Theorem evlslem2 19512

Description: A linear function on the polynomial ring which is multiplicative on scaled monomials is generally multiplicative. (Contributed by Stefan O'Rear, 9-Mar-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
evlslem2.p	|- P = ( I mPoly R )
evlslem2.b	|- B = ( Base ` P )
evlslem2.m	|- .x. = ( .r ` S )
evlslem2.z	|- .0. = ( 0g ` R )
evlslem2.d	|- D = { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin }
evlslem2.i	|- ( ph -> I e. _V )
evlslem2.r	|- ( ph -> R e. CRing )
evlslem2.s	|- ( ph -> S e. CRing )
evlslem2.e1	|- ( ph -> E e. ( P GrpHom S ) )
evlslem2.e2	|- ( ( ph /\ ( ( x e. B /\ y e. B ) /\ ( j e. D /\ i e. D ) ) ) -> ( E ` ( k e. D |-> if ( k = ( j oF + i ) , ( ( x ` j ) ( .r ` R ) ( y ` i ) ) , .0. ) ) ) = ( ( E ` ( k e. D |-> if ( k = j , ( x ` j ) , .0. ) ) ) .x. ( E ` ( k e. D |-> if ( k = i , ( y ` i ) , .0. ) ) ) ) )

Assertion

Ref	Expression
evlslem2	|- ( ( ph /\ ( x e. B /\ y e. B ) ) -> ( E ` ( x ( .r ` P ) y ) ) = ( ( E ` x ) .x. ( E ` y ) ) )

Distinct variable groups:   ph, i, j, k, y   B, i, j, k, x, y   D, i, j, k, x, y   i, E, j   h, I, i, j, k   .x. , i, j   P, i, j, k, x, y   R, h, i, j, k   S, i, j   .0. , h, i, j, k, x, y

Allowed substitution hints:   ph( x, h)   B( h)   D( h)   P( h)   R( x, y)   S( x, y, h, k)   .x. ( x, y, h, k)   E( x, y, h, k)   I( x, y)

Proof of Theorem evlslem2

Dummy variable z is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		evlslem2.b	. . . . 5 |- B = ( Base ` P )
2		eqid 2622	. . . . 5 |- ( .r ` P ) = ( .r ` P )
3		eqid 2622	. . . . 5 |- ( 0g ` P ) = ( 0g ` P )
4		evlslem2.d	. . . . . . 7 |- D = { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin }
5		ovex 6678	. . . . . . 7 |- ( NN0 ^m I ) e. _V
6	4, 5	rabex2 4815	. . . . . 6 |- D e. _V
7	6	a1i 11	. . . . 5 |- ( ( ph /\ ( x e. B /\ y e. B ) ) -> D e. _V )
8		evlslem2.i	. . . . . . 7 |- ( ph -> I e. _V )
9		evlslem2.r	. . . . . . . 8 |- ( ph -> R e. CRing )
10		crngring 18558	. . . . . . . 8 |- ( R e. CRing -> R e. Ring )
11	9, 10	syl 17	. . . . . . 7 |- ( ph -> R e. Ring )
12		evlslem2.p	. . . . . . . 8 |- P = ( I mPoly R )
13	12	mplring 19452	. . . . . . 7 |- ( ( I e. _V /\ R e. Ring ) -> P e. Ring )
14	8, 11, 13	syl2anc 693	. . . . . 6 |- ( ph -> P e. Ring )
15	14	adantr 481	. . . . 5 |- ( ( ph /\ ( x e. B /\ y e. B ) ) -> P e. Ring )
16		evlslem2.z	. . . . . 6 |- .0. = ( 0g ` R )
17		eqid 2622	. . . . . 6 |- ( Base ` R ) = ( Base ` R )
18	8	ad2antrr 762	. . . . . 6 |- ( ( ( ph /\ ( x e. B /\ y e. B ) ) /\ j e. D ) -> I e. _V )
19	11	ad2antrr 762	. . . . . 6 |- ( ( ( ph /\ ( x e. B /\ y e. B ) ) /\ j e. D ) -> R e. Ring )
20		simprl 794	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ ( x e. B /\ y e. B ) ) -> x e. B )
21	12, 17, 1, 4, 20	mplelf 19433	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ ( x e. B /\ y e. B ) ) -> x : D --> ( Base ` R ) )
22	21	ffvelrnda 6359	. . . . . 6 |- ( ( ( ph /\ ( x e. B /\ y e. B ) ) /\ j e. D ) -> ( x ` j ) e. ( Base ` R ) )
23		simpr 477	. . . . . 6 |- ( ( ( ph /\ ( x e. B /\ y e. B ) ) /\ j e. D ) -> j e. D )
24	12, 4, 16, 17, 18, 19, 1, 22, 23	mplmon2cl 19500	. . . . 5 |- ( ( ( ph /\ ( x e. B /\ y e. B ) ) /\ j e. D ) -> ( k e. D |-> if ( k = j , ( x ` j ) , .0. ) ) e. B )
25	8	ad2antrr 762	. . . . . 6 |- ( ( ( ph /\ ( x e. B /\ y e. B ) ) /\ i e. D ) -> I e. _V )
26	11	ad2antrr 762	. . . . . 6 |- ( ( ( ph /\ ( x e. B /\ y e. B ) ) /\ i e. D ) -> R e. Ring )
27		simprr 796	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ ( x e. B /\ y e. B ) ) -> y e. B )
28	12, 17, 1, 4, 27	mplelf 19433	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ ( x e. B /\ y e. B ) ) -> y : D --> ( Base ` R ) )
29	28	ffvelrnda 6359	. . . . . 6 |- ( ( ( ph /\ ( x e. B /\ y e. B ) ) /\ i e. D ) -> ( y ` i ) e. ( Base ` R ) )
30		simpr 477	. . . . . 6 |- ( ( ( ph /\ ( x e. B /\ y e. B ) ) /\ i e. D ) -> i e. D )
31	12, 4, 16, 17, 25, 26, 1, 29, 30	mplmon2cl 19500	. . . . 5 |- ( ( ( ph /\ ( x e. B /\ y e. B ) ) /\ i e. D ) -> ( k e. D |-> if ( k = i , ( y ` i ) , .0. ) ) e. B )
32	6	mptex 6486	. . . . . . . . . . . 12 |- ( j e. D |-> ( k e. D |-> if ( k = j , ( y ` j ) , .0. ) ) ) e. _V
33		funmpt 5926	. . . . . . . . . . . 12 |- Fun ( j e. D |-> ( k e. D |-> if ( k = j , ( y ` j ) , .0. ) ) )
34		fvex 6201	. . . . . . . . . . . 12 |- ( 0g ` P ) e. _V
35	32, 33, 34	3pm3.2i 1239	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( j e. D |-> ( k e. D |-> if ( k = j , ( y ` j ) , .0. ) ) ) e. _V /\ Fun ( j e. D |-> ( k e. D |-> if ( k = j , ( y ` j ) , .0. ) ) ) /\ ( 0g ` P ) e. _V )
36	35	a1i 11	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ y e. B ) -> ( ( j e. D |-> ( k e. D |-> if ( k = j , ( y ` j ) , .0. ) ) ) e. _V /\ Fun ( j e. D |-> ( k e. D |-> if ( k = j , ( y ` j ) , .0. ) ) ) /\ ( 0g ` P ) e. _V ) )
37		simpr 477	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ph /\ y e. B ) -> y e. B )
38	9	adantr 481	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ph /\ y e. B ) -> R e. CRing )
39	12, 1, 16, 37, 38	mplelsfi 19491	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ y e. B ) -> y finSupp .0. )
40	39	fsuppimpd 8282	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ y e. B ) -> ( y supp .0. ) e. Fin )
41	12, 17, 1, 4, 37	mplelf 19433	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ph /\ y e. B ) -> y : D --> ( Base ` R ) )
42		ssid 3624	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( y supp .0. ) C_ ( y supp .0. )
43	42	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ph /\ y e. B ) -> ( y supp .0. ) C_ ( y supp .0. ) )
44	6	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ph /\ y e. B ) -> D e. _V )
45		fvex 6201	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( 0g ` R ) e. _V
46	16, 45	eqeltri 2697	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- .0. e. _V
47	46	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ph /\ y e. B ) -> .0. e. _V )
48	41, 43, 44, 47	suppssr 7326	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ph /\ y e. B ) /\ j e. ( D \ ( y supp .0. ) ) ) -> ( y ` j ) = .0. )
49	48	ifeq1d 4104	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ph /\ y e. B ) /\ j e. ( D \ ( y supp .0. ) ) ) -> if ( k = j , ( y ` j ) , .0. ) = if ( k = j , .0. , .0. ) )
50		ifid 4125	. . . . . . . . . . . . . 14 |- if ( k = j , .0. , .0. ) = .0.
51	49, 50	syl6eq 2672	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ph /\ y e. B ) /\ j e. ( D \ ( y supp .0. ) ) ) -> if ( k = j , ( y ` j ) , .0. ) = .0. )
52	51	mpteq2dv 4745	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ph /\ y e. B ) /\ j e. ( D \ ( y supp .0. ) ) ) -> ( k e. D |-> if ( k = j , ( y ` j ) , .0. ) ) = ( k e. D |-> .0. ) )
53		ringgrp 18552	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( R e. Ring -> R e. Grp )
54	11, 53	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ph -> R e. Grp )
55	12, 4, 16, 3, 8, 54	mpl0 19441	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ph -> ( 0g ` P ) = ( D X. { .0. } ) )
56		fconstmpt 5163	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( D X. { .0. } ) = ( k e. D |-> .0. )
57	55, 56	syl6eq 2672	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ph -> ( 0g ` P ) = ( k e. D |-> .0. ) )
58	57	ad2antrr 762	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ph /\ y e. B ) /\ j e. ( D \ ( y supp .0. ) ) ) -> ( 0g ` P ) = ( k e. D |-> .0. ) )
59	52, 58	eqtr4d 2659	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ph /\ y e. B ) /\ j e. ( D \ ( y supp .0. ) ) ) -> ( k e. D |-> if ( k = j , ( y ` j ) , .0. ) ) = ( 0g ` P ) )
60	59, 44	suppss2 7329	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ y e. B ) -> ( ( j e. D |-> ( k e. D |-> if ( k = j , ( y ` j ) , .0. ) ) ) supp ( 0g ` P ) ) C_ ( y supp .0. ) )
61		suppssfifsupp 8290	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( j e. D |-> ( k e. D |-> if ( k = j , ( y ` j ) , .0. ) ) ) e. _V /\ Fun ( j e. D |-> ( k e. D |-> if ( k = j , ( y ` j ) , .0. ) ) ) /\ ( 0g ` P ) e. _V ) /\ ( ( y supp .0. ) e. Fin /\ ( ( j e. D |-> ( k e. D |-> if ( k = j , ( y ` j ) , .0. ) ) ) supp ( 0g ` P ) ) C_ ( y supp .0. ) ) ) -> ( j e. D |-> ( k e. D |-> if ( k = j , ( y ` j ) , .0. ) ) ) finSupp ( 0g ` P ) )
62	36, 40, 60, 61	syl12anc 1324	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ y e. B ) -> ( j e. D |-> ( k e. D |-> if ( k = j , ( y ` j ) , .0. ) ) ) finSupp ( 0g ` P ) )
63	62	ralrimiva 2966	. . . . . . . 8 |- ( ph -> A. y e. B ( j e. D |-> ( k e. D |-> if ( k = j , ( y ` j ) , .0. ) ) ) finSupp ( 0g ` P ) )
64		fveq1 6190	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( y = x -> ( y ` j ) = ( x ` j ) )
65	64	ifeq1d 4104	. . . . . . . . . . . 12 |- ( y = x -> if ( k = j , ( y ` j ) , .0. ) = if ( k = j , ( x ` j ) , .0. ) )
66	65	mpteq2dv 4745	. . . . . . . . . . 11 |- ( y = x -> ( k e. D |-> if ( k = j , ( y ` j ) , .0. ) ) = ( k e. D |-> if ( k = j , ( x ` j ) , .0. ) ) )
67	66	mpteq2dv 4745	. . . . . . . . . 10 |- ( y = x -> ( j e. D |-> ( k e. D |-> if ( k = j , ( y ` j ) , .0. ) ) ) = ( j e. D |-> ( k e. D |-> if ( k = j , ( x ` j ) , .0. ) ) ) )
68	67	breq1d 4663	. . . . . . . . 9 |- ( y = x -> ( ( j e. D |-> ( k e. D |-> if ( k = j , ( y ` j ) , .0. ) ) ) finSupp ( 0g ` P ) <-> ( j e. D |-> ( k e. D |-> if ( k = j , ( x ` j ) , .0. ) ) ) finSupp ( 0g ` P ) ) )
69	68	cbvralv 3171	. . . . . . . 8 |- ( A. y e. B ( j e. D |-> ( k e. D |-> if ( k = j , ( y ` j ) , .0. ) ) ) finSupp ( 0g ` P ) <-> A. x e. B ( j e. D |-> ( k e. D |-> if ( k = j , ( x ` j ) , .0. ) ) ) finSupp ( 0g ` P ) )
70	63, 69	sylib 208	. . . . . . 7 |- ( ph -> A. x e. B ( j e. D |-> ( k e. D |-> if ( k = j , ( x ` j ) , .0. ) ) ) finSupp ( 0g ` P ) )
71	70	r19.21bi 2932	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ x e. B ) -> ( j e. D |-> ( k e. D |-> if ( k = j , ( x ` j ) , .0. ) ) ) finSupp ( 0g ` P ) )
72	71	adantrr 753	. . . . 5 |- ( ( ph /\ ( x e. B /\ y e. B ) ) -> ( j e. D |-> ( k e. D |-> if ( k = j , ( x ` j ) , .0. ) ) ) finSupp ( 0g ` P ) )
73		equequ2 1953	. . . . . . . . 9 |- ( i = j -> ( k = i <-> k = j ) )
74		fveq2 6191	. . . . . . . . 9 |- ( i = j -> ( y ` i ) = ( y ` j ) )
75	73, 74	ifbieq1d 4109	. . . . . . . 8 |- ( i = j -> if ( k = i , ( y ` i ) , .0. ) = if ( k = j , ( y ` j ) , .0. ) )
76	75	mpteq2dv 4745	. . . . . . 7 |- ( i = j -> ( k e. D |-> if ( k = i , ( y ` i ) , .0. ) ) = ( k e. D |-> if ( k = j , ( y ` j ) , .0. ) ) )
77	76	cbvmptv 4750	. . . . . 6 |- ( i e. D |-> ( k e. D |-> if ( k = i , ( y ` i ) , .0. ) ) ) = ( j e. D |-> ( k e. D |-> if ( k = j , ( y ` j ) , .0. ) ) )
78	62	adantrl 752	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ ( x e. B /\ y e. B ) ) -> ( j e. D |-> ( k e. D |-> if ( k = j , ( y ` j ) , .0. ) ) ) finSupp ( 0g ` P ) )
79	77, 78	syl5eqbr 4688	. . . . 5 |- ( ( ph /\ ( x e. B /\ y e. B ) ) -> ( i e. D |-> ( k e. D |-> if ( k = i , ( y ` i ) , .0. ) ) ) finSupp ( 0g ` P ) )
80	1, 2, 3, 7, 7, 15, 24, 31, 72, 79	gsumdixp 18609	. . . 4 |- ( ( ph /\ ( x e. B /\ y e. B ) ) -> ( ( P gsumg ( j e. D |-> ( k e. D |-> if ( k = j , ( x ` j ) , .0. ) ) ) ) ( .r ` P ) ( P gsumg ( i e. D |-> ( k e. D |-> if ( k = i , ( y ` i ) , .0. ) ) ) ) ) = ( P gsumg ( j e. D , i e. D |-> ( ( k e. D |-> if ( k = j , ( x ` j ) , .0. ) ) ( .r ` P ) ( k e. D |-> if ( k = i , ( y ` i ) , .0. ) ) ) ) ) )
81	80	fveq2d 6195	. . 3 |- ( ( ph /\ ( x e. B /\ y e. B ) ) -> ( E ` ( ( P gsumg ( j e. D |-> ( k e. D |-> if ( k = j , ( x ` j ) , .0. ) ) ) ) ( .r ` P ) ( P gsumg ( i e. D |-> ( k e. D |-> if ( k = i , ( y ` i ) , .0. ) ) ) ) ) ) = ( E ` ( P gsumg ( j e. D , i e. D |-> ( ( k e. D |-> if ( k = j , ( x ` j ) , .0. ) ) ( .r ` P ) ( k e. D |-> if ( k = i , ( y ` i ) , .0. ) ) ) ) ) ) )
82		ringcmn 18581	. . . . . 6 |- ( P e. Ring -> P e. CMnd )
83	14, 82	syl 17	. . . . 5 |- ( ph -> P e. CMnd )
84	83	adantr 481	. . . 4 |- ( ( ph /\ ( x e. B /\ y e. B ) ) -> P e. CMnd )
85		evlslem2.s	. . . . . . 7 |- ( ph -> S e. CRing )
86		crngring 18558	. . . . . . 7 |- ( S e. CRing -> S e. Ring )
87	85, 86	syl 17	. . . . . 6 |- ( ph -> S e. Ring )
88	87	adantr 481	. . . . 5 |- ( ( ph /\ ( x e. B /\ y e. B ) ) -> S e. Ring )
89		ringmnd 18556	. . . . 5 |- ( S e. Ring -> S e. Mnd )
90	88, 89	syl 17	. . . 4 |- ( ( ph /\ ( x e. B /\ y e. B ) ) -> S e. Mnd )
91	6, 6	xpex 6962	. . . . 5 |- ( D X. D ) e. _V
92	91	a1i 11	. . . 4 |- ( ( ph /\ ( x e. B /\ y e. B ) ) -> ( D X. D ) e. _V )
93		evlslem2.e1	. . . . . 6 |- ( ph -> E e. ( P GrpHom S ) )
94		ghmmhm 17670	. . . . . 6 |- ( E e. ( P GrpHom S ) -> E e. ( P MndHom S ) )
95	93, 94	syl 17	. . . . 5 |- ( ph -> E e. ( P MndHom S ) )
96	95	adantr 481	. . . 4 |- ( ( ph /\ ( x e. B /\ y e. B ) ) -> E e. ( P MndHom S ) )
97	14	ad2antrr 762	. . . . . . 7 |- ( ( ( ph /\ ( x e. B /\ y e. B ) ) /\ ( j e. D /\ i e. D ) ) -> P e. Ring )
98	24	adantrr 753	. . . . . . 7 |- ( ( ( ph /\ ( x e. B /\ y e. B ) ) /\ ( j e. D /\ i e. D ) ) -> ( k e. D |-> if ( k = j , ( x ` j ) , .0. ) ) e. B )
99	31	adantrl 752	. . . . . . 7 |- ( ( ( ph /\ ( x e. B /\ y e. B ) ) /\ ( j e. D /\ i e. D ) ) -> ( k e. D |-> if ( k = i , ( y ` i ) , .0. ) ) e. B )
100	1, 2	ringcl 18561	. . . . . . 7 |- ( ( P e. Ring /\ ( k e. D |-> if ( k = j , ( x ` j ) , .0. ) ) e. B /\ ( k e. D |-> if ( k = i , ( y ` i ) , .0. ) ) e. B ) -> ( ( k e. D |-> if ( k = j , ( x ` j ) , .0. ) ) ( .r ` P ) ( k e. D |-> if ( k = i , ( y ` i ) , .0. ) ) ) e. B )
101	97, 98, 99, 100	syl3anc 1326	. . . . . 6 |- ( ( ( ph /\ ( x e. B /\ y e. B ) ) /\ ( j e. D /\ i e. D ) ) -> ( ( k e. D |-> if ( k = j , ( x ` j ) , .0. ) ) ( .r ` P ) ( k e. D |-> if ( k = i , ( y ` i ) , .0. ) ) ) e. B )
102	101	ralrimivva 2971	. . . . 5 |- ( ( ph /\ ( x e. B /\ y e. B ) ) -> A. j e. D A. i e. D ( ( k e. D |-> if ( k = j , ( x ` j ) , .0. ) ) ( .r ` P ) ( k e. D |-> if ( k = i , ( y ` i ) , .0. ) ) ) e. B )
103		eqid 2622	. . . . . 6 |- ( j e. D , i e. D |-> ( ( k e. D |-> if ( k = j , ( x ` j ) , .0. ) ) ( .r ` P ) ( k e. D |-> if ( k = i , ( y ` i ) , .0. ) ) ) ) = ( j e. D , i e. D |-> ( ( k e. D |-> if ( k = j , ( x ` j ) , .0. ) ) ( .r ` P ) ( k e. D |-> if ( k = i , ( y ` i ) , .0. ) ) ) )
104	103	fmpt2 7237	. . . . 5 |- ( A. j e. D A. i e. D ( ( k e. D |-> if ( k = j , ( x ` j ) , .0. ) ) ( .r ` P ) ( k e. D |-> if ( k = i , ( y ` i ) , .0. ) ) ) e. B <-> ( j e. D , i e. D |-> ( ( k e. D |-> if ( k = j , ( x ` j ) , .0. ) ) ( .r ` P ) ( k e. D |-> if ( k = i , ( y ` i ) , .0. ) ) ) ) : ( D X. D ) --> B )
105	102, 104	sylib 208	. . . 4 |- ( ( ph /\ ( x e. B /\ y e. B ) ) -> ( j e. D , i e. D |-> ( ( k e. D |-> if ( k = j , ( x ` j ) , .0. ) ) ( .r ` P ) ( k e. D |-> if ( k = i , ( y ` i ) , .0. ) ) ) ) : ( D X. D ) --> B )
106	6, 6	mpt2ex 7247	. . . . . . 7 |- ( j e. D , i e. D |-> ( ( k e. D |-> if ( k = j , ( x ` j ) , .0. ) ) ( .r ` P ) ( k e. D |-> if ( k = i , ( y ` i ) , .0. ) ) ) ) e. _V
107	103	mpt2fun 6762	. . . . . . 7 |- Fun ( j e. D , i e. D |-> ( ( k e. D |-> if ( k = j , ( x ` j ) , .0. ) ) ( .r ` P ) ( k e. D |-> if ( k = i , ( y ` i ) , .0. ) ) ) )
108	106, 107, 34	3pm3.2i 1239	. . . . . 6 |- ( ( j e. D , i e. D |-> ( ( k e. D |-> if ( k = j , ( x ` j ) , .0. ) ) ( .r ` P ) ( k e. D |-> if ( k = i , ( y ` i ) , .0. ) ) ) ) e. _V /\ Fun ( j e. D , i e. D |-> ( ( k e. D |-> if ( k = j , ( x ` j ) , .0. ) ) ( .r ` P ) ( k e. D |-> if ( k = i , ( y ` i ) , .0. ) ) ) ) /\ ( 0g ` P ) e. _V )
109	108	a1i 11	. . . . 5 |- ( ( ph /\ ( x e. B /\ y e. B ) ) -> ( ( j e. D , i e. D |-> ( ( k e. D |-> if ( k = j , ( x ` j ) , .0. ) ) ( .r ` P ) ( k e. D |-> if ( k = i , ( y ` i ) , .0. ) ) ) ) e. _V /\ Fun ( j e. D , i e. D |-> ( ( k e. D |-> if ( k = j , ( x ` j ) , .0. ) ) ( .r ` P ) ( k e. D |-> if ( k = i , ( y ` i ) , .0. ) ) ) ) /\ ( 0g ` P ) e. _V ) )
110	72	fsuppimpd 8282	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ ( x e. B /\ y e. B ) ) -> ( ( j e. D |-> ( k e. D |-> if ( k = j , ( x ` j ) , .0. ) ) ) supp ( 0g ` P ) ) e. Fin )
111	79	fsuppimpd 8282	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ ( x e. B /\ y e. B ) ) -> ( ( i e. D |-> ( k e. D |-> if ( k = i , ( y ` i ) , .0. ) ) ) supp ( 0g ` P ) ) e. Fin )
112		xpfi 8231	. . . . . 6 |- ( ( ( ( j e. D |-> ( k e. D |-> if ( k = j , ( x ` j ) , .0. ) ) ) supp ( 0g ` P ) ) e. Fin /\ ( ( i e. D |-> ( k e. D |-> if ( k = i , ( y ` i ) , .0. ) ) ) supp ( 0g ` P ) ) e. Fin ) -> ( ( ( j e. D |-> ( k e. D |-> if ( k = j , ( x ` j ) , .0. ) ) ) supp ( 0g ` P ) ) X. ( ( i e. D |-> ( k e. D |-> if ( k = i , ( y ` i ) , .0. ) ) ) supp ( 0g ` P ) ) ) e. Fin )
113	110, 111, 112	syl2anc 693	. . . . 5 |- ( ( ph /\ ( x e. B /\ y e. B ) ) -> ( ( ( j e. D |-> ( k e. D |-> if ( k = j , ( x ` j ) , .0. ) ) ) supp ( 0g ` P ) ) X. ( ( i e. D |-> ( k e. D |-> if ( k = i , ( y ` i ) , .0. ) ) ) supp ( 0g ` P ) ) ) e. Fin )
114	1, 3, 2, 15, 24, 31, 7, 7	evlslem4 19508	. . . . 5 |- ( ( ph /\ ( x e. B /\ y e. B ) ) -> ( ( j e. D , i e. D |-> ( ( k e. D |-> if ( k = j , ( x ` j ) , .0. ) ) ( .r ` P ) ( k e. D |-> if ( k = i , ( y ` i ) , .0. ) ) ) ) supp ( 0g ` P ) ) C_ ( ( ( j e. D |-> ( k e. D |-> if ( k = j , ( x ` j ) , .0. ) ) ) supp ( 0g ` P ) ) X. ( ( i e. D |-> ( k e. D |-> if ( k = i , ( y ` i ) , .0. ) ) ) supp ( 0g ` P ) ) ) )
115		suppssfifsupp 8290	. . . . 5 |- ( ( ( ( j e. D , i e. D |-> ( ( k e. D |-> if ( k = j , ( x ` j ) , .0. ) ) ( .r ` P ) ( k e. D |-> if ( k = i , ( y ` i ) , .0. ) ) ) ) e. _V /\ Fun ( j e. D , i e. D |-> ( ( k e. D |-> if ( k = j , ( x ` j ) , .0. ) ) ( .r ` P ) ( k e. D |-> if ( k = i , ( y ` i ) , .0. ) ) ) ) /\ ( 0g ` P ) e. _V ) /\ ( ( ( ( j e. D |-> ( k e. D |-> if ( k = j , ( x ` j ) , .0. ) ) ) supp ( 0g ` P ) ) X. ( ( i e. D |-> ( k e. D |-> if ( k = i , ( y ` i ) , .0. ) ) ) supp ( 0g ` P ) ) ) e. Fin /\ ( ( j e. D , i e. D |-> ( ( k e. D |-> if ( k = j , ( x ` j ) , .0. ) ) ( .r ` P ) ( k e. D |-> if ( k = i , ( y ` i ) , .0. ) ) ) ) supp ( 0g ` P ) ) C_ ( ( ( j e. D |-> ( k e. D |-> if ( k = j , ( x ` j ) , .0. ) ) ) supp ( 0g ` P ) ) X. ( ( i e. D |-> ( k e. D |-> if ( k = i , ( y ` i ) , .0. ) ) ) supp ( 0g ` P ) ) ) ) ) -> ( j e. D , i e. D |-> ( ( k e. D |-> if ( k = j , ( x ` j ) , .0. ) ) ( .r ` P ) ( k e. D |-> if ( k = i , ( y ` i ) , .0. ) ) ) ) finSupp ( 0g ` P ) )
116	109, 113, 114, 115	syl12anc 1324	. . . 4 |- ( ( ph /\ ( x e. B /\ y e. B ) ) -> ( j e. D , i e. D |-> ( ( k e. D |-> if ( k = j , ( x ` j ) , .0. ) ) ( .r ` P ) ( k e. D |-> if ( k = i , ( y ` i ) , .0. ) ) ) ) finSupp ( 0g ` P ) )
117	1, 3, 84, 90, 92, 96, 105, 116	gsummhm 18338	. . 3 |- ( ( ph /\ ( x e. B /\ y e. B ) ) -> ( S gsumg ( E o. ( j e. D , i e. D |-> ( ( k e. D |-> if ( k = j , ( x ` j ) , .0. ) ) ( .r ` P ) ( k e. D |-> if ( k = i , ( y ` i ) , .0. ) ) ) ) ) ) = ( E ` ( P gsumg ( j e. D , i e. D |-> ( ( k e. D |-> if ( k = j , ( x ` j ) , .0. ) ) ( .r ` P ) ( k e. D |-> if ( k = i , ( y ` i ) , .0. ) ) ) ) ) ) )
118	8	ad2antrr 762	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ph /\ ( x e. B /\ y e. B ) ) /\ ( j e. D /\ i e. D ) ) -> I e. _V )
119	9	ad2antrr 762	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ph /\ ( x e. B /\ y e. B ) ) /\ ( j e. D /\ i e. D ) ) -> R e. CRing )
120		eqid 2622	. . . . . . . . . 10 |- ( .r ` R ) = ( .r ` R )
121		simprl 794	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ph /\ ( x e. B /\ y e. B ) ) /\ ( j e. D /\ i e. D ) ) -> j e. D )
122		simprr 796	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ph /\ ( x e. B /\ y e. B ) ) /\ ( j e. D /\ i e. D ) ) -> i e. D )
123	22	adantrr 753	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ph /\ ( x e. B /\ y e. B ) ) /\ ( j e. D /\ i e. D ) ) -> ( x ` j ) e. ( Base ` R ) )
124	29	adantrl 752	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ph /\ ( x e. B /\ y e. B ) ) /\ ( j e. D /\ i e. D ) ) -> ( y ` i ) e. ( Base ` R ) )
125	12, 4, 16, 17, 118, 119, 2, 120, 121, 122, 123, 124	mplmon2mul 19501	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ph /\ ( x e. B /\ y e. B ) ) /\ ( j e. D /\ i e. D ) ) -> ( ( k e. D |-> if ( k = j , ( x ` j ) , .0. ) ) ( .r ` P ) ( k e. D |-> if ( k = i , ( y ` i ) , .0. ) ) ) = ( k e. D |-> if ( k = ( j oF + i ) , ( ( x ` j ) ( .r ` R ) ( y ` i ) ) , .0. ) ) )
126	125	fveq2d 6195	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ph /\ ( x e. B /\ y e. B ) ) /\ ( j e. D /\ i e. D ) ) -> ( E ` ( ( k e. D |-> if ( k = j , ( x ` j ) , .0. ) ) ( .r ` P ) ( k e. D |-> if ( k = i , ( y ` i ) , .0. ) ) ) ) = ( E ` ( k e. D |-> if ( k = ( j oF + i ) , ( ( x ` j ) ( .r ` R ) ( y ` i ) ) , .0. ) ) ) )
127		evlslem2.e2	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ ( ( x e. B /\ y e. B ) /\ ( j e. D /\ i e. D ) ) ) -> ( E ` ( k e. D |-> if ( k = ( j oF + i ) , ( ( x ` j ) ( .r ` R ) ( y ` i ) ) , .0. ) ) ) = ( ( E ` ( k e. D |-> if ( k = j , ( x ` j ) , .0. ) ) ) .x. ( E ` ( k e. D |-> if ( k = i , ( y ` i ) , .0. ) ) ) ) )
128	127	anassrs 680	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ph /\ ( x e. B /\ y e. B ) ) /\ ( j e. D /\ i e. D ) ) -> ( E ` ( k e. D |-> if ( k = ( j oF + i ) , ( ( x ` j ) ( .r ` R ) ( y ` i ) ) , .0. ) ) ) = ( ( E ` ( k e. D |-> if ( k = j , ( x ` j ) , .0. ) ) ) .x. ( E ` ( k e. D |-> if ( k = i , ( y ` i ) , .0. ) ) ) ) )
129	126, 128	eqtrd 2656	. . . . . . 7 |- ( ( ( ph /\ ( x e. B /\ y e. B ) ) /\ ( j e. D /\ i e. D ) ) -> ( E ` ( ( k e. D |-> if ( k = j , ( x ` j ) , .0. ) ) ( .r ` P ) ( k e. D |-> if ( k = i , ( y ` i ) , .0. ) ) ) ) = ( ( E ` ( k e. D |-> if ( k = j , ( x ` j ) , .0. ) ) ) .x. ( E ` ( k e. D |-> if ( k = i , ( y ` i ) , .0. ) ) ) ) )
130	129	3impb 1260	. . . . . 6 |- ( ( ( ph /\ ( x e. B /\ y e. B ) ) /\ j e. D /\ i e. D ) -> ( E ` ( ( k e. D |-> if ( k = j , ( x ` j ) , .0. ) ) ( .r ` P ) ( k e. D |-> if ( k = i , ( y ` i ) , .0. ) ) ) ) = ( ( E ` ( k e. D |-> if ( k = j , ( x ` j ) , .0. ) ) ) .x. ( E ` ( k e. D |-> if ( k = i , ( y ` i ) , .0. ) ) ) ) )
131	130	mpt2eq3dva 6719	. . . . 5 |- ( ( ph /\ ( x e. B /\ y e. B ) ) -> ( j e. D , i e. D |-> ( E ` ( ( k e. D |-> if ( k = j , ( x ` j ) , .0. ) ) ( .r ` P ) ( k e. D |-> if ( k = i , ( y ` i ) , .0. ) ) ) ) ) = ( j e. D , i e. D |-> ( ( E ` ( k e. D |-> if ( k = j , ( x ` j ) , .0. ) ) ) .x. ( E ` ( k e. D |-> if ( k = i , ( y ` i ) , .0. ) ) ) ) ) )
132	131	oveq2d 6666	. . . 4 |- ( ( ph /\ ( x e. B /\ y e. B ) ) -> ( S gsumg ( j e. D , i e. D |-> ( E ` ( ( k e. D |-> if ( k = j , ( x ` j ) , .0. ) ) ( .r ` P ) ( k e. D |-> if ( k = i , ( y ` i ) , .0. ) ) ) ) ) ) = ( S gsumg ( j e. D , i e. D |-> ( ( E ` ( k e. D |-> if ( k = j , ( x ` j ) , .0. ) ) ) .x. ( E ` ( k e. D |-> if ( k = i , ( y ` i ) , .0. ) ) ) ) ) ) )
133		eqidd 2623	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ ( x e. B /\ y e. B ) ) -> ( j e. D , i e. D |-> ( ( k e. D |-> if ( k = j , ( x ` j ) , .0. ) ) ( .r ` P ) ( k e. D |-> if ( k = i , ( y ` i ) , .0. ) ) ) ) = ( j e. D , i e. D |-> ( ( k e. D |-> if ( k = j , ( x ` j ) , .0. ) ) ( .r ` P ) ( k e. D |-> if ( k = i , ( y ` i ) , .0. ) ) ) ) )
134		eqid 2622	. . . . . . . . . 10 |- ( Base ` S ) = ( Base ` S )
135	1, 134	ghmf 17664	. . . . . . . . 9 |- ( E e. ( P GrpHom S ) -> E : B --> ( Base ` S ) )
136	93, 135	syl 17	. . . . . . . 8 |- ( ph -> E : B --> ( Base ` S ) )
137	136	feqmptd 6249	. . . . . . 7 |- ( ph -> E = ( z e. B |-> ( E ` z ) ) )
138	137	adantr 481	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ ( x e. B /\ y e. B ) ) -> E = ( z e. B |-> ( E ` z ) ) )
139		fveq2 6191	. . . . . 6 |- ( z = ( ( k e. D |-> if ( k = j , ( x ` j ) , .0. ) ) ( .r ` P ) ( k e. D |-> if ( k = i , ( y ` i ) , .0. ) ) ) -> ( E ` z ) = ( E ` ( ( k e. D |-> if ( k = j , ( x ` j ) , .0. ) ) ( .r ` P ) ( k e. D |-> if ( k = i , ( y ` i ) , .0. ) ) ) ) )
140	101, 133, 138, 139	fmpt2co 7260	. . . . 5 |- ( ( ph /\ ( x e. B /\ y e. B ) ) -> ( E o. ( j e. D , i e. D |-> ( ( k e. D |-> if ( k = j , ( x ` j ) , .0. ) ) ( .r ` P ) ( k e. D |-> if ( k = i , ( y ` i ) , .0. ) ) ) ) ) = ( j e. D , i e. D |-> ( E ` ( ( k e. D |-> if ( k = j , ( x ` j ) , .0. ) ) ( .r ` P ) ( k e. D |-> if ( k = i , ( y ` i ) , .0. ) ) ) ) ) )
141	140	oveq2d 6666	. . . 4 |- ( ( ph /\ ( x e. B /\ y e. B ) ) -> ( S gsumg ( E o. ( j e. D , i e. D |-> ( ( k e. D |-> if ( k = j , ( x ` j ) , .0. ) ) ( .r ` P ) ( k e. D |-> if ( k = i , ( y ` i ) , .0. ) ) ) ) ) ) = ( S gsumg ( j e. D , i e. D |-> ( E ` ( ( k e. D |-> if ( k = j , ( x ` j ) , .0. ) ) ( .r ` P ) ( k e. D |-> if ( k = i , ( y ` i ) , .0. ) ) ) ) ) ) )
142		eqidd 2623	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ ( x e. B /\ y e. B ) ) -> ( j e. D |-> ( k e. D |-> if ( k = j , ( x ` j ) , .0. ) ) ) = ( j e. D |-> ( k e. D |-> if ( k = j , ( x ` j ) , .0. ) ) ) )
143		fveq2 6191	. . . . . . . 8 |- ( z = ( k e. D |-> if ( k = j , ( x ` j ) , .0. ) ) -> ( E ` z ) = ( E ` ( k e. D |-> if ( k = j , ( x ` j ) , .0. ) ) ) )
144	24, 142, 138, 143	fmptco 6396	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ ( x e. B /\ y e. B ) ) -> ( E o. ( j e. D |-> ( k e. D |-> if ( k = j , ( x ` j ) , .0. ) ) ) ) = ( j e. D |-> ( E ` ( k e. D |-> if ( k = j , ( x ` j ) , .0. ) ) ) ) )
145	144	oveq2d 6666	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ ( x e. B /\ y e. B ) ) -> ( S gsumg ( E o. ( j e. D |-> ( k e. D |-> if ( k = j , ( x ` j ) , .0. ) ) ) ) ) = ( S gsumg ( j e. D |-> ( E ` ( k e. D |-> if ( k = j , ( x ` j ) , .0. ) ) ) ) ) )
146		eqidd 2623	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ ( x e. B /\ y e. B ) ) -> ( i e. D |-> ( k e. D |-> if ( k = i , ( y ` i ) , .0. ) ) ) = ( i e. D |-> ( k e. D |-> if ( k = i , ( y ` i ) , .0. ) ) ) )
147		fveq2 6191	. . . . . . . 8 |- ( z = ( k e. D |-> if ( k = i , ( y ` i ) , .0. ) ) -> ( E ` z ) = ( E ` ( k e. D |-> if ( k = i , ( y ` i ) , .0. ) ) ) )
148	31, 146, 138, 147	fmptco 6396	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ ( x e. B /\ y e. B ) ) -> ( E o. ( i e. D |-> ( k e. D |-> if ( k = i , ( y ` i ) , .0. ) ) ) ) = ( i e. D |-> ( E ` ( k e. D |-> if ( k = i , ( y ` i ) , .0. ) ) ) ) )
149	148	oveq2d 6666	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ ( x e. B /\ y e. B ) ) -> ( S gsumg ( E o. ( i e. D |-> ( k e. D |-> if ( k = i , ( y ` i ) , .0. ) ) ) ) ) = ( S gsumg ( i e. D |-> ( E ` ( k e. D |-> if ( k = i , ( y ` i ) , .0. ) ) ) ) ) )
150	145, 149	oveq12d 6668	. . . . 5 |- ( ( ph /\ ( x e. B /\ y e. B ) ) -> ( ( S gsumg ( E o. ( j e. D |-> ( k e. D |-> if ( k = j , ( x ` j ) , .0. ) ) ) ) ) .x. ( S gsumg ( E o. ( i e. D |-> ( k e. D |-> if ( k = i , ( y ` i ) , .0. ) ) ) ) ) ) = ( ( S gsumg ( j e. D |-> ( E ` ( k e. D |-> if ( k = j , ( x ` j ) , .0. ) ) ) ) ) .x. ( S gsumg ( i e. D |-> ( E ` ( k e. D |-> if ( k = i , ( y ` i ) , .0. ) ) ) ) ) ) )
151		evlslem2.m	. . . . . 6 |- .x. = ( .r ` S )
152		eqid 2622	. . . . . 6 |- ( 0g ` S ) = ( 0g ` S )
153	136	ad2antrr 762	. . . . . . 7 |- ( ( ( ph /\ ( x e. B /\ y e. B ) ) /\ j e. D ) -> E : B --> ( Base ` S ) )
154	153, 24	ffvelrnd 6360	. . . . . 6 |- ( ( ( ph /\ ( x e. B /\ y e. B ) ) /\ j e. D ) -> ( E ` ( k e. D |-> if ( k = j , ( x ` j ) , .0. ) ) ) e. ( Base ` S ) )
155	136	ad2antrr 762	. . . . . . 7 |- ( ( ( ph /\ ( x e. B /\ y e. B ) ) /\ i e. D ) -> E : B --> ( Base ` S ) )
156	155, 31	ffvelrnd 6360	. . . . . 6 |- ( ( ( ph /\ ( x e. B /\ y e. B ) ) /\ i e. D ) -> ( E ` ( k e. D |-> if ( k = i , ( y ` i ) , .0. ) ) ) e. ( Base ` S ) )
157	6	mptex 6486	. . . . . . . . 9 |- ( j e. D |-> ( E ` ( k e. D |-> if ( k = j , ( x ` j ) , .0. ) ) ) ) e. _V
158		funmpt 5926	. . . . . . . . 9 |- Fun ( j e. D |-> ( E ` ( k e. D |-> if ( k = j , ( x ` j ) , .0. ) ) ) )
159		fvex 6201	. . . . . . . . 9 |- ( 0g ` S ) e. _V
160	157, 158, 159	3pm3.2i 1239	. . . . . . . 8 |- ( ( j e. D |-> ( E ` ( k e. D |-> if ( k = j , ( x ` j ) , .0. ) ) ) ) e. _V /\ Fun ( j e. D |-> ( E ` ( k e. D |-> if ( k = j , ( x ` j ) , .0. ) ) ) ) /\ ( 0g ` S ) e. _V )
161	160	a1i 11	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ ( x e. B /\ y e. B ) ) -> ( ( j e. D |-> ( E ` ( k e. D |-> if ( k = j , ( x ` j ) , .0. ) ) ) ) e. _V /\ Fun ( j e. D |-> ( E ` ( k e. D |-> if ( k = j , ( x ` j ) , .0. ) ) ) ) /\ ( 0g ` S ) e. _V ) )
162		ssid 3624	. . . . . . . . . 10 |- ( ( j e. D |-> ( k e. D |-> if ( k = j , ( x ` j ) , .0. ) ) ) supp ( 0g ` P ) ) C_ ( ( j e. D |-> ( k e. D |-> if ( k = j , ( x ` j ) , .0. ) ) ) supp ( 0g ` P ) )
163	162	a1i 11	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> ( ( j e. D |-> ( k e. D |-> if ( k = j , ( x ` j ) , .0. ) ) ) supp ( 0g ` P ) ) C_ ( ( j e. D |-> ( k e. D |-> if ( k = j , ( x ` j ) , .0. ) ) ) supp ( 0g ` P ) ) )
164	3, 152	ghmid 17666	. . . . . . . . . 10 |- ( E e. ( P GrpHom S ) -> ( E ` ( 0g ` P ) ) = ( 0g ` S ) )
165	93, 164	syl 17	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> ( E ` ( 0g ` P ) ) = ( 0g ` S ) )
166	6	mptex 6486	. . . . . . . . . 10 |- ( k e. D |-> if ( k = j , ( x ` j ) , .0. ) ) e. _V
167	166	a1i 11	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ j e. D ) -> ( k e. D |-> if ( k = j , ( x ` j ) , .0. ) ) e. _V )
168	34	a1i 11	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> ( 0g ` P ) e. _V )
169	163, 165, 167, 168	suppssfv 7331	. . . . . . . 8 |- ( ph -> ( ( j e. D |-> ( E ` ( k e. D |-> if ( k = j , ( x ` j ) , .0. ) ) ) ) supp ( 0g ` S ) ) C_ ( ( j e. D |-> ( k e. D |-> if ( k = j , ( x ` j ) , .0. ) ) ) supp ( 0g ` P ) ) )
170	169	adantr 481	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ ( x e. B /\ y e. B ) ) -> ( ( j e. D |-> ( E ` ( k e. D |-> if ( k = j , ( x ` j ) , .0. ) ) ) ) supp ( 0g ` S ) ) C_ ( ( j e. D |-> ( k e. D |-> if ( k = j , ( x ` j ) , .0. ) ) ) supp ( 0g ` P ) ) )
171		suppssfifsupp 8290	. . . . . . 7 |- ( ( ( ( j e. D |-> ( E ` ( k e. D |-> if ( k = j , ( x ` j ) , .0. ) ) ) ) e. _V /\ Fun ( j e. D |-> ( E ` ( k e. D |-> if ( k = j , ( x ` j ) , .0. ) ) ) ) /\ ( 0g ` S ) e. _V ) /\ ( ( ( j e. D |-> ( k e. D |-> if ( k = j , ( x ` j ) , .0. ) ) ) supp ( 0g ` P ) ) e. Fin /\ ( ( j e. D |-> ( E ` ( k e. D |-> if ( k = j , ( x ` j ) , .0. ) ) ) ) supp ( 0g ` S ) ) C_ ( ( j e. D |-> ( k e. D |-> if ( k = j , ( x ` j ) , .0. ) ) ) supp ( 0g ` P ) ) ) ) -> ( j e. D |-> ( E ` ( k e. D |-> if ( k = j , ( x ` j ) , .0. ) ) ) ) finSupp ( 0g ` S ) )
172	161, 110, 170, 171	syl12anc 1324	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ ( x e. B /\ y e. B ) ) -> ( j e. D |-> ( E ` ( k e. D |-> if ( k = j , ( x ` j ) , .0. ) ) ) ) finSupp ( 0g ` S ) )
173	6	mptex 6486	. . . . . . . . 9 |- ( i e. D |-> ( E ` ( k e. D |-> if ( k = i , ( y ` i ) , .0. ) ) ) ) e. _V
174		funmpt 5926	. . . . . . . . 9 |- Fun ( i e. D |-> ( E ` ( k e. D |-> if ( k = i , ( y ` i ) , .0. ) ) ) )
175	173, 174, 159	3pm3.2i 1239	. . . . . . . 8 |- ( ( i e. D |-> ( E ` ( k e. D |-> if ( k = i , ( y ` i ) , .0. ) ) ) ) e. _V /\ Fun ( i e. D |-> ( E ` ( k e. D |-> if ( k = i , ( y ` i ) , .0. ) ) ) ) /\ ( 0g ` S ) e. _V )
176	175	a1i 11	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ ( x e. B /\ y e. B ) ) -> ( ( i e. D |-> ( E ` ( k e. D |-> if ( k = i , ( y ` i ) , .0. ) ) ) ) e. _V /\ Fun ( i e. D |-> ( E ` ( k e. D |-> if ( k = i , ( y ` i ) , .0. ) ) ) ) /\ ( 0g ` S ) e. _V ) )
177		ssid 3624	. . . . . . . . . 10 |- ( ( i e. D |-> ( k e. D |-> if ( k = i , ( y ` i ) , .0. ) ) ) supp ( 0g ` P ) ) C_ ( ( i e. D |-> ( k e. D |-> if ( k = i , ( y ` i ) , .0. ) ) ) supp ( 0g ` P ) )
178	177	a1i 11	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> ( ( i e. D |-> ( k e. D |-> if ( k = i , ( y ` i ) , .0. ) ) ) supp ( 0g ` P ) ) C_ ( ( i e. D |-> ( k e. D |-> if ( k = i , ( y ` i ) , .0. ) ) ) supp ( 0g ` P ) ) )
179	6	mptex 6486	. . . . . . . . . 10 |- ( k e. D |-> if ( k = i , ( y ` i ) , .0. ) ) e. _V
180	179	a1i 11	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ i e. D ) -> ( k e. D |-> if ( k = i , ( y ` i ) , .0. ) ) e. _V )
181	178, 165, 180, 168	suppssfv 7331	. . . . . . . 8 |- ( ph -> ( ( i e. D |-> ( E ` ( k e. D |-> if ( k = i , ( y ` i ) , .0. ) ) ) ) supp ( 0g ` S ) ) C_ ( ( i e. D |-> ( k e. D |-> if ( k = i , ( y ` i ) , .0. ) ) ) supp ( 0g ` P ) ) )
182	181	adantr 481	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ ( x e. B /\ y e. B ) ) -> ( ( i e. D |-> ( E ` ( k e. D |-> if ( k = i , ( y ` i ) , .0. ) ) ) ) supp ( 0g ` S ) ) C_ ( ( i e. D |-> ( k e. D |-> if ( k = i , ( y ` i ) , .0. ) ) ) supp ( 0g ` P ) ) )
183		suppssfifsupp 8290	. . . . . . 7 |- ( ( ( ( i e. D |-> ( E ` ( k e. D |-> if ( k = i , ( y ` i ) , .0. ) ) ) ) e. _V /\ Fun ( i e. D |-> ( E ` ( k e. D |-> if ( k = i , ( y ` i ) , .0. ) ) ) ) /\ ( 0g ` S ) e. _V ) /\ ( ( ( i e. D |-> ( k e. D |-> if ( k = i , ( y ` i ) , .0. ) ) ) supp ( 0g ` P ) ) e. Fin /\ ( ( i e. D |-> ( E ` ( k e. D |-> if ( k = i , ( y ` i ) , .0. ) ) ) ) supp ( 0g ` S ) ) C_ ( ( i e. D |-> ( k e. D |-> if ( k = i , ( y ` i ) , .0. ) ) ) supp ( 0g ` P ) ) ) ) -> ( i e. D |-> ( E ` ( k e. D |-> if ( k = i , ( y ` i ) , .0. ) ) ) ) finSupp ( 0g ` S ) )
184	176, 111, 182, 183	syl12anc 1324	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ ( x e. B /\ y e. B ) ) -> ( i e. D |-> ( E ` ( k e. D |-> if ( k = i , ( y ` i ) , .0. ) ) ) ) finSupp ( 0g ` S ) )
185	134, 151, 152, 7, 7, 88, 154, 156, 172, 184	gsumdixp 18609	. . . . 5 |- ( ( ph /\ ( x e. B /\ y e. B ) ) -> ( ( S gsumg ( j e. D |-> ( E ` ( k e. D |-> if ( k = j , ( x ` j ) , .0. ) ) ) ) ) .x. ( S gsumg ( i e. D |-> ( E ` ( k e. D |-> if ( k = i , ( y ` i ) , .0. ) ) ) ) ) ) = ( S gsumg ( j e. D , i e. D |-> ( ( E ` ( k e. D |-> if ( k = j , ( x ` j ) , .0. ) ) ) .x. ( E ` ( k e. D |-> if ( k = i , ( y ` i ) , .0. ) ) ) ) ) ) )
186	150, 185	eqtrd 2656	. . . 4 |- ( ( ph /\ ( x e. B /\ y e. B ) ) -> ( ( S gsumg ( E o. ( j e. D |-> ( k e. D |-> if ( k = j , ( x ` j ) , .0. ) ) ) ) ) .x. ( S gsumg ( E o. ( i e. D |-> ( k e. D |-> if ( k = i , ( y ` i ) , .0. ) ) ) ) ) ) = ( S gsumg ( j e. D , i e. D |-> ( ( E ` ( k e. D |-> if ( k = j , ( x ` j ) , .0. ) ) ) .x. ( E ` ( k e. D |-> if ( k = i , ( y ` i ) , .0. ) ) ) ) ) ) )
187	132, 141, 186	3eqtr4d 2666	. . 3 |- ( ( ph /\ ( x e. B /\ y e. B ) ) -> ( S gsumg ( E o. ( j e. D , i e. D |-> ( ( k e. D |-> if ( k = j , ( x ` j ) , .0. ) ) ( .r ` P ) ( k e. D |-> if ( k = i , ( y ` i ) , .0. ) ) ) ) ) ) = ( ( S gsumg ( E o. ( j e. D |-> ( k e. D |-> if ( k = j , ( x ` j ) , .0. ) ) ) ) ) .x. ( S gsumg ( E o. ( i e. D |-> ( k e. D |-> if ( k = i , ( y ` i ) , .0. ) ) ) ) ) ) )
188	81, 117, 187	3eqtr2d 2662	. 2 |- ( ( ph /\ ( x e. B /\ y e. B ) ) -> ( E ` ( ( P gsumg ( j e. D |-> ( k e. D |-> if ( k = j , ( x ` j ) , .0. ) ) ) ) ( .r ` P ) ( P gsumg ( i e. D |-> ( k e. D |-> if ( k = i , ( y ` i ) , .0. ) ) ) ) ) ) = ( ( S gsumg ( E o. ( j e. D |-> ( k e. D |-> if ( k = j , ( x ` j ) , .0. ) ) ) ) ) .x. ( S gsumg ( E o. ( i e. D |-> ( k e. D |-> if ( k = i , ( y ` i ) , .0. ) ) ) ) ) ) )
189	8	adantr 481	. . . . 5 |- ( ( ph /\ ( x e. B /\ y e. B ) ) -> I e. _V )
190	11	adantr 481	. . . . 5 |- ( ( ph /\ ( x e. B /\ y e. B ) ) -> R e. Ring )
191	12, 4, 16, 1, 189, 190, 20	mplcoe4 19503	. . . 4 |- ( ( ph /\ ( x e. B /\ y e. B ) ) -> x = ( P gsumg ( j e. D |-> ( k e. D |-> if ( k = j , ( x ` j ) , .0. ) ) ) ) )
192	12, 4, 16, 1, 189, 190, 27	mplcoe4 19503	. . . 4 |- ( ( ph /\ ( x e. B /\ y e. B ) ) -> y = ( P gsumg ( i e. D |-> ( k e. D |-> if ( k = i , ( y ` i ) , .0. ) ) ) ) )
193	191, 192	oveq12d 6668	. . 3 |- ( ( ph /\ ( x e. B /\ y e. B ) ) -> ( x ( .r ` P ) y ) = ( ( P gsumg ( j e. D |-> ( k e. D |-> if ( k = j , ( x ` j ) , .0. ) ) ) ) ( .r ` P ) ( P gsumg ( i e. D |-> ( k e. D |-> if ( k = i , ( y ` i ) , .0. ) ) ) ) ) )
194	193	fveq2d 6195	. 2 |- ( ( ph /\ ( x e. B /\ y e. B ) ) -> ( E ` ( x ( .r ` P ) y ) ) = ( E ` ( ( P gsumg ( j e. D |-> ( k e. D |-> if ( k = j , ( x ` j ) , .0. ) ) ) ) ( .r ` P ) ( P gsumg ( i e. D |-> ( k e. D |-> if ( k = i , ( y ` i ) , .0. ) ) ) ) ) ) )
195	191	fveq2d 6195	. . . 4 |- ( ( ph /\ ( x e. B /\ y e. B ) ) -> ( E ` x ) = ( E ` ( P gsumg ( j e. D |-> ( k e. D |-> if ( k = j , ( x ` j ) , .0. ) ) ) ) ) )
196		eqid 2622	. . . . . 6 |- ( j e. D |-> ( k e. D |-> if ( k = j , ( x ` j ) , .0. ) ) ) = ( j e. D |-> ( k e. D |-> if ( k = j , ( x ` j ) , .0. ) ) )
197	24, 196	fmptd 6385	. . . . 5 |- ( ( ph /\ ( x e. B /\ y e. B ) ) -> ( j e. D |-> ( k e. D |-> if ( k = j , ( x ` j ) , .0. ) ) ) : D --> B )
198	1, 3, 84, 90, 7, 96, 197, 72	gsummhm 18338	. . . 4 |- ( ( ph /\ ( x e. B /\ y e. B ) ) -> ( S gsumg ( E o. ( j e. D |-> ( k e. D |-> if ( k = j , ( x ` j ) , .0. ) ) ) ) ) = ( E ` ( P gsumg ( j e. D |-> ( k e. D |-> if ( k = j , ( x ` j ) , .0. ) ) ) ) ) )
199	195, 198	eqtr4d 2659	. . 3 |- ( ( ph /\ ( x e. B /\ y e. B ) ) -> ( E ` x ) = ( S gsumg ( E o. ( j e. D |-> ( k e. D |-> if ( k = j , ( x ` j ) , .0. ) ) ) ) ) )
200	192	fveq2d 6195	. . . 4 |- ( ( ph /\ ( x e. B /\ y e. B ) ) -> ( E ` y ) = ( E ` ( P gsumg ( i e. D |-> ( k e. D |-> if ( k = i , ( y ` i ) , .0. ) ) ) ) ) )
201		eqid 2622	. . . . . 6 |- ( i e. D |-> ( k e. D |-> if ( k = i , ( y ` i ) , .0. ) ) ) = ( i e. D |-> ( k e. D |-> if ( k = i , ( y ` i ) , .0. ) ) )
202	31, 201	fmptd 6385	. . . . 5 |- ( ( ph /\ ( x e. B /\ y e. B ) ) -> ( i e. D |-> ( k e. D |-> if ( k = i , ( y ` i ) , .0. ) ) ) : D --> B )
203	1, 3, 84, 90, 7, 96, 202, 79	gsummhm 18338	. . . 4 |- ( ( ph /\ ( x e. B /\ y e. B ) ) -> ( S gsumg ( E o. ( i e. D |-> ( k e. D |-> if ( k = i , ( y ` i ) , .0. ) ) ) ) ) = ( E ` ( P gsumg ( i e. D |-> ( k e. D |-> if ( k = i , ( y ` i ) , .0. ) ) ) ) ) )
204	200, 203	eqtr4d 2659	. . 3 |- ( ( ph /\ ( x e. B /\ y e. B ) ) -> ( E ` y ) = ( S gsumg ( E o. ( i e. D |-> ( k e. D |-> if ( k = i , ( y ` i ) , .0. ) ) ) ) ) )
205	199, 204	oveq12d 6668	. 2 |- ( ( ph /\ ( x e. B /\ y e. B ) ) -> ( ( E ` x ) .x. ( E ` y ) ) = ( ( S gsumg ( E o. ( j e. D |-> ( k e. D |-> if ( k = j , ( x ` j ) , .0. ) ) ) ) ) .x. ( S gsumg ( E o. ( i e. D |-> ( k e. D |-> if ( k = i , ( y ` i ) , .0. ) ) ) ) ) ) )
206	188, 194, 205	3eqtr4d 2666	1 |- ( ( ph /\ ( x e. B /\ y e. B ) ) -> ( E ` ( x ( .r ` P ) y ) ) = ( ( E ` x ) .x. ( E ` y ) ) )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 384   /\ w3a 1037   = wceq 1483   e. wcel 1990   A.wral 2912   {crab 2916   _Vcvv 3200   \ cdif 3571   C_ wss 3574   ifcif 4086   {csn 4177   class class class wbr 4653   |-> cmpt 4729   X. cxp 5112   `'ccnv 5113   "cima 5117   o. ccom 5118   Fun wfun 5882   -->wf 5884   ` cfv 5888  (class class class)co 6650   |-> cmpt2 6652   oFcof 6895   supp csupp 7295   ^m cmap 7857   Fincfn 7955   finSupp cfsupp 8275   + caddc 9939   NNcn 11020   NN0cn0 11292   Basecbs 15857   .rcmulr 15942   0gc0g 16100   gsum_g cgsu 16101   Mndcmnd 17294   MndHom cmhm 17333   Grpcgrp 17422   GrpHom cghm 17657  CMndccmn 18193   Ringcrg 18547   CRingccrg 18548   mPoly cmpl 19353

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1722  ax-4 1737  ax-5 1839  ax-6 1888  ax-7 1935  ax-8 1992  ax-9 1999  ax-10 2019  ax-11 2034  ax-12 2047  ax-13 2246  ax-ext 2602  ax-rep 4771  ax-sep 4781  ax-nul 4789  ax-pow 4843  ax-pr 4906  ax-un 6949  ax-inf2 8538  ax-cnex 9992  ax-resscn 9993  ax-1cn 9994  ax-icn 9995  ax-addcl 9996  ax-addrcl 9997  ax-mulcl 9998  ax-mulrcl 9999  ax-mulcom 10000  ax-addass 10001  ax-mulass 10002  ax-distr 10003  ax-i2m1 10004  ax-1ne0 10005  ax-1rid 10006  ax-rnegex 10007  ax-rrecex 10008  ax-cnre 10009  ax-pre-lttri 10010  ax-pre-lttrn 10011  ax-pre-ltadd 10012  ax-pre-mulgt0 10013

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1038  df-3an 1039  df-tru 1486  df-ex 1705  df-nf 1710  df-sb 1881  df-eu 2474  df-mo 2475  df-clab 2609  df-cleq 2615  df-clel 2618  df-nfc 2753  df-ne 2795  df-nel 2898  df-ral 2917  df-rex 2918  df-reu 2919  df-rmo 2920  df-rab 2921  df-v 3202  df-sbc 3436  df-csb 3534  df-dif 3577  df-un 3579  df-in 3581  df-ss 3588  df-pss 3590  df-nul 3916  df-if 4087  df-pw 4160  df-sn 4178  df-pr 4180  df-tp 4182  df-op 4184  df-uni 4437  df-int 4476  df-iun 4522  df-iin 4523  df-br 4654  df-opab 4713  df-mpt 4730  df-tr 4753  df-id 5024  df-eprel 5029  df-po 5035  df-so 5036  df-fr 5073  df-se 5074  df-we 5075  df-xp 5120  df-rel 5121  df-cnv 5122  df-co 5123  df-dm 5124  df-rn 5125  df-res 5126  df-ima 5127  df-pred 5680  df-ord 5726  df-on 5727  df-lim 5728  df-suc 5729  df-iota 5851  df-fun 5890  df-fn 5891  df-f 5892  df-f1 5893  df-fo 5894  df-f1o 5895  df-fv 5896  df-isom 5897  df-riota 6611  df-ov 6653  df-oprab 6654  df-mpt2 6655  df-of 6897  df-ofr 6898  df-om 7066  df-1st 7168  df-2nd 7169  df-supp 7296  df-wrecs 7407  df-recs 7468  df-rdg 7506  df-1o 7560  df-2o 7561  df-oadd 7564  df-er 7742  df-map 7859  df-pm 7860  df-ixp 7909  df-en 7956  df-dom 7957  df-sdom 7958  df-fin 7959  df-fsupp 8276  df-oi 8415  df-card 8765  df-pnf 10076  df-mnf 10077  df-xr 10078  df-ltxr 10079  df-le 10080  df-sub 10268  df-neg 10269  df-nn 11021  df-2 11079  df-3 11080  df-4 11081  df-5 11082  df-6 11083  df-7 11084  df-8 11085  df-9 11086  df-n0 11293  df-z 11378  df-uz 11688  df-fz 12327  df-fzo 12466  df-seq 12802  df-hash 13118  df-struct 15859  df-ndx 15860  df-slot 15861  df-base 15863  df-sets 15864  df-ress 15865  df-plusg 15954  df-mulr 15955  df-sca 15957  df-vsca 15958  df-tset 15960  df-0g 16102  df-gsum 16103  df-mre 16246  df-mrc 16247  df-acs 16249  df-mgm 17242  df-sgrp 17284  df-mnd 17295  df-mhm 17335  df-submnd 17336  df-grp 17425  df-minusg 17426  df-sbg 17427  df-mulg 17541  df-subg 17591  df-ghm 17658  df-cntz 17750  df-cmn 18195  df-abl 18196  df-mgp 18490  df-ur 18502  df-ring 18549  df-cring 18550  df-subrg 18778  df-lmod 18865  df-lss 18933  df-assa 19312  df-psr 19356  df-mpl 19358

This theorem is referenced by:  evlslem1  19515