Theorem sucelon 7017

Description: The successor of an ordinal number is an ordinal number. (Contributed by NM, 9-Sep-2003.)

Assertion

Ref	Expression
sucelon	|- ( A e. On <-> suc A e. On )

Proof of Theorem sucelon

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ordsuc 7014	. . 3 |- ( Ord A <-> Ord suc A )
2		sucexb 7009	. . 3 |- ( A e. _V <-> suc A e. _V )
3	1, 2	anbi12i 733	. 2 |- ( ( Ord A /\ A e. _V ) <-> ( Ord suc A /\ suc A e. _V ) )
4		elon2 5734	. 2 |- ( A e. On <-> ( Ord A /\ A e. _V ) )
5		elon2 5734	. 2 |- ( suc A e. On <-> ( Ord suc A /\ suc A e. _V ) )
6	3, 4, 5	3bitr4i 292	1 |- ( A e. On <-> suc A e. On )

Syntax hints:   <-> wb 196   /\ wa 384   e. wcel 1990   _Vcvv 3200   Ord word 5722   Oncon0 5723   suc csuc 5725

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1722  ax-4 1737  ax-5 1839  ax-6 1888  ax-7 1935  ax-8 1992  ax-9 1999  ax-10 2019  ax-11 2034  ax-12 2047  ax-13 2246  ax-ext 2602  ax-sep 4781  ax-nul 4789  ax-pr 4906  ax-un 6949

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1038  df-3an 1039  df-tru 1486  df-ex 1705  df-nf 1710  df-sb 1881  df-eu 2474  df-mo 2475  df-clab 2609  df-cleq 2615  df-clel 2618  df-nfc 2753  df-ne 2795  df-ral 2917  df-rex 2918  df-rab 2921  df-v 3202  df-sbc 3436  df-dif 3577  df-un 3579  df-in 3581  df-ss 3588  df-pss 3590  df-nul 3916  df-if 4087  df-sn 4178  df-pr 4180  df-tp 4182  df-op 4184  df-uni 4437  df-br 4654  df-opab 4713  df-tr 4753  df-eprel 5029  df-po 5035  df-so 5036  df-fr 5073  df-we 5075  df-ord 5726  df-on 5727  df-suc 5729

This theorem is referenced by:  onsucmin  7021  tfindsg2  7061  oaordi  7626  oalimcl  7640  omlimcl  7658  omeulem1  7662  oeordsuc  7674  infensuc  8138  cantnflem1b  8583  cantnflem1  8586  r1ordg  8641  alephnbtwn  8894  cfsuc  9079  alephsuc3  9402  alephreg  9404  bdayimaon  31843  nosupbnd1lem1  31854  nosupbnd1  31860  nosupbnd2lem1  31861  nosupbnd2  31862