Theorem oeordi 7667

Description: Ordering law for ordinal exponentiation. Proposition 8.33 of [TakeutiZaring] p. 67. (Contributed by NM, 5-Jan-2005.) (Revised by Mario Carneiro, 24-May-2015.)

Assertion

Ref	Expression
oeordi	|- ( ( B e. On /\ C e. ( On \ 2o ) ) -> ( A e. B -> ( C ^o A ) e. ( C ^o B ) ) )

Proof of Theorem oeordi

Dummy variables x y are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		oveq2 6658	. . . . 5 |- ( x = suc A -> ( C ^o x ) = ( C ^o suc A ) )
2	1	eleq2d 2687	. . . 4 |- ( x = suc A -> ( ( C ^o A ) e. ( C ^o x ) <-> ( C ^o A ) e. ( C ^o suc A ) ) )
3	2	imbi2d 330	. . 3 |- ( x = suc A -> ( ( C e. ( On \ 2o ) -> ( C ^o A ) e. ( C ^o x ) ) <-> ( C e. ( On \ 2o ) -> ( C ^o A ) e. ( C ^o suc A ) ) ) )
4		oveq2 6658	. . . . 5 |- ( x = y -> ( C ^o x ) = ( C ^o y ) )
5	4	eleq2d 2687	. . . 4 |- ( x = y -> ( ( C ^o A ) e. ( C ^o x ) <-> ( C ^o A ) e. ( C ^o y ) ) )
6	5	imbi2d 330	. . 3 |- ( x = y -> ( ( C e. ( On \ 2o ) -> ( C ^o A ) e. ( C ^o x ) ) <-> ( C e. ( On \ 2o ) -> ( C ^o A ) e. ( C ^o y ) ) ) )
7		oveq2 6658	. . . . 5 |- ( x = suc y -> ( C ^o x ) = ( C ^o suc y ) )
8	7	eleq2d 2687	. . . 4 |- ( x = suc y -> ( ( C ^o A ) e. ( C ^o x ) <-> ( C ^o A ) e. ( C ^o suc y ) ) )
9	8	imbi2d 330	. . 3 |- ( x = suc y -> ( ( C e. ( On \ 2o ) -> ( C ^o A ) e. ( C ^o x ) ) <-> ( C e. ( On \ 2o ) -> ( C ^o A ) e. ( C ^o suc y ) ) ) )
10		oveq2 6658	. . . . 5 |- ( x = B -> ( C ^o x ) = ( C ^o B ) )
11	10	eleq2d 2687	. . . 4 |- ( x = B -> ( ( C ^o A ) e. ( C ^o x ) <-> ( C ^o A ) e. ( C ^o B ) ) )
12	11	imbi2d 330	. . 3 |- ( x = B -> ( ( C e. ( On \ 2o ) -> ( C ^o A ) e. ( C ^o x ) ) <-> ( C e. ( On \ 2o ) -> ( C ^o A ) e. ( C ^o B ) ) ) )
13		eldifi 3732	. . . . . . . 8 |- ( C e. ( On \ 2o ) -> C e. On )
14		oecl 7617	. . . . . . . 8 |- ( ( C e. On /\ A e. On ) -> ( C ^o A ) e. On )
15	13, 14	sylan 488	. . . . . . 7 |- ( ( C e. ( On \ 2o ) /\ A e. On ) -> ( C ^o A ) e. On )
16		om1 7622	. . . . . . 7 |- ( ( C ^o A ) e. On -> ( ( C ^o A ) .o 1o ) = ( C ^o A ) )
17	15, 16	syl 17	. . . . . 6 |- ( ( C e. ( On \ 2o ) /\ A e. On ) -> ( ( C ^o A ) .o 1o ) = ( C ^o A ) )
18		ondif2 7582	. . . . . . . . 9 |- ( C e. ( On \ 2o ) <-> ( C e. On /\ 1o e. C ) )
19	18	simprbi 480	. . . . . . . 8 |- ( C e. ( On \ 2o ) -> 1o e. C )
20	19	adantr 481	. . . . . . 7 |- ( ( C e. ( On \ 2o ) /\ A e. On ) -> 1o e. C )
21	13	adantr 481	. . . . . . . 8 |- ( ( C e. ( On \ 2o ) /\ A e. On ) -> C e. On )
22		simpr 477	. . . . . . . . 9 |- ( ( C e. ( On \ 2o ) /\ A e. On ) -> A e. On )
23		dif20el 7585	. . . . . . . . . 10 |- ( C e. ( On \ 2o ) -> (/) e. C )
24	23	adantr 481	. . . . . . . . 9 |- ( ( C e. ( On \ 2o ) /\ A e. On ) -> (/) e. C )
25		oen0 7666	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( C e. On /\ A e. On ) /\ (/) e. C ) -> (/) e. ( C ^o A ) )
26	21, 22, 24, 25	syl21anc 1325	. . . . . . . 8 |- ( ( C e. ( On \ 2o ) /\ A e. On ) -> (/) e. ( C ^o A ) )
27		omordi 7646	. . . . . . . 8 |- ( ( ( C e. On /\ ( C ^o A ) e. On ) /\ (/) e. ( C ^o A ) ) -> ( 1o e. C -> ( ( C ^o A ) .o 1o ) e. ( ( C ^o A ) .o C ) ) )
28	21, 15, 26, 27	syl21anc 1325	. . . . . . 7 |- ( ( C e. ( On \ 2o ) /\ A e. On ) -> ( 1o e. C -> ( ( C ^o A ) .o 1o ) e. ( ( C ^o A ) .o C ) ) )
29	20, 28	mpd 15	. . . . . 6 |- ( ( C e. ( On \ 2o ) /\ A e. On ) -> ( ( C ^o A ) .o 1o ) e. ( ( C ^o A ) .o C ) )
30	17, 29	eqeltrrd 2702	. . . . 5 |- ( ( C e. ( On \ 2o ) /\ A e. On ) -> ( C ^o A ) e. ( ( C ^o A ) .o C ) )
31		oesuc 7607	. . . . . 6 |- ( ( C e. On /\ A e. On ) -> ( C ^o suc A ) = ( ( C ^o A ) .o C ) )
32	13, 31	sylan 488	. . . . 5 |- ( ( C e. ( On \ 2o ) /\ A e. On ) -> ( C ^o suc A ) = ( ( C ^o A ) .o C ) )
33	30, 32	eleqtrrd 2704	. . . 4 |- ( ( C e. ( On \ 2o ) /\ A e. On ) -> ( C ^o A ) e. ( C ^o suc A ) )
34	33	expcom 451	. . 3 |- ( A e. On -> ( C e. ( On \ 2o ) -> ( C ^o A ) e. ( C ^o suc A ) ) )
35		oecl 7617	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( C e. On /\ y e. On ) -> ( C ^o y ) e. On )
36	13, 35	sylan 488	. . . . . . . . . 10 |- ( ( C e. ( On \ 2o ) /\ y e. On ) -> ( C ^o y ) e. On )
37		om1 7622	. . . . . . . . . 10 |- ( ( C ^o y ) e. On -> ( ( C ^o y ) .o 1o ) = ( C ^o y ) )
38	36, 37	syl 17	. . . . . . . . 9 |- ( ( C e. ( On \ 2o ) /\ y e. On ) -> ( ( C ^o y ) .o 1o ) = ( C ^o y ) )
39	19	adantr 481	. . . . . . . . . 10 |- ( ( C e. ( On \ 2o ) /\ y e. On ) -> 1o e. C )
40	13	adantr 481	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( C e. ( On \ 2o ) /\ y e. On ) -> C e. On )
41		simpr 477	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( C e. ( On \ 2o ) /\ y e. On ) -> y e. On )
42	23	adantr 481	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( C e. ( On \ 2o ) /\ y e. On ) -> (/) e. C )
43		oen0 7666	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( C e. On /\ y e. On ) /\ (/) e. C ) -> (/) e. ( C ^o y ) )
44	40, 41, 42, 43	syl21anc 1325	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( C e. ( On \ 2o ) /\ y e. On ) -> (/) e. ( C ^o y ) )
45		omordi 7646	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( C e. On /\ ( C ^o y ) e. On ) /\ (/) e. ( C ^o y ) ) -> ( 1o e. C -> ( ( C ^o y ) .o 1o ) e. ( ( C ^o y ) .o C ) ) )
46	40, 36, 44, 45	syl21anc 1325	. . . . . . . . . 10 |- ( ( C e. ( On \ 2o ) /\ y e. On ) -> ( 1o e. C -> ( ( C ^o y ) .o 1o ) e. ( ( C ^o y ) .o C ) ) )
47	39, 46	mpd 15	. . . . . . . . 9 |- ( ( C e. ( On \ 2o ) /\ y e. On ) -> ( ( C ^o y ) .o 1o ) e. ( ( C ^o y ) .o C ) )
48	38, 47	eqeltrrd 2702	. . . . . . . 8 |- ( ( C e. ( On \ 2o ) /\ y e. On ) -> ( C ^o y ) e. ( ( C ^o y ) .o C ) )
49		oesuc 7607	. . . . . . . . 9 |- ( ( C e. On /\ y e. On ) -> ( C ^o suc y ) = ( ( C ^o y ) .o C ) )
50	13, 49	sylan 488	. . . . . . . 8 |- ( ( C e. ( On \ 2o ) /\ y e. On ) -> ( C ^o suc y ) = ( ( C ^o y ) .o C ) )
51	48, 50	eleqtrrd 2704	. . . . . . 7 |- ( ( C e. ( On \ 2o ) /\ y e. On ) -> ( C ^o y ) e. ( C ^o suc y ) )
52		suceloni 7013	. . . . . . . . 9 |- ( y e. On -> suc y e. On )
53		oecl 7617	. . . . . . . . 9 |- ( ( C e. On /\ suc y e. On ) -> ( C ^o suc y ) e. On )
54	13, 52, 53	syl2an 494	. . . . . . . 8 |- ( ( C e. ( On \ 2o ) /\ y e. On ) -> ( C ^o suc y ) e. On )
55		ontr1 5771	. . . . . . . 8 |- ( ( C ^o suc y ) e. On -> ( ( ( C ^o A ) e. ( C ^o y ) /\ ( C ^o y ) e. ( C ^o suc y ) ) -> ( C ^o A ) e. ( C ^o suc y ) ) )
56	54, 55	syl 17	. . . . . . 7 |- ( ( C e. ( On \ 2o ) /\ y e. On ) -> ( ( ( C ^o A ) e. ( C ^o y ) /\ ( C ^o y ) e. ( C ^o suc y ) ) -> ( C ^o A ) e. ( C ^o suc y ) ) )
57	51, 56	mpan2d 710	. . . . . 6 |- ( ( C e. ( On \ 2o ) /\ y e. On ) -> ( ( C ^o A ) e. ( C ^o y ) -> ( C ^o A ) e. ( C ^o suc y ) ) )
58	57	expcom 451	. . . . 5 |- ( y e. On -> ( C e. ( On \ 2o ) -> ( ( C ^o A ) e. ( C ^o y ) -> ( C ^o A ) e. ( C ^o suc y ) ) ) )
59	58	adantr 481	. . . 4 |- ( ( y e. On /\ A e. y ) -> ( C e. ( On \ 2o ) -> ( ( C ^o A ) e. ( C ^o y ) -> ( C ^o A ) e. ( C ^o suc y ) ) ) )
60	59	a2d 29	. . 3 |- ( ( y e. On /\ A e. y ) -> ( ( C e. ( On \ 2o ) -> ( C ^o A ) e. ( C ^o y ) ) -> ( C e. ( On \ 2o ) -> ( C ^o A ) e. ( C ^o suc y ) ) ) )
61		bi2.04 376	. . . . . 6 |- ( ( A e. y -> ( C e. ( On \ 2o ) -> ( C ^o A ) e. ( C ^o y ) ) ) <-> ( C e. ( On \ 2o ) -> ( A e. y -> ( C ^o A ) e. ( C ^o y ) ) ) )
62	61	ralbii 2980	. . . . 5 |- ( A. y e. x ( A e. y -> ( C e. ( On \ 2o ) -> ( C ^o A ) e. ( C ^o y ) ) ) <-> A. y e. x ( C e. ( On \ 2o ) -> ( A e. y -> ( C ^o A ) e. ( C ^o y ) ) ) )
63		r19.21v 2960	. . . . 5 |- ( A. y e. x ( C e. ( On \ 2o ) -> ( A e. y -> ( C ^o A ) e. ( C ^o y ) ) ) <-> ( C e. ( On \ 2o ) -> A. y e. x ( A e. y -> ( C ^o A ) e. ( C ^o y ) ) ) )
64	62, 63	bitri 264	. . . 4 |- ( A. y e. x ( A e. y -> ( C e. ( On \ 2o ) -> ( C ^o A ) e. ( C ^o y ) ) ) <-> ( C e. ( On \ 2o ) -> A. y e. x ( A e. y -> ( C ^o A ) e. ( C ^o y ) ) ) )
65		limsuc 7049	. . . . . . . . . 10 |- ( Lim x -> ( A e. x <-> suc A e. x ) )
66	65	biimpa 501	. . . . . . . . 9 |- ( ( Lim x /\ A e. x ) -> suc A e. x )
67		elex 3212	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( suc A e. x -> suc A e. _V )
68		sucexb 7009	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( A e. _V <-> suc A e. _V )
69		sucidg 5803	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( A e. _V -> A e. suc A )
70	68, 69	sylbir 225	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( suc A e. _V -> A e. suc A )
71	67, 70	syl 17	. . . . . . . . . . . 12 |- ( suc A e. x -> A e. suc A )
72		eleq2 2690	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( y = suc A -> ( A e. y <-> A e. suc A ) )
73		oveq2 6658	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( y = suc A -> ( C ^o y ) = ( C ^o suc A ) )
74	73	eleq2d 2687	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( y = suc A -> ( ( C ^o A ) e. ( C ^o y ) <-> ( C ^o A ) e. ( C ^o suc A ) ) )
75	72, 74	imbi12d 334	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( y = suc A -> ( ( A e. y -> ( C ^o A ) e. ( C ^o y ) ) <-> ( A e. suc A -> ( C ^o A ) e. ( C ^o suc A ) ) ) )
76	75	rspcv 3305	. . . . . . . . . . . 12 |- ( suc A e. x -> ( A. y e. x ( A e. y -> ( C ^o A ) e. ( C ^o y ) ) -> ( A e. suc A -> ( C ^o A ) e. ( C ^o suc A ) ) ) )
77	71, 76	mpid 44	. . . . . . . . . . 11 |- ( suc A e. x -> ( A. y e. x ( A e. y -> ( C ^o A ) e. ( C ^o y ) ) -> ( C ^o A ) e. ( C ^o suc A ) ) )
78	77	anc2li 580	. . . . . . . . . 10 |- ( suc A e. x -> ( A. y e. x ( A e. y -> ( C ^o A ) e. ( C ^o y ) ) -> ( suc A e. x /\ ( C ^o A ) e. ( C ^o suc A ) ) ) )
79	73	eliuni 4526	. . . . . . . . . 10 |- ( ( suc A e. x /\ ( C ^o A ) e. ( C ^o suc A ) ) -> ( C ^o A ) e. U_ y e. x ( C ^o y ) )
80	78, 79	syl6 35	. . . . . . . . 9 |- ( suc A e. x -> ( A. y e. x ( A e. y -> ( C ^o A ) e. ( C ^o y ) ) -> ( C ^o A ) e. U_ y e. x ( C ^o y ) ) )
81	66, 80	syl 17	. . . . . . . 8 |- ( ( Lim x /\ A e. x ) -> ( A. y e. x ( A e. y -> ( C ^o A ) e. ( C ^o y ) ) -> ( C ^o A ) e. U_ y e. x ( C ^o y ) ) )
82	81	adantr 481	. . . . . . 7 |- ( ( ( Lim x /\ A e. x ) /\ C e. ( On \ 2o ) ) -> ( A. y e. x ( A e. y -> ( C ^o A ) e. ( C ^o y ) ) -> ( C ^o A ) e. U_ y e. x ( C ^o y ) ) )
83	13	adantl 482	. . . . . . . . . 10 |- ( ( Lim x /\ C e. ( On \ 2o ) ) -> C e. On )
84		simpl 473	. . . . . . . . . 10 |- ( ( Lim x /\ C e. ( On \ 2o ) ) -> Lim x )
85	23	adantl 482	. . . . . . . . . 10 |- ( ( Lim x /\ C e. ( On \ 2o ) ) -> (/) e. C )
86		vex 3203	. . . . . . . . . . 11 |- x e. _V
87		oelim 7614	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( C e. On /\ ( x e. _V /\ Lim x ) ) /\ (/) e. C ) -> ( C ^o x ) = U_ y e. x ( C ^o y ) )
88	86, 87	mpanlr1 722	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( C e. On /\ Lim x ) /\ (/) e. C ) -> ( C ^o x ) = U_ y e. x ( C ^o y ) )
89	83, 84, 85, 88	syl21anc 1325	. . . . . . . . 9 |- ( ( Lim x /\ C e. ( On \ 2o ) ) -> ( C ^o x ) = U_ y e. x ( C ^o y ) )
90	89	adantlr 751	. . . . . . . 8 |- ( ( ( Lim x /\ A e. x ) /\ C e. ( On \ 2o ) ) -> ( C ^o x ) = U_ y e. x ( C ^o y ) )
91	90	eleq2d 2687	. . . . . . 7 |- ( ( ( Lim x /\ A e. x ) /\ C e. ( On \ 2o ) ) -> ( ( C ^o A ) e. ( C ^o x ) <-> ( C ^o A ) e. U_ y e. x ( C ^o y ) ) )
92	82, 91	sylibrd 249	. . . . . 6 |- ( ( ( Lim x /\ A e. x ) /\ C e. ( On \ 2o ) ) -> ( A. y e. x ( A e. y -> ( C ^o A ) e. ( C ^o y ) ) -> ( C ^o A ) e. ( C ^o x ) ) )
93	92	ex 450	. . . . 5 |- ( ( Lim x /\ A e. x ) -> ( C e. ( On \ 2o ) -> ( A. y e. x ( A e. y -> ( C ^o A ) e. ( C ^o y ) ) -> ( C ^o A ) e. ( C ^o x ) ) ) )
94	93	a2d 29	. . . 4 |- ( ( Lim x /\ A e. x ) -> ( ( C e. ( On \ 2o ) -> A. y e. x ( A e. y -> ( C ^o A ) e. ( C ^o y ) ) ) -> ( C e. ( On \ 2o ) -> ( C ^o A ) e. ( C ^o x ) ) ) )
95	64, 94	syl5bi 232	. . 3 |- ( ( Lim x /\ A e. x ) -> ( A. y e. x ( A e. y -> ( C e. ( On \ 2o ) -> ( C ^o A ) e. ( C ^o y ) ) ) -> ( C e. ( On \ 2o ) -> ( C ^o A ) e. ( C ^o x ) ) ) )
96	3, 6, 9, 12, 34, 60, 95	tfindsg2 7061	. 2 |- ( ( B e. On /\ A e. B ) -> ( C e. ( On \ 2o ) -> ( C ^o A ) e. ( C ^o B ) ) )
97	96	impancom 456	1 |- ( ( B e. On /\ C e. ( On \ 2o ) ) -> ( A e. B -> ( C ^o A ) e. ( C ^o B ) ) )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 384   = wceq 1483   e. wcel 1990   A.wral 2912   _Vcvv 3200   \ cdif 3571   (/)c0 3915   U_ciun 4520   Oncon0 5723   Lim wlim 5724   suc csuc 5725  (class class class)co 6650   1oc1o 7553   2oc2o 7554   .o comu 7558   ^o coe 7559

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1722  ax-4 1737  ax-5 1839  ax-6 1888  ax-7 1935  ax-8 1992  ax-9 1999  ax-10 2019  ax-11 2034  ax-12 2047  ax-13 2246  ax-ext 2602  ax-rep 4771  ax-sep 4781  ax-nul 4789  ax-pow 4843  ax-pr 4906  ax-un 6949

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1038  df-3an 1039  df-tru 1486  df-ex 1705  df-nf 1710  df-sb 1881  df-eu 2474  df-mo 2475  df-clab 2609  df-cleq 2615  df-clel 2618  df-nfc 2753  df-ne 2795  df-ral 2917  df-rex 2918  df-reu 2919  df-rab 2921  df-v 3202  df-sbc 3436  df-csb 3534  df-dif 3577  df-un 3579  df-in 3581  df-ss 3588  df-pss 3590  df-nul 3916  df-if 4087  df-pw 4160  df-sn 4178  df-pr 4180  df-tp 4182  df-op 4184  df-uni 4437  df-iun 4522  df-br 4654  df-opab 4713  df-mpt 4730  df-tr 4753  df-id 5024  df-eprel 5029  df-po 5035  df-so 5036  df-fr 5073  df-we 5075  df-xp 5120  df-rel 5121  df-cnv 5122  df-co 5123  df-dm 5124  df-rn 5125  df-res 5126  df-ima 5127  df-pred 5680  df-ord 5726  df-on 5727  df-lim 5728  df-suc 5729  df-iota 5851  df-fun 5890  df-fn 5891  df-f 5892  df-f1 5893  df-fo 5894  df-f1o 5895  df-fv 5896  df-ov 6653  df-oprab 6654  df-mpt2 6655  df-om 7066  df-wrecs 7407  df-recs 7468  df-rdg 7506  df-1o 7560  df-2o 7561  df-oadd 7564  df-omul 7565  df-oexp 7566

This theorem is referenced by:  oeord  7668  oecan  7669  oeworde  7673  oelimcl  7680