Theorem undmrnresiss 37910

Description: Two ways of saying the identity relation restricted to the union of the domain and range of a relation is a subset of a relation. Generalization of reflexg 37911. (Contributed by RP, 26-Sep-2020.)

Assertion

Ref	Expression
undmrnresiss	|- ( ( _I |` ( dom A u. ran A ) ) C_ B <-> A. x A. y ( x A y -> ( x B x /\ y B y ) ) )

Distinct variable groups:   x, y, A   x, B, y

Proof of Theorem undmrnresiss

Dummy variable z is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		resundi 5410	. . 3 |- ( _I |` ( dom A u. ran A ) ) = ( ( _I |` dom A ) u. ( _I |` ran A ) )
2	1	sseq1i 3629	. 2 |- ( ( _I |` ( dom A u. ran A ) ) C_ B <-> ( ( _I |` dom A ) u. ( _I |` ran A ) ) C_ B )
3		unss 3787	. 2 |- ( ( ( _I |` dom A ) C_ B /\ ( _I |` ran A ) C_ B ) <-> ( ( _I |` dom A ) u. ( _I |` ran A ) ) C_ B )
4		relres 5426	. . . . . 6 |- Rel ( _I |` dom A )
5		ssrel 5207	. . . . . 6 |- ( Rel ( _I |` dom A ) -> ( ( _I |` dom A ) C_ B <-> A. x A. z ( <. x , z >. e. ( _I |` dom A ) -> <. x , z >. e. B ) ) )
6	4, 5	ax-mp 5	. . . . 5 |- ( ( _I |` dom A ) C_ B <-> A. x A. z ( <. x , z >. e. ( _I |` dom A ) -> <. x , z >. e. B ) )
7		df-br 4654	. . . . . . . . . 10 |- ( x _I z <-> <. x , z >. e. _I )
8		vex 3203	. . . . . . . . . . 11 |- z e. _V
9	8	ideq 5274	. . . . . . . . . 10 |- ( x _I z <-> x = z )
10	7, 9	bitr3i 266	. . . . . . . . 9 |- ( <. x , z >. e. _I <-> x = z )
11		vex 3203	. . . . . . . . . 10 |- x e. _V
12	11	eldm 5321	. . . . . . . . 9 |- ( x e. dom A <-> E. y x A y )
13	10, 12	anbi12i 733	. . . . . . . 8 |- ( ( <. x , z >. e. _I /\ x e. dom A ) <-> ( x = z /\ E. y x A y ) )
14	8	opelres 5401	. . . . . . . 8 |- ( <. x , z >. e. ( _I |` dom A ) <-> ( <. x , z >. e. _I /\ x e. dom A ) )
15		19.42v 1918	. . . . . . . 8 |- ( E. y ( x = z /\ x A y ) <-> ( x = z /\ E. y x A y ) )
16	13, 14, 15	3bitr4i 292	. . . . . . 7 |- ( <. x , z >. e. ( _I |` dom A ) <-> E. y ( x = z /\ x A y ) )
17		df-br 4654	. . . . . . . 8 |- ( x B z <-> <. x , z >. e. B )
18	17	bicomi 214	. . . . . . 7 |- ( <. x , z >. e. B <-> x B z )
19	16, 18	imbi12i 340	. . . . . 6 |- ( ( <. x , z >. e. ( _I |` dom A ) -> <. x , z >. e. B ) <-> ( E. y ( x = z /\ x A y ) -> x B z ) )
20	19	2albii 1748	. . . . 5 |- ( A. x A. z ( <. x , z >. e. ( _I |` dom A ) -> <. x , z >. e. B ) <-> A. x A. z ( E. y ( x = z /\ x A y ) -> x B z ) )
21		19.23v 1902	. . . . . . . 8 |- ( A. y ( ( x = z /\ x A y ) -> x B z ) <-> ( E. y ( x = z /\ x A y ) -> x B z ) )
22	21	bicomi 214	. . . . . . 7 |- ( ( E. y ( x = z /\ x A y ) -> x B z ) <-> A. y ( ( x = z /\ x A y ) -> x B z ) )
23	22	2albii 1748	. . . . . 6 |- ( A. x A. z ( E. y ( x = z /\ x A y ) -> x B z ) <-> A. x A. z A. y ( ( x = z /\ x A y ) -> x B z ) )
24		alcom 2037	. . . . . . . 8 |- ( A. z A. y ( ( x = z /\ x A y ) -> x B z ) <-> A. y A. z ( ( x = z /\ x A y ) -> x B z ) )
25		ancomst 468	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( x = z /\ x A y ) -> x B z ) <-> ( ( x A y /\ x = z ) -> x B z ) )
26		impexp 462	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( x A y /\ x = z ) -> x B z ) <-> ( x A y -> ( x = z -> x B z ) ) )
27	25, 26	bitri 264	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( x = z /\ x A y ) -> x B z ) <-> ( x A y -> ( x = z -> x B z ) ) )
28	27	albii 1747	. . . . . . . . . 10 |- ( A. z ( ( x = z /\ x A y ) -> x B z ) <-> A. z ( x A y -> ( x = z -> x B z ) ) )
29		19.21v 1868	. . . . . . . . . 10 |- ( A. z ( x A y -> ( x = z -> x B z ) ) <-> ( x A y -> A. z ( x = z -> x B z ) ) )
30		equcom 1945	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( x = z <-> z = x )
31	30	imbi1i 339	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( x = z -> x B z ) <-> ( z = x -> x B z ) )
32	31	albii 1747	. . . . . . . . . . . 12 |- ( A. z ( x = z -> x B z ) <-> A. z ( z = x -> x B z ) )
33		breq2 4657	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( z = x -> ( x B z <-> x B x ) )
34	33	equsalvw 1931	. . . . . . . . . . . 12 |- ( A. z ( z = x -> x B z ) <-> x B x )
35	32, 34	bitri 264	. . . . . . . . . . 11 |- ( A. z ( x = z -> x B z ) <-> x B x )
36	35	imbi2i 326	. . . . . . . . . 10 |- ( ( x A y -> A. z ( x = z -> x B z ) ) <-> ( x A y -> x B x ) )
37	28, 29, 36	3bitri 286	. . . . . . . . 9 |- ( A. z ( ( x = z /\ x A y ) -> x B z ) <-> ( x A y -> x B x ) )
38	37	albii 1747	. . . . . . . 8 |- ( A. y A. z ( ( x = z /\ x A y ) -> x B z ) <-> A. y ( x A y -> x B x ) )
39	24, 38	bitri 264	. . . . . . 7 |- ( A. z A. y ( ( x = z /\ x A y ) -> x B z ) <-> A. y ( x A y -> x B x ) )
40	39	albii 1747	. . . . . 6 |- ( A. x A. z A. y ( ( x = z /\ x A y ) -> x B z ) <-> A. x A. y ( x A y -> x B x ) )
41	23, 40	bitri 264	. . . . 5 |- ( A. x A. z ( E. y ( x = z /\ x A y ) -> x B z ) <-> A. x A. y ( x A y -> x B x ) )
42	6, 20, 41	3bitri 286	. . . 4 |- ( ( _I |` dom A ) C_ B <-> A. x A. y ( x A y -> x B x ) )
43		relres 5426	. . . . . 6 |- Rel ( _I |` ran A )
44		ssrel 5207	. . . . . 6 |- ( Rel ( _I |` ran A ) -> ( ( _I |` ran A ) C_ B <-> A. y A. z ( <. y , z >. e. ( _I |` ran A ) -> <. y , z >. e. B ) ) )
45	43, 44	ax-mp 5	. . . . 5 |- ( ( _I |` ran A ) C_ B <-> A. y A. z ( <. y , z >. e. ( _I |` ran A ) -> <. y , z >. e. B ) )
46		df-br 4654	. . . . . . . . . 10 |- ( y _I z <-> <. y , z >. e. _I )
47	8	ideq 5274	. . . . . . . . . 10 |- ( y _I z <-> y = z )
48	46, 47	bitr3i 266	. . . . . . . . 9 |- ( <. y , z >. e. _I <-> y = z )
49		vex 3203	. . . . . . . . . 10 |- y e. _V
50	49	elrn 5366	. . . . . . . . 9 |- ( y e. ran A <-> E. x x A y )
51	48, 50	anbi12i 733	. . . . . . . 8 |- ( ( <. y , z >. e. _I /\ y e. ran A ) <-> ( y = z /\ E. x x A y ) )
52	8	opelres 5401	. . . . . . . 8 |- ( <. y , z >. e. ( _I |` ran A ) <-> ( <. y , z >. e. _I /\ y e. ran A ) )
53		19.42v 1918	. . . . . . . 8 |- ( E. x ( y = z /\ x A y ) <-> ( y = z /\ E. x x A y ) )
54	51, 52, 53	3bitr4i 292	. . . . . . 7 |- ( <. y , z >. e. ( _I |` ran A ) <-> E. x ( y = z /\ x A y ) )
55		df-br 4654	. . . . . . . 8 |- ( y B z <-> <. y , z >. e. B )
56	55	bicomi 214	. . . . . . 7 |- ( <. y , z >. e. B <-> y B z )
57	54, 56	imbi12i 340	. . . . . 6 |- ( ( <. y , z >. e. ( _I |` ran A ) -> <. y , z >. e. B ) <-> ( E. x ( y = z /\ x A y ) -> y B z ) )
58	57	2albii 1748	. . . . 5 |- ( A. y A. z ( <. y , z >. e. ( _I |` ran A ) -> <. y , z >. e. B ) <-> A. y A. z ( E. x ( y = z /\ x A y ) -> y B z ) )
59		19.23v 1902	. . . . . . . 8 |- ( A. x ( ( y = z /\ x A y ) -> y B z ) <-> ( E. x ( y = z /\ x A y ) -> y B z ) )
60	59	bicomi 214	. . . . . . 7 |- ( ( E. x ( y = z /\ x A y ) -> y B z ) <-> A. x ( ( y = z /\ x A y ) -> y B z ) )
61	60	2albii 1748	. . . . . 6 |- ( A. y A. z ( E. x ( y = z /\ x A y ) -> y B z ) <-> A. y A. z A. x ( ( y = z /\ x A y ) -> y B z ) )
62		alrot3 2038	. . . . . 6 |- ( A. x A. y A. z ( ( y = z /\ x A y ) -> y B z ) <-> A. y A. z A. x ( ( y = z /\ x A y ) -> y B z ) )
63		ancomst 468	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( y = z /\ x A y ) -> y B z ) <-> ( ( x A y /\ y = z ) -> y B z ) )
64		impexp 462	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( x A y /\ y = z ) -> y B z ) <-> ( x A y -> ( y = z -> y B z ) ) )
65	63, 64	bitri 264	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( y = z /\ x A y ) -> y B z ) <-> ( x A y -> ( y = z -> y B z ) ) )
66	65	albii 1747	. . . . . . . 8 |- ( A. z ( ( y = z /\ x A y ) -> y B z ) <-> A. z ( x A y -> ( y = z -> y B z ) ) )
67		19.21v 1868	. . . . . . . 8 |- ( A. z ( x A y -> ( y = z -> y B z ) ) <-> ( x A y -> A. z ( y = z -> y B z ) ) )
68		equcom 1945	. . . . . . . . . . . 12 |- ( y = z <-> z = y )
69	68	imbi1i 339	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( y = z -> y B z ) <-> ( z = y -> y B z ) )
70	69	albii 1747	. . . . . . . . . 10 |- ( A. z ( y = z -> y B z ) <-> A. z ( z = y -> y B z ) )
71		breq2 4657	. . . . . . . . . . 11 |- ( z = y -> ( y B z <-> y B y ) )
72	71	equsalvw 1931	. . . . . . . . . 10 |- ( A. z ( z = y -> y B z ) <-> y B y )
73	70, 72	bitri 264	. . . . . . . . 9 |- ( A. z ( y = z -> y B z ) <-> y B y )
74	73	imbi2i 326	. . . . . . . 8 |- ( ( x A y -> A. z ( y = z -> y B z ) ) <-> ( x A y -> y B y ) )
75	66, 67, 74	3bitri 286	. . . . . . 7 |- ( A. z ( ( y = z /\ x A y ) -> y B z ) <-> ( x A y -> y B y ) )
76	75	2albii 1748	. . . . . 6 |- ( A. x A. y A. z ( ( y = z /\ x A y ) -> y B z ) <-> A. x A. y ( x A y -> y B y ) )
77	61, 62, 76	3bitr2i 288	. . . . 5 |- ( A. y A. z ( E. x ( y = z /\ x A y ) -> y B z ) <-> A. x A. y ( x A y -> y B y ) )
78	45, 58, 77	3bitri 286	. . . 4 |- ( ( _I |` ran A ) C_ B <-> A. x A. y ( x A y -> y B y ) )
79	42, 78	anbi12i 733	. . 3 |- ( ( ( _I |` dom A ) C_ B /\ ( _I |` ran A ) C_ B ) <-> ( A. x A. y ( x A y -> x B x ) /\ A. x A. y ( x A y -> y B y ) ) )
80		19.26-2 1799	. . 3 |- ( A. x A. y ( ( x A y -> x B x ) /\ ( x A y -> y B y ) ) <-> ( A. x A. y ( x A y -> x B x ) /\ A. x A. y ( x A y -> y B y ) ) )
81		pm4.76 910	. . . 4 |- ( ( ( x A y -> x B x ) /\ ( x A y -> y B y ) ) <-> ( x A y -> ( x B x /\ y B y ) ) )
82	81	2albii 1748	. . 3 |- ( A. x A. y ( ( x A y -> x B x ) /\ ( x A y -> y B y ) ) <-> A. x A. y ( x A y -> ( x B x /\ y B y ) ) )
83	79, 80, 82	3bitr2i 288	. 2 |- ( ( ( _I |` dom A ) C_ B /\ ( _I |` ran A ) C_ B ) <-> A. x A. y ( x A y -> ( x B x /\ y B y ) ) )
84	2, 3, 83	3bitr2i 288	1 |- ( ( _I |` ( dom A u. ran A ) ) C_ B <-> A. x A. y ( x A y -> ( x B x /\ y B y ) ) )

Syntax hints:   -> wi 4   <-> wb 196   /\ wa 384   A.wal 1481   E.wex 1704   e. wcel 1990   u. cun 3572   C_ wss 3574   <.cop 4183   class class class wbr 4653   _I cid 5023   dom cdm 5114   ran crn 5115   |` cres 5116   Rel wrel 5119

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1722  ax-4 1737  ax-5 1839  ax-6 1888  ax-7 1935  ax-9 1999  ax-10 2019  ax-11 2034  ax-12 2047  ax-13 2246  ax-ext 2602  ax-sep 4781  ax-nul 4789  ax-pr 4906

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3an 1039  df-tru 1486  df-ex 1705  df-nf 1710  df-sb 1881  df-eu 2474  df-mo 2475  df-clab 2609  df-cleq 2615  df-clel 2618  df-nfc 2753  df-ral 2917  df-rex 2918  df-rab 2921  df-v 3202  df-dif 3577  df-un 3579  df-in 3581  df-ss 3588  df-nul 3916  df-if 4087  df-sn 4178  df-pr 4180  df-op 4184  df-br 4654  df-opab 4713  df-id 5024  df-xp 5120  df-rel 5121  df-cnv 5122  df-dm 5124  df-rn 5125  df-res 5126

This theorem is referenced by:  reflexg  37911