Theorem xpwdomg 8490

Description: Weak dominance of a Cartesian product. (Contributed by Stefan O'Rear, 13-Feb-2015.) (Revised by Mario Carneiro, 25-Jun-2015.)

Assertion

Ref	Expression
xpwdomg	|- ( ( A ~<_* B /\ C ~<_* D ) -> ( A X. C ) ~<_* ( B X. D ) )

Proof of Theorem xpwdomg

Dummy variables a b c f g x y d are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		brwdom3i 8488	. . 3 |- ( A ~<_* B -> E. f A. a e. A E. b e. B a = ( f ` b ) )
2	1	adantr 481	. 2 |- ( ( A ~<_* B /\ C ~<_* D ) -> E. f A. a e. A E. b e. B a = ( f ` b ) )
3		brwdom3i 8488	. . 3 |- ( C ~<_* D -> E. g A. c e. C E. d e. D c = ( g ` d ) )
4	3	adantl 482	. 2 |- ( ( A ~<_* B /\ C ~<_* D ) -> E. g A. c e. C E. d e. D c = ( g ` d ) )
5		relwdom 8471	. . . . . . . . . 10 |- Rel ~<_*
6	5	brrelexi 5158	. . . . . . . . 9 |- ( A ~<_* B -> A e. _V )
7	5	brrelexi 5158	. . . . . . . . 9 |- ( C ~<_* D -> C e. _V )
8		xpexg 6960	. . . . . . . . 9 |- ( ( A e. _V /\ C e. _V ) -> ( A X. C ) e. _V )
9	6, 7, 8	syl2an 494	. . . . . . . 8 |- ( ( A ~<_* B /\ C ~<_* D ) -> ( A X. C ) e. _V )
10	9	adantr 481	. . . . . . 7 |- ( ( ( A ~<_* B /\ C ~<_* D ) /\ ( A. a e. A E. b e. B a = ( f ` b ) /\ A. c e. C E. d e. D c = ( g ` d ) ) ) -> ( A X. C ) e. _V )
11	5	brrelex2i 5159	. . . . . . . . 9 |- ( A ~<_* B -> B e. _V )
12	5	brrelex2i 5159	. . . . . . . . 9 |- ( C ~<_* D -> D e. _V )
13		xpexg 6960	. . . . . . . . 9 |- ( ( B e. _V /\ D e. _V ) -> ( B X. D ) e. _V )
14	11, 12, 13	syl2an 494	. . . . . . . 8 |- ( ( A ~<_* B /\ C ~<_* D ) -> ( B X. D ) e. _V )
15	14	adantr 481	. . . . . . 7 |- ( ( ( A ~<_* B /\ C ~<_* D ) /\ ( A. a e. A E. b e. B a = ( f ` b ) /\ A. c e. C E. d e. D c = ( g ` d ) ) ) -> ( B X. D ) e. _V )
16		pm3.2 463	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( E. b e. B a = ( f ` b ) -> ( E. d e. D c = ( g ` d ) -> ( E. b e. B a = ( f ` b ) /\ E. d e. D c = ( g ` d ) ) ) )
17	16	ralimdv 2963	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( E. b e. B a = ( f ` b ) -> ( A. c e. C E. d e. D c = ( g ` d ) -> A. c e. C ( E. b e. B a = ( f ` b ) /\ E. d e. D c = ( g ` d ) ) ) )
18	17	com12 32	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( A. c e. C E. d e. D c = ( g ` d ) -> ( E. b e. B a = ( f ` b ) -> A. c e. C ( E. b e. B a = ( f ` b ) /\ E. d e. D c = ( g ` d ) ) ) )
19	18	ralimdv 2963	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( A. c e. C E. d e. D c = ( g ` d ) -> ( A. a e. A E. b e. B a = ( f ` b ) -> A. a e. A A. c e. C ( E. b e. B a = ( f ` b ) /\ E. d e. D c = ( g ` d ) ) ) )
20	19	impcom 446	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( A. a e. A E. b e. B a = ( f ` b ) /\ A. c e. C E. d e. D c = ( g ` d ) ) -> A. a e. A A. c e. C ( E. b e. B a = ( f ` b ) /\ E. d e. D c = ( g ` d ) ) )
21		pm3.2 463	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( a = ( f ` b ) -> ( c = ( g ` d ) -> ( a = ( f ` b ) /\ c = ( g ` d ) ) ) )
22	21	reximdv 3016	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( a = ( f ` b ) -> ( E. d e. D c = ( g ` d ) -> E. d e. D ( a = ( f ` b ) /\ c = ( g ` d ) ) ) )
23	22	com12 32	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( E. d e. D c = ( g ` d ) -> ( a = ( f ` b ) -> E. d e. D ( a = ( f ` b ) /\ c = ( g ` d ) ) ) )
24	23	reximdv 3016	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( E. d e. D c = ( g ` d ) -> ( E. b e. B a = ( f ` b ) -> E. b e. B E. d e. D ( a = ( f ` b ) /\ c = ( g ` d ) ) ) )
25	24	impcom 446	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( E. b e. B a = ( f ` b ) /\ E. d e. D c = ( g ` d ) ) -> E. b e. B E. d e. D ( a = ( f ` b ) /\ c = ( g ` d ) ) )
26	25	2ralimi 2953	. . . . . . . . . . . 12 |- ( A. a e. A A. c e. C ( E. b e. B a = ( f ` b ) /\ E. d e. D c = ( g ` d ) ) -> A. a e. A A. c e. C E. b e. B E. d e. D ( a = ( f ` b ) /\ c = ( g ` d ) ) )
27	20, 26	syl 17	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( A. a e. A E. b e. B a = ( f ` b ) /\ A. c e. C E. d e. D c = ( g ` d ) ) -> A. a e. A A. c e. C E. b e. B E. d e. D ( a = ( f ` b ) /\ c = ( g ` d ) ) )
28		eqeq1 2626	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( x = <. a , c >. -> ( x = <. ( f ` b ) , ( g ` d ) >. <-> <. a , c >. = <. ( f ` b ) , ( g ` d ) >. ) )
29		vex 3203	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- a e. _V
30		vex 3203	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- c e. _V
31	29, 30	opth 4945	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( <. a , c >. = <. ( f ` b ) , ( g ` d ) >. <-> ( a = ( f ` b ) /\ c = ( g ` d ) ) )
32	28, 31	syl6bb 276	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( x = <. a , c >. -> ( x = <. ( f ` b ) , ( g ` d ) >. <-> ( a = ( f ` b ) /\ c = ( g ` d ) ) ) )
33	32	2rexbidv 3057	. . . . . . . . . . . 12 |- ( x = <. a , c >. -> ( E. b e. B E. d e. D x = <. ( f ` b ) , ( g ` d ) >. <-> E. b e. B E. d e. D ( a = ( f ` b ) /\ c = ( g ` d ) ) ) )
34	33	ralxp 5263	. . . . . . . . . . 11 |- ( A. x e. ( A X. C ) E. b e. B E. d e. D x = <. ( f ` b ) , ( g ` d ) >. <-> A. a e. A A. c e. C E. b e. B E. d e. D ( a = ( f ` b ) /\ c = ( g ` d ) ) )
35	27, 34	sylibr 224	. . . . . . . . . 10 |- ( ( A. a e. A E. b e. B a = ( f ` b ) /\ A. c e. C E. d e. D c = ( g ` d ) ) -> A. x e. ( A X. C ) E. b e. B E. d e. D x = <. ( f ` b ) , ( g ` d ) >. )
36	35	r19.21bi 2932	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( A. a e. A E. b e. B a = ( f ` b ) /\ A. c e. C E. d e. D c = ( g ` d ) ) /\ x e. ( A X. C ) ) -> E. b e. B E. d e. D x = <. ( f ` b ) , ( g ` d ) >. )
37		vex 3203	. . . . . . . . . . . . . 14 |- b e. _V
38		vex 3203	. . . . . . . . . . . . . 14 |- d e. _V
39	37, 38	op1std 7178	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( y = <. b , d >. -> ( 1st ` y ) = b )
40	39	fveq2d 6195	. . . . . . . . . . . 12 |- ( y = <. b , d >. -> ( f ` ( 1st ` y ) ) = ( f ` b ) )
41	37, 38	op2ndd 7179	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( y = <. b , d >. -> ( 2nd ` y ) = d )
42	41	fveq2d 6195	. . . . . . . . . . . 12 |- ( y = <. b , d >. -> ( g ` ( 2nd ` y ) ) = ( g ` d ) )
43	40, 42	opeq12d 4410	. . . . . . . . . . 11 |- ( y = <. b , d >. -> <. ( f ` ( 1st ` y ) ) , ( g ` ( 2nd ` y ) ) >. = <. ( f ` b ) , ( g ` d ) >. )
44	43	eqeq2d 2632	. . . . . . . . . 10 |- ( y = <. b , d >. -> ( x = <. ( f ` ( 1st ` y ) ) , ( g ` ( 2nd ` y ) ) >. <-> x = <. ( f ` b ) , ( g ` d ) >. ) )
45	44	rexxp 5264	. . . . . . . . 9 |- ( E. y e. ( B X. D ) x = <. ( f ` ( 1st ` y ) ) , ( g ` ( 2nd ` y ) ) >. <-> E. b e. B E. d e. D x = <. ( f ` b ) , ( g ` d ) >. )
46	36, 45	sylibr 224	. . . . . . . 8 |- ( ( ( A. a e. A E. b e. B a = ( f ` b ) /\ A. c e. C E. d e. D c = ( g ` d ) ) /\ x e. ( A X. C ) ) -> E. y e. ( B X. D ) x = <. ( f ` ( 1st ` y ) ) , ( g ` ( 2nd ` y ) ) >. )
47	46	adantll 750	. . . . . . 7 |- ( ( ( ( A ~<_* B /\ C ~<_* D ) /\ ( A. a e. A E. b e. B a = ( f ` b ) /\ A. c e. C E. d e. D c = ( g ` d ) ) ) /\ x e. ( A X. C ) ) -> E. y e. ( B X. D ) x = <. ( f ` ( 1st ` y ) ) , ( g ` ( 2nd ` y ) ) >. )
48	10, 15, 47	wdom2d 8485	. . . . . 6 |- ( ( ( A ~<_* B /\ C ~<_* D ) /\ ( A. a e. A E. b e. B a = ( f ` b ) /\ A. c e. C E. d e. D c = ( g ` d ) ) ) -> ( A X. C ) ~<_* ( B X. D ) )
49	48	expr 643	. . . . 5 |- ( ( ( A ~<_* B /\ C ~<_* D ) /\ A. a e. A E. b e. B a = ( f ` b ) ) -> ( A. c e. C E. d e. D c = ( g ` d ) -> ( A X. C ) ~<_* ( B X. D ) ) )
50	49	exlimdv 1861	. . . 4 |- ( ( ( A ~<_* B /\ C ~<_* D ) /\ A. a e. A E. b e. B a = ( f ` b ) ) -> ( E. g A. c e. C E. d e. D c = ( g ` d ) -> ( A X. C ) ~<_* ( B X. D ) ) )
51	50	ex 450	. . 3 |- ( ( A ~<_* B /\ C ~<_* D ) -> ( A. a e. A E. b e. B a = ( f ` b ) -> ( E. g A. c e. C E. d e. D c = ( g ` d ) -> ( A X. C ) ~<_* ( B X. D ) ) ) )
52	51	exlimdv 1861	. 2 |- ( ( A ~<_* B /\ C ~<_* D ) -> ( E. f A. a e. A E. b e. B a = ( f ` b ) -> ( E. g A. c e. C E. d e. D c = ( g ` d ) -> ( A X. C ) ~<_* ( B X. D ) ) ) )
53	2, 4, 52	mp2d 49	1 |- ( ( A ~<_* B /\ C ~<_* D ) -> ( A X. C ) ~<_* ( B X. D ) )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 384   = wceq 1483   E.wex 1704   e. wcel 1990   A.wral 2912   E.wrex 2913   _Vcvv 3200   <.cop 4183   class class class wbr 4653   X. cxp 5112   ` cfv 5888   1stc1st 7166   2ndc2nd 7167   ~<_^* cwdom 8462

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1722  ax-4 1737  ax-5 1839  ax-6 1888  ax-7 1935  ax-8 1992  ax-9 1999  ax-10 2019  ax-11 2034  ax-12 2047  ax-13 2246  ax-ext 2602  ax-sep 4781  ax-nul 4789  ax-pow 4843  ax-pr 4906  ax-un 6949

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3an 1039  df-tru 1486  df-ex 1705  df-nf 1710  df-sb 1881  df-eu 2474  df-mo 2475  df-clab 2609  df-cleq 2615  df-clel 2618  df-nfc 2753  df-ne 2795  df-ral 2917  df-rex 2918  df-rab 2921  df-v 3202  df-sbc 3436  df-csb 3534  df-dif 3577  df-un 3579  df-in 3581  df-ss 3588  df-nul 3916  df-if 4087  df-pw 4160  df-sn 4178  df-pr 4180  df-op 4184  df-uni 4437  df-iun 4522  df-br 4654  df-opab 4713  df-mpt 4730  df-id 5024  df-xp 5120  df-rel 5121  df-cnv 5122  df-co 5123  df-dm 5124  df-rn 5125  df-res 5126  df-ima 5127  df-iota 5851  df-fun 5890  df-fn 5891  df-f 5892  df-f1 5893  df-fo 5894  df-f1o 5895  df-fv 5896  df-1st 7168  df-2nd 7169  df-er 7742  df-en 7956  df-dom 7957  df-sdom 7958  df-wdom 8464

This theorem is referenced by:  hsmexlem3  9250