . 12 |- ( z C_ A -> z C_ On )
32		ordunifi 8210	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( z C_ On /\ z e. Fin /\ z =/= (/) ) -> U. z e. z )
33	32	3expia 1267	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( z C_ On /\ z e. Fin ) -> ( z =/= (/) -> U. z e. z ) )
34	31, 33	sylan 488	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( z C_ A /\ z e. Fin ) -> ( z =/= (/) -> U. z e. z ) )
35		ssel 3597	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( z C_ A -> ( U. z e. z -> U. z e. A ) )
36	7, 27	ax-mp 5	. . . . . . . . . . . . . 14 |- Ord A
37		nordeq 5742	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( Ord A /\ U. z e. A ) -> A =/= U. z )
38	36, 37	mpan 706	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( U. z e. A -> A =/= U. z )
39	35, 38	syl6 35	. . . . . . . . . . . 12 |- ( z C_ A -> ( U. z e. z -> A =/= U. z ) )
40	39	adantr 481	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( z C_ A /\ z e. Fin ) -> ( U. z e. z -> A =/= U. z ) )
41	34, 40	syld 47	. . . . . . . . . 10 |- ( ( z C_ A /\ z e. Fin ) -> ( z =/= (/) -> A =/= U. z ) )
42	26, 41	pm2.61dne 2880	. . . . . . . . 9 |- ( ( z C_ A /\ z e. Fin ) -> A =/= U. z )
43	13, 42	syl 17	. . . . . . . 8 |- ( z e. ( ~P A i^i Fin ) -> A =/= U. z )
44	43	neneqd 2799	. . . . . . 7 |- ( z e. ( ~P A i^i Fin ) -> -. A = U. z )
45	44	nrex 3000	. . . . . 6 |- -. E. z e. ( ~P A i^i Fin ) A = U. z
46		unieq 4444	. . . . . . . . 9 |- ( y = A -> U. y = U. A )
47	46	eqeq2d 2632	. . . . . . . 8 |- ( y = A -> ( A = U. y <-> A = U. A ) )
48		pweq 4161	. . . . . . . . . . 11 |- ( y = A -> ~P y = ~P A )
49	48	ineq1d 3813	. . . . . . . . . 10 |- ( y = A -> ( ~P y i^i Fin ) = ( ~P A i^i Fin ) )
50	49	rexeqdv 3145	. . . . . . . . 9 |- ( y = A -> ( E. z e. ( ~P y i^i Fin ) A = U. z <-> E. z e. ( ~P A i^i Fin ) A = U. z ) )
51	50	notbid 308	. . . . . . . 8 |- ( y = A -> ( -. E. z e. ( ~P y i^i Fin ) A = U. z <-> -. E. z e. ( ~P A i^i Fin ) A = U. z ) )
52	47, 51	anbi12d 747	. . . . . . 7 |- ( y = A -> ( ( A = U. y /\ -. E. z e. ( ~P y i^i Fin ) A = U. z ) <-> ( A = U. A /\ -. E. z e. ( ~P A i^i Fin ) A = U. z ) ) )
53	52	rspcev 3309	. . . . . 6 |- ( ( A e. ~P suc A /\ ( A = U. A /\ -. E. z e. ( ~P A i^i Fin ) A = U. z ) ) -> E. y e. ~P suc A ( A = U. y /\ -. E. z e. ( ~P y i^i Fin ) A = U. z ) )
54	9, 45, 53	mpanr12 721	. . . . 5 |- ( A e. ~P suc A -> E. y e. ~P suc A ( A = U. y /\ -. E. z e. ( ~P y i^i Fin ) A = U. z ) )
55		rexanali 2998	. . . . 5 |- ( E. y e. ~P suc A ( A = U. y /\ -. E. z e. ( ~P y i^i Fin ) A = U. z ) <-> -. A. y e. ~P suc A ( A = U. y -> E. z e. ( ~P y i^i Fin ) A = U. z ) )
56	54, 55	sylib 208	. . . 4 |- ( A e. ~P suc A -> -. A. y e. ~P suc A ( A = U. y -> E. z e. ( ~P y i^i Fin ) A = U. z ) )
57	3, 6, 56	3syl 18	. . 3 |- ( suc A e. Top -> -. A. y e. ~P suc A ( A = U. y -> E. z e. ( ~P y i^i Fin ) A = U. z ) )
58		imnan 438	. . 3 |- ( ( suc A e. Top -> -. A. y e. ~P suc A ( A = U. y -> E. z e. ( ~P y i^i Fin ) A = U. z ) ) <-> -. ( suc A e. Top /\ A. y e. ~P suc A ( A = U. y -> E. z e. ( ~P y i^i Fin ) A = U. z ) ) )
59	57, 58	mpbi 220	. 2 |- -. ( suc A e. Top /\ A. y e. ~P suc A ( A = U. y -> E. z e. ( ~P y i^i Fin ) A = U. z ) )
60		ordunisuc 7032	. . . . 5 |- ( Ord A -> U. suc A = A )
61	7, 27, 60	mp2b 10	. . . 4 |- U. suc A = A
62	61	eqcomi 2631	. . 3 |- A = U. suc A
63	62	iscmp 21191	. 2 |- ( suc A e. Comp <-> ( suc A e. Top /\ A. y e. ~P suc A ( A = U. y -> E. z e. ( ~P y i^i Fin ) A = U. z ) ) )
64	59, 63	mtbir 313	1 |- -. suc A e. Comp

Syntax hints:   -. wn 3   -> wi 4   <-> wb 196   /\ wa 384   = wceq 1483   e. wcel 1990   =/= wne 2794   A.wral 2912   E.wrex 2913   _Vcvv 3200   i^i cin 3573   C_ wss 3574   (/)c0 3915   ~Pcpw 4158   U.cuni 4436   Ord word 5722   Oncon0 5723   Lim wlim 5724   suc csuc 5725   Fincfn 7955   Topctop 20698   Compccmp 21189

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1722  ax-4 1737  ax-5 1839  ax-6 1888  ax-7 1935  ax-8 1992  ax-9 1999  ax-10 2019  ax-11 2034  ax-12 2047  ax-13 2246  ax-ext 2602  ax-sep 4781  ax-nul 4789  ax-pow 4843  ax-pr 4906  ax-un 6949

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1038  df-3an 1039  df-tru 1486  df-ex 1705  df-nf 1710  df-sb 1881  df-eu 2474  df-mo 2475  df-clab 2609  df-cleq 2615  df-clel 2618  df-nfc 2753  df-ne 2795  df-ral 2917  df-rex 2918  df-rab 2921  df-v 3202  df-sbc 3436  df-dif 3577  df-un 3579  df-in 3581  df-ss 3588  df-pss 3590  df-nul 3916  df-if 4087  df-pw 4160  df-sn 4178  df-pr 4180  df-tp 4182  df-op 4184  df-uni 4437  df-br 4654  df-opab 4713  df-tr 4753  df-id 5024  df-eprel 5029  df-po 5035  df-so 5036  df-fr 5073  df-we 5075  df-xp 5120  df-rel 5121  df-cnv 5122  df-co 5123  df-dm 5124  df-rn 5125  df-res 5126  df-ima 5127  df-ord 5726  df-on 5727  df-lim 5728  df-suc 5729  df-iota 5851  df-fun 5890  df-fn 5891  df-f 5892  df-f1 5893  df-fo 5894  df-f1o 5895  df-fv 5896  df-om 7066  df-1o 7560  df-er 7742  df-en 7956  df-fin 7959  df-cmp 21190

This theorem is referenced by:  limsucncmp  32445