Theorem uvtxael1 26296

Description: A universal vertex, i.e. an element of the set of all universal vertices. (Contributed by Alexander van der Vekens, 12-Oct-2017.)

Hypotheses

Ref	Expression
uvtxael.v	|- V = (Vtx ` G )
isuvtxa.e	|- E = (Edg ` G )

Assertion

Ref	Expression
uvtxael1	|- ( G e. W -> ( N e. (UnivVtx ` G ) <-> ( N e. V /\ A. k e. ( V \ { N } ) E. e e. E { k , N } C_ e ) ) )

Distinct variable groups:   e, E   e, G, k   e, V, k   e, W, k   e, N, k

Allowed substitution hint:   E( k)

Proof of Theorem uvtxael1

Dummy variable n is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		uvtxael.v	. . . 4 |- V = (Vtx ` G )
2		isuvtxa.e	. . . 4 |- E = (Edg ` G )
3	1, 2	isuvtxa 26295	. . 3 |- ( G e. W -> (UnivVtx ` G ) = { n e. V | A. k e. ( V \ { n } ) E. e e. E { k , n } C_ e } )
4	3	eleq2d 2687	. 2 |- ( G e. W -> ( N e. (UnivVtx ` G ) <-> N e. { n e. V | A. k e. ( V \ { n } ) E. e e. E { k , n } C_ e } ) )
5		sneq 4187	. . . . 5 |- ( n = N -> { n } = { N } )
6	5	difeq2d 3728	. . . 4 |- ( n = N -> ( V \ { n } ) = ( V \ { N } ) )
7		preq2 4269	. . . . . 6 |- ( n = N -> { k , n } = { k , N } )
8	7	sseq1d 3632	. . . . 5 |- ( n = N -> ( { k , n } C_ e <-> { k , N } C_ e ) )
9	8	rexbidv 3052	. . . 4 |- ( n = N -> ( E. e e. E { k , n } C_ e <-> E. e e. E { k , N } C_ e ) )
10	6, 9	raleqbidv 3152	. . 3 |- ( n = N -> ( A. k e. ( V \ { n } ) E. e e. E { k , n } C_ e <-> A. k e. ( V \ { N } ) E. e e. E { k , N } C_ e ) )
11	10	elrab 3363	. 2 |- ( N e. { n e. V | A. k e. ( V \ { n } ) E. e e. E { k , n } C_ e } <-> ( N e. V /\ A. k e. ( V \ { N } ) E. e e. E { k , N } C_ e ) )
12	4, 11	syl6bb 276	1 |- ( G e. W -> ( N e. (UnivVtx ` G ) <-> ( N e. V /\ A. k e. ( V \ { N } ) E. e e. E { k , N } C_ e ) ) )

Syntax hints:   -> wi 4   <-> wb 196   /\ wa 384   = wceq 1483   e. wcel 1990   A.wral 2912   E.wrex 2913   {crab 2916   \ cdif 3571   C_ wss 3574   {csn 4177   {cpr 4179   ` cfv 5888  Vtxcvtx 25874  Edgcedg 25939  UnivVtxcuvtxa 26225

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1722  ax-4 1737  ax-5 1839  ax-6 1888  ax-7 1935  ax-8 1992  ax-9 1999  ax-10 2019  ax-11 2034  ax-12 2047  ax-13 2246  ax-ext 2602  ax-sep 4781  ax-nul 4789  ax-pow 4843  ax-pr 4906  ax-un 6949

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3an 1039  df-tru 1486  df-fal 1489  df-ex 1705  df-nf 1710  df-sb 1881  df-eu 2474  df-mo 2475  df-clab 2609  df-cleq 2615  df-clel 2618  df-nfc 2753  df-ne 2795  df-ral 2917  df-rex 2918  df-rab 2921  df-v 3202  df-sbc 3436  df-csb 3534  df-dif 3577  df-un 3579  df-in 3581  df-ss 3588  df-nul 3916  df-if 4087  df-sn 4178  df-pr 4180  df-op 4184  df-uni 4437  df-iun 4522  df-br 4654  df-opab 4713  df-mpt 4730  df-id 5024  df-xp 5120  df-rel 5121  df-cnv 5122  df-co 5123  df-dm 5124  df-rn 5125  df-res 5126  df-ima 5127  df-iota 5851  df-fun 5890  df-fv 5896  df-ov 6653  df-oprab 6654  df-mpt2 6655  df-1st 7168  df-2nd 7169  df-nbgr 26228  df-uvtxa 26230

This theorem is referenced by: (None)