Theorem wloglei 10560

Description: Form of wlogle 10561 where both sides of the equivalence are proven rather than showing that they are equivalent to each other. (Contributed by Mario Carneiro, 9-Mar-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
wlogle.1	|- ( ( z = x /\ w = y ) -> ( ps <-> ch ) )
wlogle.2	|- ( ( z = y /\ w = x ) -> ( ps <-> th ) )
wlogle.3	|- ( ph -> S C_ RR )
wloglei.4	|- ( ( ph /\ ( x e. S /\ y e. S /\ x <_ y ) ) -> th )
wloglei.5	|- ( ( ph /\ ( x e. S /\ y e. S /\ x <_ y ) ) -> ch )

Assertion

Ref	Expression
wloglei	|- ( ( ph /\ ( x e. S /\ y e. S ) ) -> ch )

Distinct variable groups:   x, w, y, z, ph   w, S, x, y, z   ps, x, y   ch, w, z

Allowed substitution hints:   ps( z, w)   ch( x, y)   th( x, y, z, w)

Proof of Theorem wloglei

Step	Hyp	Ref	Expression
1		wlogle.3	. . . 4 |- ( ph -> S C_ RR )
2	1	adantr 481	. . 3 |- ( ( ph /\ ( x e. S /\ y e. S ) ) -> S C_ RR )
3		simprr 796	. . 3 |- ( ( ph /\ ( x e. S /\ y e. S ) ) -> y e. S )
4	2, 3	sseldd 3604	. 2 |- ( ( ph /\ ( x e. S /\ y e. S ) ) -> y e. RR )
5		simprl 794	. . 3 |- ( ( ph /\ ( x e. S /\ y e. S ) ) -> x e. S )
6	2, 5	sseldd 3604	. 2 |- ( ( ph /\ ( x e. S /\ y e. S ) ) -> x e. RR )
7		vex 3203	. . 3 |- x e. _V
8		vex 3203	. . 3 |- y e. _V
9		eleq1 2689	. . . . . . 7 |- ( z = x -> ( z e. S <-> x e. S ) )
10		eleq1 2689	. . . . . . 7 |- ( w = y -> ( w e. S <-> y e. S ) )
11	9, 10	bi2anan9 917	. . . . . 6 |- ( ( z = x /\ w = y ) -> ( ( z e. S /\ w e. S ) <-> ( x e. S /\ y e. S ) ) )
12	11	anbi2d 740	. . . . 5 |- ( ( z = x /\ w = y ) -> ( ( ph /\ ( z e. S /\ w e. S ) ) <-> ( ph /\ ( x e. S /\ y e. S ) ) ) )
13		breq12 4658	. . . . . 6 |- ( ( w = y /\ z = x ) -> ( w <_ z <-> y <_ x ) )
14	13	ancoms 469	. . . . 5 |- ( ( z = x /\ w = y ) -> ( w <_ z <-> y <_ x ) )
15	12, 14	anbi12d 747	. . . 4 |- ( ( z = x /\ w = y ) -> ( ( ( ph /\ ( z e. S /\ w e. S ) ) /\ w <_ z ) <-> ( ( ph /\ ( x e. S /\ y e. S ) ) /\ y <_ x ) ) )
16		wlogle.1	. . . 4 |- ( ( z = x /\ w = y ) -> ( ps <-> ch ) )
17	15, 16	imbi12d 334	. . 3 |- ( ( z = x /\ w = y ) -> ( ( ( ( ph /\ ( z e. S /\ w e. S ) ) /\ w <_ z ) -> ps ) <-> ( ( ( ph /\ ( x e. S /\ y e. S ) ) /\ y <_ x ) -> ch ) ) )
18		vex 3203	. . . 4 |- z e. _V
19		vex 3203	. . . 4 |- w e. _V
20		ancom 466	. . . . . . . 8 |- ( ( x e. S /\ y e. S ) <-> ( y e. S /\ x e. S ) )
21		eleq1 2689	. . . . . . . . 9 |- ( y = z -> ( y e. S <-> z e. S ) )
22		eleq1 2689	. . . . . . . . 9 |- ( x = w -> ( x e. S <-> w e. S ) )
23	21, 22	bi2anan9 917	. . . . . . . 8 |- ( ( y = z /\ x = w ) -> ( ( y e. S /\ x e. S ) <-> ( z e. S /\ w e. S ) ) )
24	20, 23	syl5bb 272	. . . . . . 7 |- ( ( y = z /\ x = w ) -> ( ( x e. S /\ y e. S ) <-> ( z e. S /\ w e. S ) ) )
25	24	anbi2d 740	. . . . . 6 |- ( ( y = z /\ x = w ) -> ( ( ph /\ ( x e. S /\ y e. S ) ) <-> ( ph /\ ( z e. S /\ w e. S ) ) ) )
26		breq12 4658	. . . . . . 7 |- ( ( x = w /\ y = z ) -> ( x <_ y <-> w <_ z ) )
27	26	ancoms 469	. . . . . 6 |- ( ( y = z /\ x = w ) -> ( x <_ y <-> w <_ z ) )
28	25, 27	anbi12d 747	. . . . 5 |- ( ( y = z /\ x = w ) -> ( ( ( ph /\ ( x e. S /\ y e. S ) ) /\ x <_ y ) <-> ( ( ph /\ ( z e. S /\ w e. S ) ) /\ w <_ z ) ) )
29		equcom 1945	. . . . . . 7 |- ( y = z <-> z = y )
30		equcom 1945	. . . . . . 7 |- ( x = w <-> w = x )
31		wlogle.2	. . . . . . 7 |- ( ( z = y /\ w = x ) -> ( ps <-> th ) )
32	29, 30, 31	syl2anb 496	. . . . . 6 |- ( ( y = z /\ x = w ) -> ( ps <-> th ) )
33	32	bicomd 213	. . . . 5 |- ( ( y = z /\ x = w ) -> ( th <-> ps ) )
34	28, 33	imbi12d 334	. . . 4 |- ( ( y = z /\ x = w ) -> ( ( ( ( ph /\ ( x e. S /\ y e. S ) ) /\ x <_ y ) -> th ) <-> ( ( ( ph /\ ( z e. S /\ w e. S ) ) /\ w <_ z ) -> ps ) ) )
35		df-3an 1039	. . . . . 6 |- ( ( x e. S /\ y e. S /\ x <_ y ) <-> ( ( x e. S /\ y e. S ) /\ x <_ y ) )
36		wloglei.4	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ ( x e. S /\ y e. S /\ x <_ y ) ) -> th )
37	35, 36	sylan2br 493	. . . . 5 |- ( ( ph /\ ( ( x e. S /\ y e. S ) /\ x <_ y ) ) -> th )
38	37	anassrs 680	. . . 4 |- ( ( ( ph /\ ( x e. S /\ y e. S ) ) /\ x <_ y ) -> th )
39	18, 19, 34, 38	vtocl2 3261	. . 3 |- ( ( ( ph /\ ( z e. S /\ w e. S ) ) /\ w <_ z ) -> ps )
40	7, 8, 17, 39	vtocl2 3261	. 2 |- ( ( ( ph /\ ( x e. S /\ y e. S ) ) /\ y <_ x ) -> ch )
41		wloglei.5	. . . 4 |- ( ( ph /\ ( x e. S /\ y e. S /\ x <_ y ) ) -> ch )
42	35, 41	sylan2br 493	. . 3 |- ( ( ph /\ ( ( x e. S /\ y e. S ) /\ x <_ y ) ) -> ch )
43	42	anassrs 680	. 2 |- ( ( ( ph /\ ( x e. S /\ y e. S ) ) /\ x <_ y ) -> ch )
44	4, 6, 40, 43	lecasei 10143	1 |- ( ( ph /\ ( x e. S /\ y e. S ) ) -> ch )

Syntax hints:   -> wi 4   <-> wb 196   /\ wa 384   /\ w3a 1037   e. wcel 1990   C_ wss 3574   class class class wbr 4653   RRcr 9935   <_ cle 10075

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1722  ax-4 1737  ax-5 1839  ax-6 1888  ax-7 1935  ax-8 1992  ax-9 1999  ax-10 2019  ax-11 2034  ax-12 2047  ax-13 2246  ax-ext 2602  ax-sep 4781  ax-nul 4789  ax-pow 4843  ax-pr 4906  ax-un 6949  ax-resscn 9993  ax-pre-lttri 10010

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3an 1039  df-tru 1486  df-ex 1705  df-nf 1710  df-sb 1881  df-eu 2474  df-mo 2475  df-clab 2609  df-cleq 2615  df-clel 2618  df-nfc 2753  df-ne 2795  df-nel 2898  df-ral 2917  df-rex 2918  df-rab 2921  df-v 3202  df-sbc 3436  df-csb 3534  df-dif 3577  df-un 3579  df-in 3581  df-ss 3588  df-nul 3916  df-if 4087  df-pw 4160  df-sn 4178  df-pr 4180  df-op 4184  df-uni 4437  df-br 4654  df-opab 4713  df-mpt 4730  df-id 5024  df-xp 5120  df-rel 5121  df-cnv 5122  df-co 5123  df-dm 5124  df-rn 5125  df-res 5126  df-ima 5127  df-iota 5851  df-fun 5890  df-fn 5891  df-f 5892  df-f1 5893  df-fo 5894  df-f1o 5895  df-fv 5896  df-er 7742  df-en 7956  df-dom 7957  df-sdom 7958  df-pnf 10076  df-mnf 10077  df-xr 10078  df-ltxr 10079  df-le 10080

This theorem is referenced by:  wlogle  10561  resconn  31228