Theorem taupilemrplb 33166

Description: A set of positive reals has (in the reals) a lower bound. (Contributed by Jim Kingdon, 19-Feb-2019.)

Assertion

Ref	Expression
taupilemrplb	|- E. x e. RR A. y e. ( RR+ i^i A ) x <_ y

Distinct variable groups:   x, y   x, A

Allowed substitution hint:   A( y)

Proof of Theorem taupilemrplb

Step	Hyp	Ref	Expression
1		0re 10040	. 2 |- 0 e. RR
2		inss1 3833	. . . . 5 |- ( RR+ i^i A ) C_ RR+
3	2	sseli 3599	. . . 4 |- ( y e. ( RR+ i^i A ) -> y e. RR+ )
4	3	rpge0d 11876	. . 3 |- ( y e. ( RR+ i^i A ) -> 0 <_ y )
5	4	rgen 2922	. 2 |- A. y e. ( RR+ i^i A ) 0 <_ y
6		breq1 4656	. . . 4 |- ( x = 0 -> ( x <_ y <-> 0 <_ y ) )
7	6	ralbidv 2986	. . 3 |- ( x = 0 -> ( A. y e. ( RR+ i^i A ) x <_ y <-> A. y e. ( RR+ i^i A ) 0 <_ y ) )
8	7	rspcev 3309	. 2 |- ( ( 0 e. RR /\ A. y e. ( RR+ i^i A ) 0 <_ y ) -> E. x e. RR A. y e. ( RR+ i^i A ) x <_ y )
9	1, 5, 8	mp2an 708	1 |- E. x e. RR A. y e. ( RR+ i^i A ) x <_ y

Syntax hints:   = wceq 1483   e. wcel 1990   A.wral 2912   E.wrex 2913   i^i cin 3573   class class class wbr 4653   RRcr 9935   0cc0 9936   <_ cle 10075   RR+crp 11832

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1722  ax-4 1737  ax-5 1839  ax-6 1888  ax-7 1935  ax-8 1992  ax-9 1999  ax-10 2019  ax-11 2034  ax-12 2047  ax-13 2246  ax-ext 2602  ax-sep 4781  ax-nul 4789  ax-pow 4843  ax-pr 4906  ax-un 6949  ax-resscn 9993  ax-1cn 9994  ax-icn 9995  ax-addcl 9996  ax-addrcl 9997  ax-mulcl 9998  ax-mulrcl 9999  ax-i2m1 10004  ax-1ne0 10005  ax-rnegex 10007  ax-rrecex 10008  ax-cnre 10009  ax-pre-lttri 10010

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3an 1039  df-tru 1486  df-ex 1705  df-nf 1710  df-sb 1881  df-eu 2474  df-mo 2475  df-clab 2609  df-cleq 2615  df-clel 2618  df-nfc 2753  df-ne 2795  df-nel 2898  df-ral 2917  df-rex 2918  df-rab 2921  df-v 3202  df-sbc 3436  df-csb 3534  df-dif 3577  df-un 3579  df-in 3581  df-ss 3588  df-nul 3916  df-if 4087  df-pw 4160  df-sn 4178  df-pr 4180  df-op 4184  df-uni 4437  df-br 4654  df-opab 4713  df-mpt 4730  df-id 5024  df-xp 5120  df-rel 5121  df-cnv 5122  df-co 5123  df-dm 5124  df-rn 5125  df-res 5126  df-ima 5127  df-iota 5851  df-fun 5890  df-fn 5891  df-f 5892  df-f1 5893  df-fo 5894  df-f1o 5895  df-fv 5896  df-ov 6653  df-er 7742  df-en 7956  df-dom 7957  df-sdom 7958  df-pnf 10076  df-mnf 10077  df-xr 10078  df-ltxr 10079  df-le 10080  df-rp 11833

This theorem is referenced by:  taupilem2  33168  taupi  33169