Theorem suppssfv 7331

Description: Formula building theorem for support restriction, on a function which preserves zero. (Contributed by Stefan O'Rear, 9-Mar-2015.) (Revised by AV, 28-May-2019.)

Hypotheses

Ref	Expression
suppssfv.a	|- ( ph -> ( ( x e. D |-> A ) supp Y ) C_ L )
suppssfv.f	|- ( ph -> ( F ` Y ) = Z )
suppssfv.v	|- ( ( ph /\ x e. D ) -> A e. V )
suppssfv.y	|- ( ph -> Y e. U )

Assertion

Ref	Expression
suppssfv	|- ( ph -> ( ( x e. D |-> ( F ` A ) ) supp Z ) C_ L )

Distinct variable groups:   ph, x   x, D   x, Y   x, Z

Allowed substitution hints:   A( x)   U( x)   F( x)   L( x)   V( x)

Proof of Theorem suppssfv

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eldifsni 4320	. . . . . . 7 |- ( ( F ` A ) e. ( _V \ { Z } ) -> ( F ` A ) =/= Z )
2		suppssfv.v	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ph /\ x e. D ) -> A e. V )
3		elex 3212	. . . . . . . . . . . 12 |- ( A e. V -> A e. _V )
4	2, 3	syl 17	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ x e. D ) -> A e. _V )
5	4	adantll 750	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( D e. _V /\ Z e. _V ) /\ ph ) /\ x e. D ) -> A e. _V )
6	5	adantr 481	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( ( D e. _V /\ Z e. _V ) /\ ph ) /\ x e. D ) /\ ( F ` A ) =/= Z ) -> A e. _V )
7		suppssfv.f	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ph -> ( F ` Y ) = Z )
8		fveq2 6191	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( A = Y -> ( F ` A ) = ( F ` Y ) )
9	8	eqeq1d 2624	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( A = Y -> ( ( F ` A ) = Z <-> ( F ` Y ) = Z ) )
10	7, 9	syl5ibrcom 237	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ph -> ( A = Y -> ( F ` A ) = Z ) )
11	10	necon3d 2815	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ph -> ( ( F ` A ) =/= Z -> A =/= Y ) )
12	11	adantl 482	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( D e. _V /\ Z e. _V ) /\ ph ) -> ( ( F ` A ) =/= Z -> A =/= Y ) )
13	12	adantr 481	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( D e. _V /\ Z e. _V ) /\ ph ) /\ x e. D ) -> ( ( F ` A ) =/= Z -> A =/= Y ) )
14	13	imp 445	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( ( D e. _V /\ Z e. _V ) /\ ph ) /\ x e. D ) /\ ( F ` A ) =/= Z ) -> A =/= Y )
15		eldifsn 4317	. . . . . . . . 9 |- ( A e. ( _V \ { Y } ) <-> ( A e. _V /\ A =/= Y ) )
16	6, 14, 15	sylanbrc 698	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ( ( D e. _V /\ Z e. _V ) /\ ph ) /\ x e. D ) /\ ( F ` A ) =/= Z ) -> A e. ( _V \ { Y } ) )
17	16	ex 450	. . . . . . 7 |- ( ( ( ( D e. _V /\ Z e. _V ) /\ ph ) /\ x e. D ) -> ( ( F ` A ) =/= Z -> A e. ( _V \ { Y } ) ) )
18	1, 17	syl5 34	. . . . . 6 |- ( ( ( ( D e. _V /\ Z e. _V ) /\ ph ) /\ x e. D ) -> ( ( F ` A ) e. ( _V \ { Z } ) -> A e. ( _V \ { Y } ) ) )
19	18	ss2rabdv 3683	. . . . 5 |- ( ( ( D e. _V /\ Z e. _V ) /\ ph ) -> { x e. D | ( F ` A ) e. ( _V \ { Z } ) } C_ { x e. D | A e. ( _V \ { Y } ) } )
20		eqid 2622	. . . . . 6 |- ( x e. D |-> ( F ` A ) ) = ( x e. D |-> ( F ` A ) )
21		simpll 790	. . . . . 6 |- ( ( ( D e. _V /\ Z e. _V ) /\ ph ) -> D e. _V )
22		simplr 792	. . . . . 6 |- ( ( ( D e. _V /\ Z e. _V ) /\ ph ) -> Z e. _V )
23	20, 21, 22	mptsuppdifd 7317	. . . . 5 |- ( ( ( D e. _V /\ Z e. _V ) /\ ph ) -> ( ( x e. D |-> ( F ` A ) ) supp Z ) = { x e. D | ( F ` A ) e. ( _V \ { Z } ) } )
24		eqid 2622	. . . . . 6 |- ( x e. D |-> A ) = ( x e. D |-> A )
25		suppssfv.y	. . . . . . 7 |- ( ph -> Y e. U )
26	25	adantl 482	. . . . . 6 |- ( ( ( D e. _V /\ Z e. _V ) /\ ph ) -> Y e. U )
27	24, 21, 26	mptsuppdifd 7317	. . . . 5 |- ( ( ( D e. _V /\ Z e. _V ) /\ ph ) -> ( ( x e. D |-> A ) supp Y ) = { x e. D | A e. ( _V \ { Y } ) } )
28	19, 23, 27	3sstr4d 3648	. . . 4 |- ( ( ( D e. _V /\ Z e. _V ) /\ ph ) -> ( ( x e. D |-> ( F ` A ) ) supp Z ) C_ ( ( x e. D |-> A ) supp Y ) )
29		suppssfv.a	. . . . 5 |- ( ph -> ( ( x e. D |-> A ) supp Y ) C_ L )
30	29	adantl 482	. . . 4 |- ( ( ( D e. _V /\ Z e. _V ) /\ ph ) -> ( ( x e. D |-> A ) supp Y ) C_ L )
31	28, 30	sstrd 3613	. . 3 |- ( ( ( D e. _V /\ Z e. _V ) /\ ph ) -> ( ( x e. D |-> ( F ` A ) ) supp Z ) C_ L )
32	31	ex 450	. 2 |- ( ( D e. _V /\ Z e. _V ) -> ( ph -> ( ( x e. D |-> ( F ` A ) ) supp Z ) C_ L ) )
33		mptexg 6484	. . . . . . 7 |- ( D e. _V -> ( x e. D |-> ( F ` A ) ) e. _V )
34		fvex 6201	. . . . . . . . . 10 |- ( F ` A ) e. _V
35	34	rgenw 2924	. . . . . . . . 9 |- A. x e. D ( F ` A ) e. _V
36		dmmptg 5632	. . . . . . . . 9 |- ( A. x e. D ( F ` A ) e. _V -> dom ( x e. D |-> ( F ` A ) ) = D )
37	35, 36	ax-mp 5	. . . . . . . 8 |- dom ( x e. D |-> ( F ` A ) ) = D
38		dmexg 7097	. . . . . . . 8 |- ( ( x e. D |-> ( F ` A ) ) e. _V -> dom ( x e. D |-> ( F ` A ) ) e. _V )
39	37, 38	syl5eqelr 2706	. . . . . . 7 |- ( ( x e. D |-> ( F ` A ) ) e. _V -> D e. _V )
40	33, 39	impbii 199	. . . . . 6 |- ( D e. _V <-> ( x e. D |-> ( F ` A ) ) e. _V )
41	40	anbi1i 731	. . . . 5 |- ( ( D e. _V /\ Z e. _V ) <-> ( ( x e. D |-> ( F ` A ) ) e. _V /\ Z e. _V ) )
42		supp0prc 7298	. . . . 5 |- ( -. ( ( x e. D |-> ( F ` A ) ) e. _V /\ Z e. _V ) -> ( ( x e. D |-> ( F ` A ) ) supp Z ) = (/) )
43	41, 42	sylnbi 320	. . . 4 |- ( -. ( D e. _V /\ Z e. _V ) -> ( ( x e. D |-> ( F ` A ) ) supp Z ) = (/) )
44		0ss 3972	. . . 4 |- (/) C_ L
45	43, 44	syl6eqss 3655	. . 3 |- ( -. ( D e. _V /\ Z e. _V ) -> ( ( x e. D |-> ( F ` A ) ) supp Z ) C_ L )
46	45	a1d 25	. 2 |- ( -. ( D e. _V /\ Z e. _V ) -> ( ph -> ( ( x e. D |-> ( F ` A ) ) supp Z ) C_ L ) )
47	32, 46	pm2.61i 176	1 |- ( ph -> ( ( x e. D |-> ( F ` A ) ) supp Z ) C_ L )

Syntax hints:   -. wn 3   -> wi 4   /\ wa 384   = wceq 1483   e. wcel 1990   =/= wne 2794   A.wral 2912   {crab 2916   _Vcvv 3200   \ cdif 3571   C_ wss 3574   (/)c0 3915   {csn 4177   |-> cmpt 4729   dom cdm 5114   ` cfv 5888  (class class class)co 6650   supp csupp 7295

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1722  ax-4 1737  ax-5 1839  ax-6 1888  ax-7 1935  ax-8 1992  ax-9 1999  ax-10 2019  ax-11 2034  ax-12 2047  ax-13 2246  ax-ext 2602  ax-rep 4771  ax-sep 4781  ax-nul 4789  ax-pow 4843  ax-pr 4906  ax-un 6949

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3an 1039  df-tru 1486  df-ex 1705  df-nf 1710  df-sb 1881  df-eu 2474  df-mo 2475  df-clab 2609  df-cleq 2615  df-clel 2618  df-nfc 2753  df-ne 2795  df-ral 2917  df-rex 2918  df-reu 2919  df-rab 2921  df-v 3202  df-sbc 3436  df-csb 3534  df-dif 3577  df-un 3579  df-in 3581  df-ss 3588  df-nul 3916  df-if 4087  df-sn 4178  df-pr 4180  df-op 4184  df-uni 4437  df-iun 4522  df-br 4654  df-opab 4713  df-mpt 4730  df-id 5024  df-xp 5120  df-rel 5121  df-cnv 5122  df-co 5123  df-dm 5124  df-rn 5125  df-res 5126  df-ima 5127  df-iota 5851  df-fun 5890  df-fn 5891  df-f 5892  df-f1 5893  df-fo 5894  df-f1o 5895  df-fv 5896  df-ov 6653  df-oprab 6654  df-mpt2 6655  df-supp 7296

This theorem is referenced by:  evlslem2  19512  evlslem6  19513