Theorem sxsigon 30255

Description: A product sigma-algebra is a sigma-algebra on the product of the bases. (Contributed by Thierry Arnoux, 1-Jun-2017.)

Assertion

Ref	Expression
sxsigon	|- ( ( S e. U. ran sigAlgebra /\ T e. U. ran sigAlgebra ) -> ( S ×s T ) e. (sigAlgebra ` ( U. S X. U. T ) ) )

Proof of Theorem sxsigon

Dummy variables x y are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		sxsiga 30254	. 2 |- ( ( S e. U. ran sigAlgebra /\ T e. U. ran sigAlgebra ) -> ( S ×s T ) e. U. ran sigAlgebra )
2		eqid 2622	. . . . . 6 |- ran ( x e. S , y e. T |-> ( x X. y ) ) = ran ( x e. S , y e. T |-> ( x X. y ) )
3	2	sxval 30253	. . . . 5 |- ( ( S e. U. ran sigAlgebra /\ T e. U. ran sigAlgebra ) -> ( S ×s T ) = (sigaGen ` ran ( x e. S , y e. T |-> ( x X. y ) ) ) )
4	3	unieqd 4446	. . . 4 |- ( ( S e. U. ran sigAlgebra /\ T e. U. ran sigAlgebra ) -> U. ( S ×s T ) = U. (sigaGen ` ran ( x e. S , y e. T |-> ( x X. y ) ) ) )
5		mpt2exga 7246	. . . . 5 |- ( ( S e. U. ran sigAlgebra /\ T e. U. ran sigAlgebra ) -> ( x e. S , y e. T |-> ( x X. y ) ) e. _V )
6		rnexg 7098	. . . . 5 |- ( ( x e. S , y e. T |-> ( x X. y ) ) e. _V -> ran ( x e. S , y e. T |-> ( x X. y ) ) e. _V )
7		unisg 30206	. . . . 5 |- ( ran ( x e. S , y e. T |-> ( x X. y ) ) e. _V -> U. (sigaGen ` ran ( x e. S , y e. T |-> ( x X. y ) ) ) = U. ran ( x e. S , y e. T |-> ( x X. y ) ) )
8	5, 6, 7	3syl 18	. . . 4 |- ( ( S e. U. ran sigAlgebra /\ T e. U. ran sigAlgebra ) -> U. (sigaGen ` ran ( x e. S , y e. T |-> ( x X. y ) ) ) = U. ran ( x e. S , y e. T |-> ( x X. y ) ) )
9	4, 8	eqtrd 2656	. . 3 |- ( ( S e. U. ran sigAlgebra /\ T e. U. ran sigAlgebra ) -> U. ( S ×s T ) = U. ran ( x e. S , y e. T |-> ( x X. y ) ) )
10		eqid 2622	. . . 4 |- U. S = U. S
11		eqid 2622	. . . 4 |- U. T = U. T
12	2, 10, 11	txuni2 21368	. . 3 |- ( U. S X. U. T ) = U. ran ( x e. S , y e. T |-> ( x X. y ) )
13	9, 12	syl6reqr 2675	. 2 |- ( ( S e. U. ran sigAlgebra /\ T e. U. ran sigAlgebra ) -> ( U. S X. U. T ) = U. ( S ×s T ) )
14		issgon 30186	. 2 |- ( ( S ×s T ) e. (sigAlgebra ` ( U. S X. U. T ) ) <-> ( ( S ×s T ) e. U. ran sigAlgebra /\ ( U. S X. U. T ) = U. ( S ×s T ) ) )
15	1, 13, 14	sylanbrc 698	1 |- ( ( S e. U. ran sigAlgebra /\ T e. U. ran sigAlgebra ) -> ( S ×s T ) e. (sigAlgebra ` ( U. S X. U. T ) ) )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 384   = wceq 1483   e. wcel 1990   _Vcvv 3200   U.cuni 4436   X. cxp 5112   ran crn 5115   ` cfv 5888  (class class class)co 6650   |-> cmpt2 6652  sigAlgebracsiga 30170  sigaGencsigagen 30201   ×_s csx 30251

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1722  ax-4 1737  ax-5 1839  ax-6 1888  ax-7 1935  ax-8 1992  ax-9 1999  ax-10 2019  ax-11 2034  ax-12 2047  ax-13 2246  ax-ext 2602  ax-rep 4771  ax-sep 4781  ax-nul 4789  ax-pow 4843  ax-pr 4906  ax-un 6949

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3an 1039  df-tru 1486  df-fal 1489  df-ex 1705  df-nf 1710  df-sb 1881  df-eu 2474  df-mo 2475  df-clab 2609  df-cleq 2615  df-clel 2618  df-nfc 2753  df-ne 2795  df-ral 2917  df-rex 2918  df-reu 2919  df-rab 2921  df-v 3202  df-sbc 3436  df-csb 3534  df-dif 3577  df-un 3579  df-in 3581  df-ss 3588  df-nul 3916  df-if 4087  df-pw 4160  df-sn 4178  df-pr 4180  df-op 4184  df-uni 4437  df-int 4476  df-iun 4522  df-br 4654  df-opab 4713  df-mpt 4730  df-id 5024  df-xp 5120  df-rel 5121  df-cnv 5122  df-co 5123  df-dm 5124  df-rn 5125  df-res 5126  df-ima 5127  df-iota 5851  df-fun 5890  df-fn 5891  df-f 5892  df-f1 5893  df-fo 5894  df-f1o 5895  df-fv 5896  df-ov 6653  df-oprab 6654  df-mpt2 6655  df-1st 7168  df-2nd 7169  df-siga 30171  df-sigagen 30202  df-sx 30252

This theorem is referenced by:  sxuni  30256