Theorem isuvtxa 26295

Description: The set of all universal vertices. (Contributed by Alexander van der Vekens, 12-Oct-2017.) (Revised by AV, 30-Oct-2020.)

Hypotheses

Ref	Expression
uvtxael.v	|- V = (Vtx ` G )
isuvtxa.e	|- E = (Edg ` G )

Assertion

Ref	Expression
isuvtxa	|- ( G e. W -> (UnivVtx ` G ) = { v e. V | A. k e. ( V \ { v } ) E. e e. E { k , v } C_ e } )

Distinct variable groups:   v, G   v, V   e, E   e, G, k, v   e, V, k   e, W, k, v

Allowed substitution hints:   E( v, k)

Proof of Theorem isuvtxa

Step	Hyp	Ref	Expression
1		uvtxael.v	. . 3 |- V = (Vtx ` G )
2	1	uvtxaval 26287	. 2 |- ( G e. W -> (UnivVtx ` G ) = { v e. V | A. k e. ( V \ { v } ) k e. ( G NeighbVtx v ) } )
3		isuvtxa.e	. . . . . . 7 |- E = (Edg ` G )
4	1, 3	nbgrel 26238	. . . . . 6 |- ( G e. W -> ( k e. ( G NeighbVtx v ) <-> ( ( k e. V /\ v e. V ) /\ k =/= v /\ E. e e. E { v , k } C_ e ) ) )
5	4	ad2antrr 762	. . . . 5 |- ( ( ( G e. W /\ v e. V ) /\ k e. ( V \ { v } ) ) -> ( k e. ( G NeighbVtx v ) <-> ( ( k e. V /\ v e. V ) /\ k =/= v /\ E. e e. E { v , k } C_ e ) ) )
6		df-3an 1039	. . . . . 6 |- ( ( ( k e. V /\ v e. V ) /\ k =/= v /\ E. e e. E { v , k } C_ e ) <-> ( ( ( k e. V /\ v e. V ) /\ k =/= v ) /\ E. e e. E { v , k } C_ e ) )
7		prcom 4267	. . . . . . . . 9 |- { k , v } = { v , k }
8	7	sseq1i 3629	. . . . . . . 8 |- ( { k , v } C_ e <-> { v , k } C_ e )
9	8	rexbii 3041	. . . . . . 7 |- ( E. e e. E { k , v } C_ e <-> E. e e. E { v , k } C_ e )
10		simpr 477	. . . . . . . . . 10 |- ( ( G e. W /\ v e. V ) -> v e. V )
11		eldifi 3732	. . . . . . . . . 10 |- ( k e. ( V \ { v } ) -> k e. V )
12	10, 11	anim12ci 591	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( G e. W /\ v e. V ) /\ k e. ( V \ { v } ) ) -> ( k e. V /\ v e. V ) )
13		eldifsni 4320	. . . . . . . . . 10 |- ( k e. ( V \ { v } ) -> k =/= v )
14	13	adantl 482	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( G e. W /\ v e. V ) /\ k e. ( V \ { v } ) ) -> k =/= v )
15	12, 14	jca 554	. . . . . . . 8 |- ( ( ( G e. W /\ v e. V ) /\ k e. ( V \ { v } ) ) -> ( ( k e. V /\ v e. V ) /\ k =/= v ) )
16	15	biantrurd 529	. . . . . . 7 |- ( ( ( G e. W /\ v e. V ) /\ k e. ( V \ { v } ) ) -> ( E. e e. E { v , k } C_ e <-> ( ( ( k e. V /\ v e. V ) /\ k =/= v ) /\ E. e e. E { v , k } C_ e ) ) )
17	9, 16	syl5rbb 273	. . . . . 6 |- ( ( ( G e. W /\ v e. V ) /\ k e. ( V \ { v } ) ) -> ( ( ( ( k e. V /\ v e. V ) /\ k =/= v ) /\ E. e e. E { v , k } C_ e ) <-> E. e e. E { k , v } C_ e ) )
18	6, 17	syl5bb 272	. . . . 5 |- ( ( ( G e. W /\ v e. V ) /\ k e. ( V \ { v } ) ) -> ( ( ( k e. V /\ v e. V ) /\ k =/= v /\ E. e e. E { v , k } C_ e ) <-> E. e e. E { k , v } C_ e ) )
19	5, 18	bitrd 268	. . . 4 |- ( ( ( G e. W /\ v e. V ) /\ k e. ( V \ { v } ) ) -> ( k e. ( G NeighbVtx v ) <-> E. e e. E { k , v } C_ e ) )
20	19	ralbidva 2985	. . 3 |- ( ( G e. W /\ v e. V ) -> ( A. k e. ( V \ { v } ) k e. ( G NeighbVtx v ) <-> A. k e. ( V \ { v } ) E. e e. E { k , v } C_ e ) )
21	20	rabbidva 3188	. 2 |- ( G e. W -> { v e. V | A. k e. ( V \ { v } ) k e. ( G NeighbVtx v ) } = { v e. V | A. k e. ( V \ { v } ) E. e e. E { k , v } C_ e } )
22	2, 21	eqtrd 2656	1 |- ( G e. W -> (UnivVtx ` G ) = { v e. V | A. k e. ( V \ { v } ) E. e e. E { k , v } C_ e } )

Syntax hints:   -> wi 4   <-> wb 196   /\ wa 384   /\ w3a 1037   = wceq 1483   e. wcel 1990   =/= wne 2794   A.wral 2912   E.wrex 2913   {crab 2916   \ cdif 3571   C_ wss 3574   {csn 4177   {cpr 4179   ` cfv 5888  (class class class)co 6650  Vtxcvtx 25874  Edgcedg 25939   NeighbVtx cnbgr 26224  UnivVtxcuvtxa 26225

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1722  ax-4 1737  ax-5 1839  ax-6 1888  ax-7 1935  ax-8 1992  ax-9 1999  ax-10 2019  ax-11 2034  ax-12 2047  ax-13 2246  ax-ext 2602  ax-sep 4781  ax-nul 4789  ax-pow 4843  ax-pr 4906  ax-un 6949

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3an 1039  df-tru 1486  df-fal 1489  df-ex 1705  df-nf 1710  df-sb 1881  df-eu 2474  df-mo 2475  df-clab 2609  df-cleq 2615  df-clel 2618  df-nfc 2753  df-ne 2795  df-ral 2917  df-rex 2918  df-rab 2921  df-v 3202  df-sbc 3436  df-csb 3534  df-dif 3577  df-un 3579  df-in 3581  df-ss 3588  df-nul 3916  df-if 4087  df-sn 4178  df-pr 4180  df-op 4184  df-uni 4437  df-iun 4522  df-br 4654  df-opab 4713  df-mpt 4730  df-id 5024  df-xp 5120  df-rel 5121  df-cnv 5122  df-co 5123  df-dm 5124  df-rn 5125  df-res 5126  df-ima 5127  df-iota 5851  df-fun 5890  df-fv 5896  df-ov 6653  df-oprab 6654  df-mpt2 6655  df-1st 7168  df-2nd 7169  df-nbgr 26228  df-uvtxa 26230

This theorem is referenced by:  uvtxael1  26296