Theorem tgval2 20760

Description: Definition of a topology generated by a basis in [Munkres] p. 78. Later we show (in tgcl 20773) that ( topGen ` B ) is indeed a topology (on U. B, see unitg 20771). See also tgval 20759 and tgval3 20767. (Contributed by NM, 15-Jul-2006.) (Revised by Mario Carneiro, 10-Jan-2015.)

Assertion

Ref	Expression
tgval2	|- ( B e. V -> ( topGen ` B ) = { x | ( x C_ U. B /\ A. y e. x E. z e. B ( y e. z /\ z C_ x ) ) } )

Distinct variable groups:   x, y, z, B   x, V, y, z

Proof of Theorem tgval2

Step	Hyp	Ref	Expression
1		tgval 20759	. 2 |- ( B e. V -> ( topGen ` B ) = { x | x C_ U. ( B i^i ~P x ) } )
2		inss1 3833	. . . . . . . . 9 |- ( B i^i ~P x ) C_ B
3	2	unissi 4461	. . . . . . . 8 |- U. ( B i^i ~P x ) C_ U. B
4	3	sseli 3599	. . . . . . 7 |- ( y e. U. ( B i^i ~P x ) -> y e. U. B )
5	4	pm4.71ri 665	. . . . . 6 |- ( y e. U. ( B i^i ~P x ) <-> ( y e. U. B /\ y e. U. ( B i^i ~P x ) ) )
6	5	ralbii 2980	. . . . 5 |- ( A. y e. x y e. U. ( B i^i ~P x ) <-> A. y e. x ( y e. U. B /\ y e. U. ( B i^i ~P x ) ) )
7		r19.26 3064	. . . . 5 |- ( A. y e. x ( y e. U. B /\ y e. U. ( B i^i ~P x ) ) <-> ( A. y e. x y e. U. B /\ A. y e. x y e. U. ( B i^i ~P x ) ) )
8	6, 7	bitri 264	. . . 4 |- ( A. y e. x y e. U. ( B i^i ~P x ) <-> ( A. y e. x y e. U. B /\ A. y e. x y e. U. ( B i^i ~P x ) ) )
9		dfss3 3592	. . . 4 |- ( x C_ U. ( B i^i ~P x ) <-> A. y e. x y e. U. ( B i^i ~P x ) )
10		dfss3 3592	. . . . 5 |- ( x C_ U. B <-> A. y e. x y e. U. B )
11		elin 3796	. . . . . . . . . . 11 |- ( z e. ( B i^i ~P x ) <-> ( z e. B /\ z e. ~P x ) )
12	11	anbi2i 730	. . . . . . . . . 10 |- ( ( y e. z /\ z e. ( B i^i ~P x ) ) <-> ( y e. z /\ ( z e. B /\ z e. ~P x ) ) )
13		an12 838	. . . . . . . . . 10 |- ( ( y e. z /\ ( z e. B /\ z e. ~P x ) ) <-> ( z e. B /\ ( y e. z /\ z e. ~P x ) ) )
14	12, 13	bitri 264	. . . . . . . . 9 |- ( ( y e. z /\ z e. ( B i^i ~P x ) ) <-> ( z e. B /\ ( y e. z /\ z e. ~P x ) ) )
15	14	exbii 1774	. . . . . . . 8 |- ( E. z ( y e. z /\ z e. ( B i^i ~P x ) ) <-> E. z ( z e. B /\ ( y e. z /\ z e. ~P x ) ) )
16		eluni 4439	. . . . . . . 8 |- ( y e. U. ( B i^i ~P x ) <-> E. z ( y e. z /\ z e. ( B i^i ~P x ) ) )
17		df-rex 2918	. . . . . . . 8 |- ( E. z e. B ( y e. z /\ z e. ~P x ) <-> E. z ( z e. B /\ ( y e. z /\ z e. ~P x ) ) )
18	15, 16, 17	3bitr4i 292	. . . . . . 7 |- ( y e. U. ( B i^i ~P x ) <-> E. z e. B ( y e. z /\ z e. ~P x ) )
19		selpw 4165	. . . . . . . . 9 |- ( z e. ~P x <-> z C_ x )
20	19	anbi2i 730	. . . . . . . 8 |- ( ( y e. z /\ z e. ~P x ) <-> ( y e. z /\ z C_ x ) )
21	20	rexbii 3041	. . . . . . 7 |- ( E. z e. B ( y e. z /\ z e. ~P x ) <-> E. z e. B ( y e. z /\ z C_ x ) )
22	18, 21	bitr2i 265	. . . . . 6 |- ( E. z e. B ( y e. z /\ z C_ x ) <-> y e. U. ( B i^i ~P x ) )
23	22	ralbii 2980	. . . . 5 |- ( A. y e. x E. z e. B ( y e. z /\ z C_ x ) <-> A. y e. x y e. U. ( B i^i ~P x ) )
24	10, 23	anbi12i 733	. . . 4 |- ( ( x C_ U. B /\ A. y e. x E. z e. B ( y e. z /\ z C_ x ) ) <-> ( A. y e. x y e. U. B /\ A. y e. x y e. U. ( B i^i ~P x ) ) )
25	8, 9, 24	3bitr4i 292	. . 3 |- ( x C_ U. ( B i^i ~P x ) <-> ( x C_ U. B /\ A. y e. x E. z e. B ( y e. z /\ z C_ x ) ) )
26	25	abbii 2739	. 2 |- { x | x C_ U. ( B i^i ~P x ) } = { x | ( x C_ U. B /\ A. y e. x E. z e. B ( y e. z /\ z C_ x ) ) }
27	1, 26	syl6eq 2672	1 |- ( B e. V -> ( topGen ` B ) = { x | ( x C_ U. B /\ A. y e. x E. z e. B ( y e. z /\ z C_ x ) ) } )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 384   = wceq 1483   E.wex 1704   e. wcel 1990   {cab 2608   A.wral 2912   E.wrex 2913   i^i cin 3573   C_ wss 3574   ~Pcpw 4158   U.cuni 4436   ` cfv 5888   topGenctg 16098

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1722  ax-4 1737  ax-5 1839  ax-6 1888  ax-7 1935  ax-8 1992  ax-9 1999  ax-10 2019  ax-11 2034  ax-12 2047  ax-13 2246  ax-ext 2602  ax-sep 4781  ax-nul 4789  ax-pow 4843  ax-pr 4906  ax-un 6949

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3an 1039  df-tru 1486  df-ex 1705  df-nf 1710  df-sb 1881  df-eu 2474  df-mo 2475  df-clab 2609  df-cleq 2615  df-clel 2618  df-nfc 2753  df-ral 2917  df-rex 2918  df-rab 2921  df-v 3202  df-sbc 3436  df-dif 3577  df-un 3579  df-in 3581  df-ss 3588  df-nul 3916  df-if 4087  df-pw 4160  df-sn 4178  df-pr 4180  df-op 4184  df-uni 4437  df-br 4654  df-opab 4713  df-mpt 4730  df-id 5024  df-xp 5120  df-rel 5121  df-cnv 5122  df-co 5123  df-dm 5124  df-iota 5851  df-fun 5890  df-fv 5896  df-topgen 16104

This theorem is referenced by:  eltg2  20762