Theorem tposoprab 7388

Description: Transposition of a class of ordered triples. (Contributed by Mario Carneiro, 10-Sep-2015.)

Hypothesis

Ref	Expression
tposoprab.1	|- F = { <. <. x , y >. , z >. | ph }

Assertion

Ref	Expression
tposoprab	|- tpos F = { <. <. y , x >. , z >. | ph }

Distinct variable group:   x, y, z

Allowed substitution hints:   ph( x, y, z)   F( x, y, z)

Proof of Theorem tposoprab

Dummy variables a b c are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		tposoprab.1	. . 3 |- F = { <. <. x , y >. , z >. | ph }
2	1	tposeqi 7385	. 2 |- tpos F = tpos { <. <. x , y >. , z >. | ph }
3		reldmoprab 6745	. . 3 |- Rel dom { <. <. x , y >. , z >. | ph }
4		dftpos3 7370	. . 3 |- ( Rel dom { <. <. x , y >. , z >. | ph } -> tpos { <. <. x , y >. , z >. | ph } = { <. <. a , b >. , c >. | <. b , a >. { <. <. x , y >. , z >. | ph } c } )
5	3, 4	ax-mp 5	. 2 |- tpos { <. <. x , y >. , z >. | ph } = { <. <. a , b >. , c >. | <. b , a >. { <. <. x , y >. , z >. | ph } c }
6		nfcv 2764	. . . . 5 |- F/_ y <. b , a >.
7		nfoprab2 6705	. . . . 5 |- F/_ y { <. <. x , y >. , z >. | ph }
8		nfcv 2764	. . . . 5 |- F/_ y c
9	6, 7, 8	nfbr 4699	. . . 4 |- F/ y <. b , a >. { <. <. x , y >. , z >. | ph } c
10		nfcv 2764	. . . . 5 |- F/_ x <. b , a >.
11		nfoprab1 6704	. . . . 5 |- F/_ x { <. <. x , y >. , z >. | ph }
12		nfcv 2764	. . . . 5 |- F/_ x c
13	10, 11, 12	nfbr 4699	. . . 4 |- F/ x <. b , a >. { <. <. x , y >. , z >. | ph } c
14		nfv 1843	. . . 4 |- F/ a <. x , y >. { <. <. x , y >. , z >. | ph } c
15		nfv 1843	. . . 4 |- F/ b <. x , y >. { <. <. x , y >. , z >. | ph } c
16		opeq12 4404	. . . . . 6 |- ( ( b = x /\ a = y ) -> <. b , a >. = <. x , y >. )
17	16	ancoms 469	. . . . 5 |- ( ( a = y /\ b = x ) -> <. b , a >. = <. x , y >. )
18	17	breq1d 4663	. . . 4 |- ( ( a = y /\ b = x ) -> ( <. b , a >. { <. <. x , y >. , z >. | ph } c <-> <. x , y >. { <. <. x , y >. , z >. | ph } c ) )
19	9, 13, 14, 15, 18	cbvoprab12 6729	. . 3 |- { <. <. a , b >. , c >. | <. b , a >. { <. <. x , y >. , z >. | ph } c } = { <. <. y , x >. , c >. | <. x , y >. { <. <. x , y >. , z >. | ph } c }
20		nfcv 2764	. . . . 5 |- F/_ z <. x , y >.
21		nfoprab3 6706	. . . . 5 |- F/_ z { <. <. x , y >. , z >. | ph }
22		nfcv 2764	. . . . 5 |- F/_ z c
23	20, 21, 22	nfbr 4699	. . . 4 |- F/ z <. x , y >. { <. <. x , y >. , z >. | ph } c
24		nfv 1843	. . . 4 |- F/ c ph
25		breq2 4657	. . . . 5 |- ( c = z -> ( <. x , y >. { <. <. x , y >. , z >. | ph } c <-> <. x , y >. { <. <. x , y >. , z >. | ph } z ) )
26		df-br 4654	. . . . . 6 |- ( <. x , y >. { <. <. x , y >. , z >. | ph } z <-> <. <. x , y >. , z >. e. { <. <. x , y >. , z >. | ph } )
27		oprabid 6677	. . . . . 6 |- ( <. <. x , y >. , z >. e. { <. <. x , y >. , z >. | ph } <-> ph )
28	26, 27	bitri 264	. . . . 5 |- ( <. x , y >. { <. <. x , y >. , z >. | ph } z <-> ph )
29	25, 28	syl6bb 276	. . . 4 |- ( c = z -> ( <. x , y >. { <. <. x , y >. , z >. | ph } c <-> ph ) )
30	23, 24, 29	cbvoprab3 6731	. . 3 |- { <. <. y , x >. , c >. | <. x , y >. { <. <. x , y >. , z >. | ph } c } = { <. <. y , x >. , z >. | ph }
31	19, 30	eqtri 2644	. 2 |- { <. <. a , b >. , c >. | <. b , a >. { <. <. x , y >. , z >. | ph } c } = { <. <. y , x >. , z >. | ph }
32	2, 5, 31	3eqtri 2648	1 |- tpos F = { <. <. y , x >. , z >. | ph }

Syntax hints:   /\ wa 384   = wceq 1483   e. wcel 1990   <.cop 4183   class class class wbr 4653   dom cdm 5114   Rel wrel 5119   {coprab 6651  tpos ctpos 7351

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1722  ax-4 1737  ax-5 1839  ax-6 1888  ax-7 1935  ax-8 1992  ax-9 1999  ax-10 2019  ax-11 2034  ax-12 2047  ax-13 2246  ax-ext 2602  ax-sep 4781  ax-nul 4789  ax-pow 4843  ax-pr 4906  ax-un 6949

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3an 1039  df-tru 1486  df-ex 1705  df-nf 1710  df-sb 1881  df-eu 2474  df-mo 2475  df-clab 2609  df-cleq 2615  df-clel 2618  df-nfc 2753  df-ne 2795  df-ral 2917  df-rex 2918  df-rab 2921  df-v 3202  df-sbc 3436  df-dif 3577  df-un 3579  df-in 3581  df-ss 3588  df-nul 3916  df-if 4087  df-pw 4160  df-sn 4178  df-pr 4180  df-op 4184  df-uni 4437  df-br 4654  df-opab 4713  df-mpt 4730  df-id 5024  df-xp 5120  df-rel 5121  df-cnv 5122  df-co 5123  df-dm 5124  df-rn 5125  df-res 5126  df-ima 5127  df-iota 5851  df-fun 5890  df-fn 5891  df-fv 5896  df-oprab 6654  df-tpos 7352

This theorem is referenced by:  tposmpt2  7389