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Theorem vcdir 27421
Description: Distributive law for the scalar product of a complex vector space. (Contributed by NM, 3-Nov-2006.) (New usage is discouraged.)
Hypotheses
Ref Expression
vciOLD.1 |- G = ( 1st ` W )
vciOLD.2 |- S = ( 2nd ` W )
vciOLD.3 |- X = ran G
Assertion
Ref Expression
vcdir |- ( ( W e. CVecOLD /\ ( A e. CC /\ B e. CC /\ C e. X ) ) -> ( ( A + B ) S C ) = ( ( A S C ) G ( B S C ) ) )
Proof of Theorem vcdir
Dummy variables x y z are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 vciOLD.1 . . . . . 6 |- G = ( 1st ` W )
2 vciOLD.2 . . . . . 6 |- S = ( 2nd ` W )
3 vciOLD.3 . . . . . 6 |- X = ran G
41, 2, 3vciOLD 27416 . . . . 5 |- ( W e. CVecOLD -> ( G e. AbelOp /\ S : ( CC X. X ) --> X /\ A. x e. X ( ( 1 S x ) = x /\ A. y e. CC ( A. z e. X ( y S ( x G z ) ) = ( ( y S x ) G ( y S z ) ) /\ A. z e. CC ( ( ( y + z ) S x ) = ( ( y S x ) G ( z S x ) ) /\ ( ( y x. z ) S x ) = ( y S ( z S x ) ) ) ) ) ) )
5 simpl 473 . . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( y + z ) S x ) = ( ( y S x ) G ( z S x ) ) /\ ( ( y x. z ) S x ) = ( y S ( z S x ) ) ) -> ( ( y + z ) S x ) = ( ( y S x ) G ( z S x ) ) )
65ralimi 2952 . . . . . . . . . 10 |- ( A. z e. CC ( ( ( y + z ) S x ) = ( ( y S x ) G ( z S x ) ) /\ ( ( y x. z ) S x ) = ( y S ( z S x ) ) ) -> A. z e. CC ( ( y + z ) S x ) = ( ( y S x ) G ( z S x ) ) )
76adantl 482 . . . . . . . . 9 |- ( ( A. z e. X ( y S ( x G z ) ) = ( ( y S x ) G ( y S z ) ) /\ A. z e. CC ( ( ( y + z ) S x ) = ( ( y S x ) G ( z S x ) ) /\ ( ( y x. z ) S x ) = ( y S ( z S x ) ) ) ) -> A. z e. CC ( ( y + z ) S x ) = ( ( y S x ) G ( z S x ) ) )
87ralimi 2952 . . . . . . . 8 |- ( A. y e. CC ( A. z e. X ( y S ( x G z ) ) = ( ( y S x ) G ( y S z ) ) /\ A. z e. CC ( ( ( y + z ) S x ) = ( ( y S x ) G ( z S x ) ) /\ ( ( y x. z ) S x ) = ( y S ( z S x ) ) ) ) -> A. y e. CC A. z e. CC ( ( y + z ) S x ) = ( ( y S x ) G ( z S x ) ) )
98adantl 482 . . . . . . 7 |- ( ( ( 1 S x ) = x /\ A. y e. CC ( A. z e. X ( y S ( x G z ) ) = ( ( y S x ) G ( y S z ) ) /\ A. z e. CC ( ( ( y + z ) S x ) = ( ( y S x ) G ( z S x ) ) /\ ( ( y x. z ) S x ) = ( y S ( z S x ) ) ) ) ) -> A. y e. CC A. z e. CC ( ( y + z ) S x ) = ( ( y S x ) G ( z S x ) ) )
109ralimi 2952 . . . . . 6 |- ( A. x e. X ( ( 1 S x ) = x /\ A. y e. CC ( A. z e. X ( y S ( x G z ) ) = ( ( y S x ) G ( y S z ) ) /\ A. z e. CC ( ( ( y + z ) S x ) = ( ( y S x ) G ( z S x ) ) /\ ( ( y x. z ) S x ) = ( y S ( z S x ) ) ) ) ) -> A. x e. X A. y e. CC A. z e. CC ( ( y + z ) S x ) = ( ( y S x ) G ( z S x ) ) )
11103ad2ant3 1084 . . . . 5 |- ( ( G e. AbelOp /\ S : ( CC X. X ) --> X /\ A. x e. X ( ( 1 S x ) = x /\ A. y e. CC ( A. z e. X ( y S ( x G z ) ) = ( ( y S x ) G ( y S z ) ) /\ A. z e. CC ( ( ( y + z ) S x ) = ( ( y S x ) G ( z S x ) ) /\ ( ( y x. z ) S x ) = ( y S ( z S x ) ) ) ) ) ) -> A. x e. X A. y e. CC A. z e. CC ( ( y + z ) S x ) = ( ( y S x ) G ( z S x ) ) )
124, 11syl 17 . . . 4 |- ( W e. CVecOLD -> A. x e. X A. y e. CC A. z e. CC ( ( y + z ) S x ) = ( ( y S x ) G ( z S x ) ) )
13 oveq2 6658 . . . . . 6 |- ( x = C -> ( ( y + z ) S x ) = ( ( y + z ) S C ) )
14 oveq2 6658 . . . . . . 7 |- ( x = C -> ( y S x ) = ( y S C ) )
15 oveq2 6658 . . . . . . 7 |- ( x = C -> ( z S x ) = ( z S C ) )
1614, 15oveq12d 6668 . . . . . 6 |- ( x = C -> ( ( y S x ) G ( z S x ) ) = ( ( y S C ) G ( z S C ) ) )
1713, 16eqeq12d 2637 . . . . 5 |- ( x = C -> ( ( ( y + z ) S x ) = ( ( y S x ) G ( z S x ) ) <-> ( ( y + z ) S C ) = ( ( y S C ) G ( z S C ) ) ) )
18 oveq1 6657 . . . . . . 7 |- ( y = A -> ( y + z ) = ( A + z ) )
1918oveq1d 6665 . . . . . 6 |- ( y = A -> ( ( y + z ) S C ) = ( ( A + z ) S C ) )
20 oveq1 6657 . . . . . . 7 |- ( y = A -> ( y S C ) = ( A S C ) )
2120oveq1d 6665 . . . . . 6 |- ( y = A -> ( ( y S C ) G ( z S C ) ) = ( ( A S C ) G ( z S C ) ) )
2219, 21eqeq12d 2637 . . . . 5 |- ( y = A -> ( ( ( y + z ) S C ) = ( ( y S C ) G ( z S C ) ) <-> ( ( A + z ) S C ) = ( ( A S C ) G ( z S C ) ) ) )
23 oveq2 6658 . . . . . . 7 |- ( z = B -> ( A + z ) = ( A + B ) )
2423oveq1d 6665 . . . . . 6 |- ( z = B -> ( ( A + z ) S C ) = ( ( A + B ) S C ) )
25 oveq1 6657 . . . . . . 7 |- ( z = B -> ( z S C ) = ( B S C ) )
2625oveq2d 6666 . . . . . 6 |- ( z = B -> ( ( A S C ) G ( z S C ) ) = ( ( A S C ) G ( B S C ) ) )
2724, 26eqeq12d 2637 . . . . 5 |- ( z = B -> ( ( ( A + z ) S C ) = ( ( A S C ) G ( z S C ) ) <-> ( ( A + B ) S C ) = ( ( A S C ) G ( B S C ) ) ) )
2817, 22, 27rspc3v 3325 . . . 4 |- ( ( C e. X /\ A e. CC /\ B e. CC ) -> ( A. x e. X A. y e. CC A. z e. CC ( ( y + z ) S x ) = ( ( y S x ) G ( z S x ) ) -> ( ( A + B ) S C ) = ( ( A S C ) G ( B S C ) ) ) )
2912, 28syl5 34 . . 3 |- ( ( C e. X /\ A e. CC /\ B e. CC ) -> ( W e. CVecOLD -> ( ( A + B ) S C ) = ( ( A S C ) G ( B S C ) ) ) )
30293coml 1272 . 2 |- ( ( A e. CC /\ B e. CC /\ C e. X ) -> ( W e. CVecOLD -> ( ( A + B ) S C ) = ( ( A S C ) G ( B S C ) ) ) )
3130impcom 446 1 |- ( ( W e. CVecOLD /\ ( A e. CC /\ B e. CC /\ C e. X ) ) -> ( ( A + B ) S C ) = ( ( A S C ) G ( B S C ) ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 384   /\ w3a 1037   = wceq 1483   e. wcel 1990   A.wral 2912   X. cxp 5112   ran crn 5115   -->wf 5884   ` cfv 5888  (class class class)co 6650   1stc1st 7166   2ndc2nd 7167   CCcc 9934   1c1 9937   + caddc 9939   x. cmul 9941   AbelOpcablo 27398   CVecOLDcvc 27413
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1722  ax-4 1737  ax-5 1839  ax-6 1888  ax-7 1935  ax-8 1992  ax-9 1999  ax-10 2019  ax-11 2034  ax-12 2047  ax-13 2246  ax-ext 2602  ax-sep 4781  ax-nul 4789  ax-pow 4843  ax-pr 4906  ax-un 6949
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3an 1039  df-tru 1486  df-ex 1705  df-nf 1710  df-sb 1881  df-eu 2474  df-mo 2475  df-clab 2609  df-cleq 2615  df-clel 2618  df-nfc 2753  df-ral 2917  df-rex 2918  df-rab 2921  df-v 3202  df-sbc 3436  df-dif 3577  df-un 3579  df-in 3581  df-ss 3588  df-nul 3916  df-if 4087  df-sn 4178  df-pr 4180  df-op 4184  df-uni 4437  df-br 4654  df-opab 4713  df-mpt 4730  df-id 5024  df-xp 5120  df-rel 5121  df-cnv 5122  df-co 5123  df-dm 5124  df-rn 5125  df-iota 5851  df-fun 5890  df-fn 5891  df-f 5892  df-fv 5896  df-ov 6653  df-1st 7168  df-2nd 7169  df-vc 27414
This theorem is referenced by:  vc2OLD  27423  vc0  27429  vcm  27431  nvdir  27486
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