Theorem unwdomg 8489

Description: Weak dominance of a (disjoint) union. (Contributed by Stefan O'Rear, 13-Feb-2015.) (Revised by Mario Carneiro, 25-Jun-2015.)

Assertion

Ref	Expression
unwdomg	|- ( ( A ~<_* B /\ C ~<_* D /\ ( B i^i D ) = (/) ) -> ( A u. C ) ~<_* ( B u. D ) )

Proof of Theorem unwdomg

Dummy variables a b f g y z are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		brwdom3i 8488	. . 3 |- ( A ~<_* B -> E. f A. a e. A E. b e. B a = ( f ` b ) )
2	1	3ad2ant1 1082	. 2 |- ( ( A ~<_* B /\ C ~<_* D /\ ( B i^i D ) = (/) ) -> E. f A. a e. A E. b e. B a = ( f ` b ) )
3		brwdom3i 8488	. . . . 5 |- ( C ~<_* D -> E. g A. a e. C E. b e. D a = ( g ` b ) )
4	3	3ad2ant2 1083	. . . 4 |- ( ( A ~<_* B /\ C ~<_* D /\ ( B i^i D ) = (/) ) -> E. g A. a e. C E. b e. D a = ( g ` b ) )
5	4	adantr 481	. . 3 |- ( ( ( A ~<_* B /\ C ~<_* D /\ ( B i^i D ) = (/) ) /\ A. a e. A E. b e. B a = ( f ` b ) ) -> E. g A. a e. C E. b e. D a = ( g ` b ) )
6		relwdom 8471	. . . . . . . . . 10 |- Rel ~<_*
7	6	brrelexi 5158	. . . . . . . . 9 |- ( A ~<_* B -> A e. _V )
8	6	brrelexi 5158	. . . . . . . . 9 |- ( C ~<_* D -> C e. _V )
9		unexg 6959	. . . . . . . . 9 |- ( ( A e. _V /\ C e. _V ) -> ( A u. C ) e. _V )
10	7, 8, 9	syl2an 494	. . . . . . . 8 |- ( ( A ~<_* B /\ C ~<_* D ) -> ( A u. C ) e. _V )
11	10	3adant3 1081	. . . . . . 7 |- ( ( A ~<_* B /\ C ~<_* D /\ ( B i^i D ) = (/) ) -> ( A u. C ) e. _V )
12	11	adantr 481	. . . . . 6 |- ( ( ( A ~<_* B /\ C ~<_* D /\ ( B i^i D ) = (/) ) /\ ( A. a e. A E. b e. B a = ( f ` b ) /\ A. a e. C E. b e. D a = ( g ` b ) ) ) -> ( A u. C ) e. _V )
13	6	brrelex2i 5159	. . . . . . . . 9 |- ( A ~<_* B -> B e. _V )
14	6	brrelex2i 5159	. . . . . . . . 9 |- ( C ~<_* D -> D e. _V )
15		unexg 6959	. . . . . . . . 9 |- ( ( B e. _V /\ D e. _V ) -> ( B u. D ) e. _V )
16	13, 14, 15	syl2an 494	. . . . . . . 8 |- ( ( A ~<_* B /\ C ~<_* D ) -> ( B u. D ) e. _V )
17	16	3adant3 1081	. . . . . . 7 |- ( ( A ~<_* B /\ C ~<_* D /\ ( B i^i D ) = (/) ) -> ( B u. D ) e. _V )
18	17	adantr 481	. . . . . 6 |- ( ( ( A ~<_* B /\ C ~<_* D /\ ( B i^i D ) = (/) ) /\ ( A. a e. A E. b e. B a = ( f ` b ) /\ A. a e. C E. b e. D a = ( g ` b ) ) ) -> ( B u. D ) e. _V )
19		elun 3753	. . . . . . . . . 10 |- ( y e. ( A u. C ) <-> ( y e. A \/ y e. C ) )
20		eqeq1 2626	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( a = y -> ( a = ( f ` b ) <-> y = ( f ` b ) ) )
21	20	rexbidv 3052	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( a = y -> ( E. b e. B a = ( f ` b ) <-> E. b e. B y = ( f ` b ) ) )
22	21	rspcva 3307	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( y e. A /\ A. a e. A E. b e. B a = ( f ` b ) ) -> E. b e. B y = ( f ` b ) )
23		fveq2 6191	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( b = z -> ( f ` b ) = ( f ` z ) )
24	23	eqeq2d 2632	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( b = z -> ( y = ( f ` b ) <-> y = ( f ` z ) ) )
25	24	cbvrexv 3172	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( E. b e. B y = ( f ` b ) <-> E. z e. B y = ( f ` z ) )
26		ssun1 3776	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- B C_ ( B u. D )
27		iftrue 4092	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( z e. B -> if ( z e. B , f , g ) = f )
28	27	fveq1d 6193	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( z e. B -> ( if ( z e. B , f , g ) ` z ) = ( f ` z ) )
29	28	eqeq2d 2632	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( z e. B -> ( y = ( if ( z e. B , f , g ) ` z ) <-> y = ( f ` z ) ) )
30	29	biimprd 238	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( z e. B -> ( y = ( f ` z ) -> y = ( if ( z e. B , f , g ) ` z ) ) )
31	30	reximia 3009	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( E. z e. B y = ( f ` z ) -> E. z e. B y = ( if ( z e. B , f , g ) ` z ) )
32		ssrexv 3667	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( B C_ ( B u. D ) -> ( E. z e. B y = ( if ( z e. B , f , g ) ` z ) -> E. z e. ( B u. D ) y = ( if ( z e. B , f , g ) ` z ) ) )
33	26, 31, 32	mpsyl 68	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( E. z e. B y = ( f ` z ) -> E. z e. ( B u. D ) y = ( if ( z e. B , f , g ) ` z ) )
34	25, 33	sylbi 207	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( E. b e. B y = ( f ` b ) -> E. z e. ( B u. D ) y = ( if ( z e. B , f , g ) ` z ) )
35	22, 34	syl 17	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( y e. A /\ A. a e. A E. b e. B a = ( f ` b ) ) -> E. z e. ( B u. D ) y = ( if ( z e. B , f , g ) ` z ) )
36	35	ancoms 469	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( A. a e. A E. b e. B a = ( f ` b ) /\ y e. A ) -> E. z e. ( B u. D ) y = ( if ( z e. B , f , g ) ` z ) )
37	36	adantlr 751	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( A. a e. A E. b e. B a = ( f ` b ) /\ A. a e. C E. b e. D a = ( g ` b ) ) /\ y e. A ) -> E. z e. ( B u. D ) y = ( if ( z e. B , f , g ) ` z ) )
38	37	adantll 750	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( B i^i D ) = (/) /\ ( A. a e. A E. b e. B a = ( f ` b ) /\ A. a e. C E. b e. D a = ( g ` b ) ) ) /\ y e. A ) -> E. z e. ( B u. D ) y = ( if ( z e. B , f , g ) ` z ) )
39		eqeq1 2626	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( a = y -> ( a = ( g ` b ) <-> y = ( g ` b ) ) )
40	39	rexbidv 3052	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( a = y -> ( E. b e. D a = ( g ` b ) <-> E. b e. D y = ( g ` b ) ) )
41		fveq2 6191	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( b = z -> ( g ` b ) = ( g ` z ) )
42	41	eqeq2d 2632	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( b = z -> ( y = ( g ` b ) <-> y = ( g ` z ) ) )
43	42	cbvrexv 3172	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( E. b e. D y = ( g ` b ) <-> E. z e. D y = ( g ` z ) )
44	40, 43	syl6bb 276	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( a = y -> ( E. b e. D a = ( g ` b ) <-> E. z e. D y = ( g ` z ) ) )
45	44	rspccva 3308	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( A. a e. C E. b e. D a = ( g ` b ) /\ y e. C ) -> E. z e. D y = ( g ` z ) )
46		ssun2 3777	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- D C_ ( B u. D )
47		minel 4033	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 |- ( ( z e. D /\ ( B i^i D ) = (/) ) -> -. z e. B )
48	47	ancoms 469	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( ( ( B i^i D ) = (/) /\ z e. D ) -> -. z e. B )
49	48	iffalsed 4097	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( ( ( B i^i D ) = (/) /\ z e. D ) -> if ( z e. B , f , g ) = g )
50	49	fveq1d 6193	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( ( B i^i D ) = (/) /\ z e. D ) -> ( if ( z e. B , f , g ) ` z ) = ( g ` z ) )
51	50	eqeq2d 2632	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( ( B i^i D ) = (/) /\ z e. D ) -> ( y = ( if ( z e. B , f , g ) ` z ) <-> y = ( g ` z ) ) )
52	51	biimprd 238	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ( B i^i D ) = (/) /\ z e. D ) -> ( y = ( g ` z ) -> y = ( if ( z e. B , f , g ) ` z ) ) )
53	52	reximdva 3017	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( B i^i D ) = (/) -> ( E. z e. D y = ( g ` z ) -> E. z e. D y = ( if ( z e. B , f , g ) ` z ) ) )
54	53	imp 445	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( B i^i D ) = (/) /\ E. z e. D y = ( g ` z ) ) -> E. z e. D y = ( if ( z e. B , f , g ) ` z ) )
55		ssrexv 3667	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( D C_ ( B u. D ) -> ( E. z e. D y = ( if ( z e. B , f , g ) ` z ) -> E. z e. ( B u. D ) y = ( if ( z e. B , f , g ) ` z ) ) )
56	46, 54, 55	mpsyl 68	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( B i^i D ) = (/) /\ E. z e. D y = ( g ` z ) ) -> E. z e. ( B u. D ) y = ( if ( z e. B , f , g ) ` z ) )
57	45, 56	sylan2 491	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( B i^i D ) = (/) /\ ( A. a e. C E. b e. D a = ( g ` b ) /\ y e. C ) ) -> E. z e. ( B u. D ) y = ( if ( z e. B , f , g ) ` z ) )
58	57	anassrs 680	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( B i^i D ) = (/) /\ A. a e. C E. b e. D a = ( g ` b ) ) /\ y e. C ) -> E. z e. ( B u. D ) y = ( if ( z e. B , f , g ) ` z ) )
59	58	adantlrl 756	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( B i^i D ) = (/) /\ ( A. a e. A E. b e. B a = ( f ` b ) /\ A. a e. C E. b e. D a = ( g ` b ) ) ) /\ y e. C ) -> E. z e. ( B u. D ) y = ( if ( z e. B , f , g ) ` z ) )
60	38, 59	jaodan 826	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( B i^i D ) = (/) /\ ( A. a e. A E. b e. B a = ( f ` b ) /\ A. a e. C E. b e. D a = ( g ` b ) ) ) /\ ( y e. A \/ y e. C ) ) -> E. z e. ( B u. D ) y = ( if ( z e. B , f , g ) ` z ) )
61	19, 60	sylan2b 492	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( B i^i D ) = (/) /\ ( A. a e. A E. b e. B a = ( f ` b ) /\ A. a e. C E. b e. D a = ( g ` b ) ) ) /\ y e. ( A u. C ) ) -> E. z e. ( B u. D ) y = ( if ( z e. B , f , g ) ` z ) )
62	61	expl 648	. . . . . . . 8 |- ( ( B i^i D ) = (/) -> ( ( ( A. a e. A E. b e. B a = ( f ` b ) /\ A. a e. C E. b e. D a = ( g ` b ) ) /\ y e. ( A u. C ) ) -> E. z e. ( B u. D ) y = ( if ( z e. B , f , g ) ` z ) ) )
63	62	3ad2ant3 1084	. . . . . . 7 |- ( ( A ~<_* B /\ C ~<_* D /\ ( B i^i D ) = (/) ) -> ( ( ( A. a e. A E. b e. B a = ( f ` b ) /\ A. a e. C E. b e. D a = ( g ` b ) ) /\ y e. ( A u. C ) ) -> E. z e. ( B u. D ) y = ( if ( z e. B , f , g ) ` z ) ) )
64	63	impl 650	. . . . . 6 |- ( ( ( ( A ~<_* B /\ C ~<_* D /\ ( B i^i D ) = (/) ) /\ ( A. a e. A E. b e. B a = ( f ` b ) /\ A. a e. C E. b e. D a = ( g ` b ) ) ) /\ y e. ( A u. C ) ) -> E. z e. ( B u. D ) y = ( if ( z e. B , f , g ) ` z ) )
65	12, 18, 64	wdom2d 8485	. . . . 5 |- ( ( ( A ~<_* B /\ C ~<_* D /\ ( B i^i D ) = (/) ) /\ ( A. a e. A E. b e. B a = ( f ` b ) /\ A. a e. C E. b e. D a = ( g ` b ) ) ) -> ( A u. C ) ~<_* ( B u. D ) )
66	65	expr 643	. . . 4 |- ( ( ( A ~<_* B /\ C ~<_* D /\ ( B i^i D ) = (/) ) /\ A. a e. A E. b e. B a = ( f ` b ) ) -> ( A. a e. C E. b e. D a = ( g ` b ) -> ( A u. C ) ~<_* ( B u. D ) ) )
67	66	exlimdv 1861	. . 3 |- ( ( ( A ~<_* B /\ C ~<_* D /\ ( B i^i D ) = (/) ) /\ A. a e. A E. b e. B a = ( f ` b ) ) -> ( E. g A. a e. C E. b e. D a = ( g ` b ) -> ( A u. C ) ~<_* ( B u. D ) ) )
68	5, 67	mpd 15	. 2 |- ( ( ( A ~<_* B /\ C ~<_* D /\ ( B i^i D ) = (/) ) /\ A. a e. A E. b e. B a = ( f ` b ) ) -> ( A u. C ) ~<_* ( B u. D ) )
69	2, 68	exlimddv 1863	1 |- ( ( A ~<_* B /\ C ~<_* D /\ ( B i^i D ) = (/) ) -> ( A u. C ) ~<_* ( B u. D ) )

Syntax hints:   -. wn 3   -> wi 4   \/ wo 383   /\ wa 384   /\ w3a 1037   = wceq 1483   E.wex 1704   e. wcel 1990   A.wral 2912   E.wrex 2913   _Vcvv 3200   u. cun 3572   i^i cin 3573   C_ wss 3574   (/)c0 3915   ifcif 4086   class class class wbr 4653   ` cfv 5888   ~<_^* cwdom 8462

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1722  ax-4 1737  ax-5 1839  ax-6 1888  ax-7 1935  ax-8 1992  ax-9 1999  ax-10 2019  ax-11 2034  ax-12 2047  ax-13 2246  ax-ext 2602  ax-sep 4781  ax-nul 4789  ax-pow 4843  ax-pr 4906  ax-un 6949

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3an 1039  df-tru 1486  df-ex 1705  df-nf 1710  df-sb 1881  df-eu 2474  df-mo 2475  df-clab 2609  df-cleq 2615  df-clel 2618  df-nfc 2753  df-ne 2795  df-ral 2917  df-rex 2918  df-rab 2921  df-v 3202  df-sbc 3436  df-csb 3534  df-dif 3577  df-un 3579  df-in 3581  df-ss 3588  df-nul 3916  df-if 4087  df-pw 4160  df-sn 4178  df-pr 4180  df-op 4184  df-uni 4437  df-br 4654  df-opab 4713  df-mpt 4730  df-id 5024  df-xp 5120  df-rel 5121  df-cnv 5122  df-co 5123  df-dm 5124  df-rn 5125  df-res 5126  df-ima 5127  df-iota 5851  df-fun 5890  df-fn 5891  df-f 5892  df-f1 5893  df-fo 5894  df-f1o 5895  df-fv 5896  df-er 7742  df-en 7956  df-dom 7957  df-sdom 7958  df-wdom 8464

This theorem is referenced by: (None)