Theorem txuni2 21368

Description: The underlying set of the product of two topologies. (Contributed by Mario Carneiro, 31-Aug-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
txval.1	|- B = ran ( x e. R , y e. S |-> ( x X. y ) )
txuni2.1	|- X = U. R
txuni2.2	|- Y = U. S

Assertion

Ref	Expression
txuni2	|- ( X X. Y ) = U. B

Distinct variable groups:   x, y, R   x, S, y   x, X, y   x, Y, y

Allowed substitution hints:   B( x, y)

Proof of Theorem txuni2

Dummy variables r s z w are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		relxp 5227	. . 3 |- Rel ( X X. Y )
2		txuni2.1	. . . . . . . 8 |- X = U. R
3	2	eleq2i 2693	. . . . . . 7 |- ( z e. X <-> z e. U. R )
4		eluni2 4440	. . . . . . 7 |- ( z e. U. R <-> E. r e. R z e. r )
5	3, 4	bitri 264	. . . . . 6 |- ( z e. X <-> E. r e. R z e. r )
6		txuni2.2	. . . . . . . 8 |- Y = U. S
7	6	eleq2i 2693	. . . . . . 7 |- ( w e. Y <-> w e. U. S )
8		eluni2 4440	. . . . . . 7 |- ( w e. U. S <-> E. s e. S w e. s )
9	7, 8	bitri 264	. . . . . 6 |- ( w e. Y <-> E. s e. S w e. s )
10	5, 9	anbi12i 733	. . . . 5 |- ( ( z e. X /\ w e. Y ) <-> ( E. r e. R z e. r /\ E. s e. S w e. s ) )
11		opelxp 5146	. . . . 5 |- ( <. z , w >. e. ( X X. Y ) <-> ( z e. X /\ w e. Y ) )
12		reeanv 3107	. . . . 5 |- ( E. r e. R E. s e. S ( z e. r /\ w e. s ) <-> ( E. r e. R z e. r /\ E. s e. S w e. s ) )
13	10, 11, 12	3bitr4i 292	. . . 4 |- ( <. z , w >. e. ( X X. Y ) <-> E. r e. R E. s e. S ( z e. r /\ w e. s ) )
14		opelxp 5146	. . . . . 6 |- ( <. z , w >. e. ( r X. s ) <-> ( z e. r /\ w e. s ) )
15		eqid 2622	. . . . . . . . . 10 |- ( r X. s ) = ( r X. s )
16		xpeq1 5128	. . . . . . . . . . . 12 |- ( x = r -> ( x X. y ) = ( r X. y ) )
17	16	eqeq2d 2632	. . . . . . . . . . 11 |- ( x = r -> ( ( r X. s ) = ( x X. y ) <-> ( r X. s ) = ( r X. y ) ) )
18		xpeq2 5129	. . . . . . . . . . . 12 |- ( y = s -> ( r X. y ) = ( r X. s ) )
19	18	eqeq2d 2632	. . . . . . . . . . 11 |- ( y = s -> ( ( r X. s ) = ( r X. y ) <-> ( r X. s ) = ( r X. s ) ) )
20	17, 19	rspc2ev 3324	. . . . . . . . . 10 |- ( ( r e. R /\ s e. S /\ ( r X. s ) = ( r X. s ) ) -> E. x e. R E. y e. S ( r X. s ) = ( x X. y ) )
21	15, 20	mp3an3 1413	. . . . . . . . 9 |- ( ( r e. R /\ s e. S ) -> E. x e. R E. y e. S ( r X. s ) = ( x X. y ) )
22		vex 3203	. . . . . . . . . . 11 |- r e. _V
23		vex 3203	. . . . . . . . . . 11 |- s e. _V
24	22, 23	xpex 6962	. . . . . . . . . 10 |- ( r X. s ) e. _V
25		eqeq1 2626	. . . . . . . . . . 11 |- ( z = ( r X. s ) -> ( z = ( x X. y ) <-> ( r X. s ) = ( x X. y ) ) )
26	25	2rexbidv 3057	. . . . . . . . . 10 |- ( z = ( r X. s ) -> ( E. x e. R E. y e. S z = ( x X. y ) <-> E. x e. R E. y e. S ( r X. s ) = ( x X. y ) ) )
27		txval.1	. . . . . . . . . . 11 |- B = ran ( x e. R , y e. S |-> ( x X. y ) )
28		eqid 2622	. . . . . . . . . . . 12 |- ( x e. R , y e. S |-> ( x X. y ) ) = ( x e. R , y e. S |-> ( x X. y ) )
29	28	rnmpt2 6770	. . . . . . . . . . 11 |- ran ( x e. R , y e. S |-> ( x X. y ) ) = { z | E. x e. R E. y e. S z = ( x X. y ) }
30	27, 29	eqtri 2644	. . . . . . . . . 10 |- B = { z | E. x e. R E. y e. S z = ( x X. y ) }
31	24, 26, 30	elab2 3354	. . . . . . . . 9 |- ( ( r X. s ) e. B <-> E. x e. R E. y e. S ( r X. s ) = ( x X. y ) )
32	21, 31	sylibr 224	. . . . . . . 8 |- ( ( r e. R /\ s e. S ) -> ( r X. s ) e. B )
33		elssuni 4467	. . . . . . . 8 |- ( ( r X. s ) e. B -> ( r X. s ) C_ U. B )
34	32, 33	syl 17	. . . . . . 7 |- ( ( r e. R /\ s e. S ) -> ( r X. s ) C_ U. B )
35	34	sseld 3602	. . . . . 6 |- ( ( r e. R /\ s e. S ) -> ( <. z , w >. e. ( r X. s ) -> <. z , w >. e. U. B ) )
36	14, 35	syl5bir 233	. . . . 5 |- ( ( r e. R /\ s e. S ) -> ( ( z e. r /\ w e. s ) -> <. z , w >. e. U. B ) )
37	36	rexlimivv 3036	. . . 4 |- ( E. r e. R E. s e. S ( z e. r /\ w e. s ) -> <. z , w >. e. U. B )
38	13, 37	sylbi 207	. . 3 |- ( <. z , w >. e. ( X X. Y ) -> <. z , w >. e. U. B )
39	1, 38	relssi 5211	. 2 |- ( X X. Y ) C_ U. B
40		elssuni 4467	. . . . . . . . . 10 |- ( x e. R -> x C_ U. R )
41	40, 2	syl6sseqr 3652	. . . . . . . . 9 |- ( x e. R -> x C_ X )
42		elssuni 4467	. . . . . . . . . 10 |- ( y e. S -> y C_ U. S )
43	42, 6	syl6sseqr 3652	. . . . . . . . 9 |- ( y e. S -> y C_ Y )
44		xpss12 5225	. . . . . . . . 9 |- ( ( x C_ X /\ y C_ Y ) -> ( x X. y ) C_ ( X X. Y ) )
45	41, 43, 44	syl2an 494	. . . . . . . 8 |- ( ( x e. R /\ y e. S ) -> ( x X. y ) C_ ( X X. Y ) )
46		vex 3203	. . . . . . . . . 10 |- x e. _V
47		vex 3203	. . . . . . . . . 10 |- y e. _V
48	46, 47	xpex 6962	. . . . . . . . 9 |- ( x X. y ) e. _V
49	48	elpw 4164	. . . . . . . 8 |- ( ( x X. y ) e. ~P ( X X. Y ) <-> ( x X. y ) C_ ( X X. Y ) )
50	45, 49	sylibr 224	. . . . . . 7 |- ( ( x e. R /\ y e. S ) -> ( x X. y ) e. ~P ( X X. Y ) )
51	50	rgen2 2975	. . . . . 6 |- A. x e. R A. y e. S ( x X. y ) e. ~P ( X X. Y )
52	28	fmpt2 7237	. . . . . 6 |- ( A. x e. R A. y e. S ( x X. y ) e. ~P ( X X. Y ) <-> ( x e. R , y e. S |-> ( x X. y ) ) : ( R X. S ) --> ~P ( X X. Y ) )
53	51, 52	mpbi 220	. . . . 5 |- ( x e. R , y e. S |-> ( x X. y ) ) : ( R X. S ) --> ~P ( X X. Y )
54		frn 6053	. . . . 5 |- ( ( x e. R , y e. S |-> ( x X. y ) ) : ( R X. S ) --> ~P ( X X. Y ) -> ran ( x e. R , y e. S |-> ( x X. y ) ) C_ ~P ( X X. Y ) )
55	53, 54	ax-mp 5	. . . 4 |- ran ( x e. R , y e. S |-> ( x X. y ) ) C_ ~P ( X X. Y )
56	27, 55	eqsstri 3635	. . 3 |- B C_ ~P ( X X. Y )
57		sspwuni 4611	. . 3 |- ( B C_ ~P ( X X. Y ) <-> U. B C_ ( X X. Y ) )
58	56, 57	mpbi 220	. 2 |- U. B C_ ( X X. Y )
59	39, 58	eqssi 3619	1 |- ( X X. Y ) = U. B

Syntax hints:   /\ wa 384   = wceq 1483   e. wcel 1990   {cab 2608   A.wral 2912   E.wrex 2913   C_ wss 3574   ~Pcpw 4158   <.cop 4183   U.cuni 4436   X. cxp 5112   ran crn 5115   -->wf 5884   |-> cmpt2 6652

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1722  ax-4 1737  ax-5 1839  ax-6 1888  ax-7 1935  ax-8 1992  ax-9 1999  ax-10 2019  ax-11 2034  ax-12 2047  ax-13 2246  ax-ext 2602  ax-sep 4781  ax-nul 4789  ax-pow 4843  ax-pr 4906  ax-un 6949

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3an 1039  df-tru 1486  df-ex 1705  df-nf 1710  df-sb 1881  df-eu 2474  df-mo 2475  df-clab 2609  df-cleq 2615  df-clel 2618  df-nfc 2753  df-ne 2795  df-ral 2917  df-rex 2918  df-rab 2921  df-v 3202  df-sbc 3436  df-csb 3534  df-dif 3577  df-un 3579  df-in 3581  df-ss 3588  df-nul 3916  df-if 4087  df-pw 4160  df-sn 4178  df-pr 4180  df-op 4184  df-uni 4437  df-iun 4522  df-br 4654  df-opab 4713  df-mpt 4730  df-id 5024  df-xp 5120  df-rel 5121  df-cnv 5122  df-co 5123  df-dm 5124  df-rn 5125  df-res 5126  df-ima 5127  df-iota 5851  df-fun 5890  df-fn 5891  df-f 5892  df-fv 5896  df-oprab 6654  df-mpt2 6655  df-1st 7168  df-2nd 7169

This theorem is referenced by:  txbasex  21369  txtopon  21394  sxsigon  30255