Theorem upgrreslem 26196

Description: Lemma for upgrres 26198. (Contributed by AV, 27-Nov-2020.) (Revised by AV, 19-Dec-2021.)

Hypotheses

Ref	Expression
upgrres.v	|- V = (Vtx ` G )
upgrres.e	|- E = (iEdg ` G )
upgrres.f	|- F = { i e. dom E | N e/ ( E ` i ) }

Assertion

Ref	Expression
upgrreslem	|- ( ( G e. UPGraph /\ N e. V ) -> ran ( E |` F ) C_ { p e. ( ~P ( V \ { N } ) \ { (/) } ) | ( # ` p ) <_ 2 } )

Distinct variable groups:   i, E   E, p   G, p   i, N   N, p   V, p

Allowed substitution hints:   F( i, p)   G( i)   V( i)

Proof of Theorem upgrreslem

Dummy variable j is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		df-ima 5127	. 2 |- ( E " F ) = ran ( E |` F )
2		fveq2 6191	. . . . . . 7 |- ( i = j -> ( E ` i ) = ( E ` j ) )
3		neleq2 2903	. . . . . . 7 |- ( ( E ` i ) = ( E ` j ) -> ( N e/ ( E ` i ) <-> N e/ ( E ` j ) ) )
4	2, 3	syl 17	. . . . . 6 |- ( i = j -> ( N e/ ( E ` i ) <-> N e/ ( E ` j ) ) )
5		upgrres.f	. . . . . 6 |- F = { i e. dom E | N e/ ( E ` i ) }
6	4, 5	elrab2 3366	. . . . 5 |- ( j e. F <-> ( j e. dom E /\ N e/ ( E ` j ) ) )
7		upgrres.v	. . . . . . . 8 |- V = (Vtx ` G )
8		upgrres.e	. . . . . . . 8 |- E = (iEdg ` G )
9	7, 8	upgrf 25981	. . . . . . 7 |- ( G e. UPGraph -> E : dom E --> { p e. ( ~P V \ { (/) } ) | ( # ` p ) <_ 2 } )
10		ffvelrn 6357	. . . . . . . . . 10 |- ( ( E : dom E --> { p e. ( ~P V \ { (/) } ) | ( # ` p ) <_ 2 } /\ j e. dom E ) -> ( E ` j ) e. { p e. ( ~P V \ { (/) } ) | ( # ` p ) <_ 2 } )
11		fveq2 6191	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( p = ( E ` j ) -> ( # ` p ) = ( # ` ( E ` j ) ) )
12	11	breq1d 4663	. . . . . . . . . . . 12 |- ( p = ( E ` j ) -> ( ( # ` p ) <_ 2 <-> ( # ` ( E ` j ) ) <_ 2 ) )
13	12	elrab 3363	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( E ` j ) e. { p e. ( ~P V \ { (/) } ) | ( # ` p ) <_ 2 } <-> ( ( E ` j ) e. ( ~P V \ { (/) } ) /\ ( # ` ( E ` j ) ) <_ 2 ) )
14		eldifsn 4317	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( E ` j ) e. ( ~P V \ { (/) } ) <-> ( ( E ` j ) e. ~P V /\ ( E ` j ) =/= (/) ) )
15		simpl 473	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( ( ( E ` j ) e. ~P V /\ N e/ ( E ` j ) ) -> ( E ` j ) e. ~P V )
16		elpwi 4168	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 |- ( ( E ` j ) e. ~P V -> ( E ` j ) C_ V )
17	16	adantr 481	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( ( ( E ` j ) e. ~P V /\ N e/ ( E ` j ) ) -> ( E ` j ) C_ V )
18		simpr 477	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( ( ( E ` j ) e. ~P V /\ N e/ ( E ` j ) ) -> N e/ ( E ` j ) )
19		elpwdifsn 4319	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( ( ( E ` j ) e. ~P V /\ ( E ` j ) C_ V /\ N e/ ( E ` j ) ) -> ( E ` j ) e. ~P ( V \ { N } ) )
20	15, 17, 18, 19	syl3anc 1326	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( ( ( E ` j ) e. ~P V /\ N e/ ( E ` j ) ) -> ( E ` j ) e. ~P ( V \ { N } ) )
21	20	ex 450	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( E ` j ) e. ~P V -> ( N e/ ( E ` j ) -> ( E ` j ) e. ~P ( V \ { N } ) ) )
22	21	adantr 481	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( ( E ` j ) e. ~P V /\ ( E ` j ) =/= (/) ) -> ( N e/ ( E ` j ) -> ( E ` j ) e. ~P ( V \ { N } ) ) )
23	14, 22	sylbi 207	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( E ` j ) e. ( ~P V \ { (/) } ) -> ( N e/ ( E ` j ) -> ( E ` j ) e. ~P ( V \ { N } ) ) )
24	23	adantr 481	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( E ` j ) e. ( ~P V \ { (/) } ) /\ ( # ` ( E ` j ) ) <_ 2 ) -> ( N e/ ( E ` j ) -> ( E ` j ) e. ~P ( V \ { N } ) ) )
25	24	imp 445	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ( E ` j ) e. ( ~P V \ { (/) } ) /\ ( # ` ( E ` j ) ) <_ 2 ) /\ N e/ ( E ` j ) ) -> ( E ` j ) e. ~P ( V \ { N } ) )
26		eldifsni 4320	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( E ` j ) e. ( ~P V \ { (/) } ) -> ( E ` j ) =/= (/) )
27	26	adantr 481	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( E ` j ) e. ( ~P V \ { (/) } ) /\ ( # ` ( E ` j ) ) <_ 2 ) -> ( E ` j ) =/= (/) )
28	27	adantr 481	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ( E ` j ) e. ( ~P V \ { (/) } ) /\ ( # ` ( E ` j ) ) <_ 2 ) /\ N e/ ( E ` j ) ) -> ( E ` j ) =/= (/) )
29		eldifsn 4317	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( E ` j ) e. ( ~P ( V \ { N } ) \ { (/) } ) <-> ( ( E ` j ) e. ~P ( V \ { N } ) /\ ( E ` j ) =/= (/) ) )
30	25, 28, 29	sylanbrc 698	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ( E ` j ) e. ( ~P V \ { (/) } ) /\ ( # ` ( E ` j ) ) <_ 2 ) /\ N e/ ( E ` j ) ) -> ( E ` j ) e. ( ~P ( V \ { N } ) \ { (/) } ) )
31		simpr 477	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( E ` j ) e. ( ~P V \ { (/) } ) /\ ( # ` ( E ` j ) ) <_ 2 ) -> ( # ` ( E ` j ) ) <_ 2 )
32	31	adantr 481	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ( E ` j ) e. ( ~P V \ { (/) } ) /\ ( # ` ( E ` j ) ) <_ 2 ) /\ N e/ ( E ` j ) ) -> ( # ` ( E ` j ) ) <_ 2 )
33	12, 30, 32	elrabd 3365	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ( E ` j ) e. ( ~P V \ { (/) } ) /\ ( # ` ( E ` j ) ) <_ 2 ) /\ N e/ ( E ` j ) ) -> ( E ` j ) e. { p e. ( ~P ( V \ { N } ) \ { (/) } ) | ( # ` p ) <_ 2 } )
34	33	ex 450	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( E ` j ) e. ( ~P V \ { (/) } ) /\ ( # ` ( E ` j ) ) <_ 2 ) -> ( N e/ ( E ` j ) -> ( E ` j ) e. { p e. ( ~P ( V \ { N } ) \ { (/) } ) | ( # ` p ) <_ 2 } ) )
35	34	a1d 25	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( E ` j ) e. ( ~P V \ { (/) } ) /\ ( # ` ( E ` j ) ) <_ 2 ) -> ( N e. V -> ( N e/ ( E ` j ) -> ( E ` j ) e. { p e. ( ~P ( V \ { N } ) \ { (/) } ) | ( # ` p ) <_ 2 } ) ) )
36	13, 35	sylbi 207	. . . . . . . . . 10 |- ( ( E ` j ) e. { p e. ( ~P V \ { (/) } ) | ( # ` p ) <_ 2 } -> ( N e. V -> ( N e/ ( E ` j ) -> ( E ` j ) e. { p e. ( ~P ( V \ { N } ) \ { (/) } ) | ( # ` p ) <_ 2 } ) ) )
37	10, 36	syl 17	. . . . . . . . 9 |- ( ( E : dom E --> { p e. ( ~P V \ { (/) } ) | ( # ` p ) <_ 2 } /\ j e. dom E ) -> ( N e. V -> ( N e/ ( E ` j ) -> ( E ` j ) e. { p e. ( ~P ( V \ { N } ) \ { (/) } ) | ( # ` p ) <_ 2 } ) ) )
38	37	ex 450	. . . . . . . 8 |- ( E : dom E --> { p e. ( ~P V \ { (/) } ) | ( # ` p ) <_ 2 } -> ( j e. dom E -> ( N e. V -> ( N e/ ( E ` j ) -> ( E ` j ) e. { p e. ( ~P ( V \ { N } ) \ { (/) } ) | ( # ` p ) <_ 2 } ) ) ) )
39	38	com23 86	. . . . . . 7 |- ( E : dom E --> { p e. ( ~P V \ { (/) } ) | ( # ` p ) <_ 2 } -> ( N e. V -> ( j e. dom E -> ( N e/ ( E ` j ) -> ( E ` j ) e. { p e. ( ~P ( V \ { N } ) \ { (/) } ) | ( # ` p ) <_ 2 } ) ) ) )
40	9, 39	syl 17	. . . . . 6 |- ( G e. UPGraph -> ( N e. V -> ( j e. dom E -> ( N e/ ( E ` j ) -> ( E ` j ) e. { p e. ( ~P ( V \ { N } ) \ { (/) } ) | ( # ` p ) <_ 2 } ) ) ) )
41	40	imp4b 613	. . . . 5 |- ( ( G e. UPGraph /\ N e. V ) -> ( ( j e. dom E /\ N e/ ( E ` j ) ) -> ( E ` j ) e. { p e. ( ~P ( V \ { N } ) \ { (/) } ) | ( # ` p ) <_ 2 } ) )
42	6, 41	syl5bi 232	. . . 4 |- ( ( G e. UPGraph /\ N e. V ) -> ( j e. F -> ( E ` j ) e. { p e. ( ~P ( V \ { N } ) \ { (/) } ) | ( # ` p ) <_ 2 } ) )
43	42	ralrimiv 2965	. . 3 |- ( ( G e. UPGraph /\ N e. V ) -> A. j e. F ( E ` j ) e. { p e. ( ~P ( V \ { N } ) \ { (/) } ) | ( # ` p ) <_ 2 } )
44		upgruhgr 25997	. . . . . 6 |- ( G e. UPGraph -> G e. UHGraph )
45	8	uhgrfun 25961	. . . . . 6 |- ( G e. UHGraph -> Fun E )
46	44, 45	syl 17	. . . . 5 |- ( G e. UPGraph -> Fun E )
47	46	adantr 481	. . . 4 |- ( ( G e. UPGraph /\ N e. V ) -> Fun E )
48		ssrab2 3687	. . . . 5 |- { i e. dom E | N e/ ( E ` i ) } C_ dom E
49	5, 48	eqsstri 3635	. . . 4 |- F C_ dom E
50		funimass4 6247	. . . 4 |- ( ( Fun E /\ F C_ dom E ) -> ( ( E " F ) C_ { p e. ( ~P ( V \ { N } ) \ { (/) } ) | ( # ` p ) <_ 2 } <-> A. j e. F ( E ` j ) e. { p e. ( ~P ( V \ { N } ) \ { (/) } ) | ( # ` p ) <_ 2 } ) )
51	47, 49, 50	sylancl 694	. . 3 |- ( ( G e. UPGraph /\ N e. V ) -> ( ( E " F ) C_ { p e. ( ~P ( V \ { N } ) \ { (/) } ) | ( # ` p ) <_ 2 } <-> A. j e. F ( E ` j ) e. { p e. ( ~P ( V \ { N } ) \ { (/) } ) | ( # ` p ) <_ 2 } ) )
52	43, 51	mpbird 247	. 2 |- ( ( G e. UPGraph /\ N e. V ) -> ( E " F ) C_ { p e. ( ~P ( V \ { N } ) \ { (/) } ) | ( # ` p ) <_ 2 } )
53	1, 52	syl5eqssr 3650	1 |- ( ( G e. UPGraph /\ N e. V ) -> ran ( E |` F ) C_ { p e. ( ~P ( V \ { N } ) \ { (/) } ) | ( # ` p ) <_ 2 } )

Syntax hints:   -> wi 4   <-> wb 196   /\ wa 384   = wceq 1483   e. wcel 1990   =/= wne 2794   e/ wnel 2897   A.wral 2912   {crab 2916   \ cdif 3571   C_ wss 3574   (/)c0 3915   ~Pcpw 4158   {csn 4177   class class class wbr 4653   dom cdm 5114   ran crn 5115   |` cres 5116   "cima 5117   Fun wfun 5882   -->wf 5884   ` cfv 5888   <_ cle 10075   2c2 11070   #chash 13117  Vtxcvtx 25874  iEdgciedg 25875   UHGraph cuhgr 25951   UPGraph cupgr 25975

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1722  ax-4 1737  ax-5 1839  ax-6 1888  ax-7 1935  ax-9 1999  ax-10 2019  ax-11 2034  ax-12 2047  ax-13 2246  ax-ext 2602  ax-sep 4781  ax-nul 4789  ax-pr 4906

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3an 1039  df-tru 1486  df-ex 1705  df-nf 1710  df-sb 1881  df-eu 2474  df-mo 2475  df-clab 2609  df-cleq 2615  df-clel 2618  df-nfc 2753  df-ne 2795  df-nel 2898  df-ral 2917  df-rex 2918  df-rab 2921  df-v 3202  df-sbc 3436  df-dif 3577  df-un 3579  df-in 3581  df-ss 3588  df-nul 3916  df-if 4087  df-pw 4160  df-sn 4178  df-pr 4180  df-op 4184  df-uni 4437  df-br 4654  df-opab 4713  df-id 5024  df-xp 5120  df-rel 5121  df-cnv 5122  df-co 5123  df-dm 5124  df-rn 5125  df-res 5126  df-ima 5127  df-iota 5851  df-fun 5890  df-fn 5891  df-f 5892  df-fv 5896  df-uhgr 25953  df-upgr 25977

This theorem is referenced by:  upgrres  26198