Theorem resconn 31228

Description: A subset of RR is simply connected iff it is connected. (Contributed by Mario Carneiro, 9-Mar-2015.)

Hypothesis

Ref	Expression
resconn.1	|- J = ( ( topGen ` ran (,) ) ↾t A )

Assertion

Ref	Expression
resconn	|- ( A C_ RR -> ( J e. SConn <-> J e. Conn ) )

Proof of Theorem resconn

Dummy variables t s w x y z are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		sconnpconn 31209	. . 3 |- ( J e. SConn -> J e. PConn )
2		pconnconn 31213	. . 3 |- ( J e. PConn -> J e. Conn )
3	1, 2	syl 17	. 2 |- ( J e. SConn -> J e. Conn )
4		eqid 2622	. . . . . . 7 |- ( TopOpen ` ℂfld ) = ( TopOpen ` ℂfld )
5		eqid 2622	. . . . . . 7 |- ( topGen ` ran (,) ) = ( topGen ` ran (,) )
6	4, 5	rerest 22607	. . . . . 6 |- ( A C_ RR -> ( ( TopOpen ` ℂfld ) ↾t A ) = ( ( topGen ` ran (,) ) ↾t A ) )
7		resconn.1	. . . . . 6 |- J = ( ( topGen ` ran (,) ) ↾t A )
8	6, 7	syl6eqr 2674	. . . . 5 |- ( A C_ RR -> ( ( TopOpen ` ℂfld ) ↾t A ) = J )
9	8	adantr 481	. . . 4 |- ( ( A C_ RR /\ J e. Conn ) -> ( ( TopOpen ` ℂfld ) ↾t A ) = J )
10		simpl 473	. . . . . 6 |- ( ( A C_ RR /\ J e. Conn ) -> A C_ RR )
11		ax-resscn 9993	. . . . . 6 |- RR C_ CC
12	10, 11	syl6ss 3615	. . . . 5 |- ( ( A C_ RR /\ J e. Conn ) -> A C_ CC )
13		df-3an 1039	. . . . . 6 |- ( ( x e. A /\ y e. A /\ t e. ( 0 [,] 1 ) ) <-> ( ( x e. A /\ y e. A ) /\ t e. ( 0 [,] 1 ) ) )
14		oveq2 6658	. . . . . . . . . . . 12 |- ( z = x -> ( t x. z ) = ( t x. x ) )
15		oveq2 6658	. . . . . . . . . . . 12 |- ( w = y -> ( ( 1 - t ) x. w ) = ( ( 1 - t ) x. y ) )
16	14, 15	oveqan12d 6669	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( z = x /\ w = y ) -> ( ( t x. z ) + ( ( 1 - t ) x. w ) ) = ( ( t x. x ) + ( ( 1 - t ) x. y ) ) )
17	16	eleq1d 2686	. . . . . . . . . 10 |- ( ( z = x /\ w = y ) -> ( ( ( t x. z ) + ( ( 1 - t ) x. w ) ) e. A <-> ( ( t x. x ) + ( ( 1 - t ) x. y ) ) e. A ) )
18	17	ralbidv 2986	. . . . . . . . 9 |- ( ( z = x /\ w = y ) -> ( A. t e. ( 0 [,] 1 ) ( ( t x. z ) + ( ( 1 - t ) x. w ) ) e. A <-> A. t e. ( 0 [,] 1 ) ( ( t x. x ) + ( ( 1 - t ) x. y ) ) e. A ) )
19		oveq2 6658	. . . . . . . . . . . 12 |- ( z = y -> ( t x. z ) = ( t x. y ) )
20		oveq2 6658	. . . . . . . . . . . 12 |- ( w = x -> ( ( 1 - t ) x. w ) = ( ( 1 - t ) x. x ) )
21	19, 20	oveqan12d 6669	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( z = y /\ w = x ) -> ( ( t x. z ) + ( ( 1 - t ) x. w ) ) = ( ( t x. y ) + ( ( 1 - t ) x. x ) ) )
22	21	eleq1d 2686	. . . . . . . . . 10 |- ( ( z = y /\ w = x ) -> ( ( ( t x. z ) + ( ( 1 - t ) x. w ) ) e. A <-> ( ( t x. y ) + ( ( 1 - t ) x. x ) ) e. A ) )
23	22	ralbidv 2986	. . . . . . . . 9 |- ( ( z = y /\ w = x ) -> ( A. t e. ( 0 [,] 1 ) ( ( t x. z ) + ( ( 1 - t ) x. w ) ) e. A <-> A. t e. ( 0 [,] 1 ) ( ( t x. y ) + ( ( 1 - t ) x. x ) ) e. A ) )
24		unitssre 12319	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( 0 [,] 1 ) C_ RR
25	24, 11	sstri 3612	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( 0 [,] 1 ) C_ CC
26		simpr 477	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( ( A C_ RR /\ J e. Conn ) /\ ( x e. A /\ y e. A /\ x <_ y ) ) /\ s e. ( 0 [,] 1 ) ) -> s e. ( 0 [,] 1 ) )
27	25, 26	sseldi 3601	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ( A C_ RR /\ J e. Conn ) /\ ( x e. A /\ y e. A /\ x <_ y ) ) /\ s e. ( 0 [,] 1 ) ) -> s e. CC )
28	12	adantr 481	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ( A C_ RR /\ J e. Conn ) /\ ( x e. A /\ y e. A /\ x <_ y ) ) -> A C_ CC )
29		simpr2 1068	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ( A C_ RR /\ J e. Conn ) /\ ( x e. A /\ y e. A /\ x <_ y ) ) -> y e. A )
30	28, 29	sseldd 3604	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( A C_ RR /\ J e. Conn ) /\ ( x e. A /\ y e. A /\ x <_ y ) ) -> y e. CC )
31	30	adantr 481	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ( A C_ RR /\ J e. Conn ) /\ ( x e. A /\ y e. A /\ x <_ y ) ) /\ s e. ( 0 [,] 1 ) ) -> y e. CC )
32	27, 31	mulcld 10060	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ( A C_ RR /\ J e. Conn ) /\ ( x e. A /\ y e. A /\ x <_ y ) ) /\ s e. ( 0 [,] 1 ) ) -> ( s x. y ) e. CC )
33		ax-1cn 9994	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- 1 e. CC
34		subcl 10280	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( 1 e. CC /\ s e. CC ) -> ( 1 - s ) e. CC )
35	33, 27, 34	sylancr 695	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ( A C_ RR /\ J e. Conn ) /\ ( x e. A /\ y e. A /\ x <_ y ) ) /\ s e. ( 0 [,] 1 ) ) -> ( 1 - s ) e. CC )
36		simpr1 1067	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ( A C_ RR /\ J e. Conn ) /\ ( x e. A /\ y e. A /\ x <_ y ) ) -> x e. A )
37	28, 36	sseldd 3604	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( A C_ RR /\ J e. Conn ) /\ ( x e. A /\ y e. A /\ x <_ y ) ) -> x e. CC )
38	37	adantr 481	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ( A C_ RR /\ J e. Conn ) /\ ( x e. A /\ y e. A /\ x <_ y ) ) /\ s e. ( 0 [,] 1 ) ) -> x e. CC )
39	35, 38	mulcld 10060	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ( A C_ RR /\ J e. Conn ) /\ ( x e. A /\ y e. A /\ x <_ y ) ) /\ s e. ( 0 [,] 1 ) ) -> ( ( 1 - s ) x. x ) e. CC )
40	32, 39	addcomd 10238	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ( A C_ RR /\ J e. Conn ) /\ ( x e. A /\ y e. A /\ x <_ y ) ) /\ s e. ( 0 [,] 1 ) ) -> ( ( s x. y ) + ( ( 1 - s ) x. x ) ) = ( ( ( 1 - s ) x. x ) + ( s x. y ) ) )
41		nncan 10310	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( 1 e. CC /\ s e. CC ) -> ( 1 - ( 1 - s ) ) = s )
42	33, 27, 41	sylancr 695	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ( A C_ RR /\ J e. Conn ) /\ ( x e. A /\ y e. A /\ x <_ y ) ) /\ s e. ( 0 [,] 1 ) ) -> ( 1 - ( 1 - s ) ) = s )
43	42	oveq1d 6665	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ( A C_ RR /\ J e. Conn ) /\ ( x e. A /\ y e. A /\ x <_ y ) ) /\ s e. ( 0 [,] 1 ) ) -> ( ( 1 - ( 1 - s ) ) x. y ) = ( s x. y ) )
44	43	oveq2d 6666	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ( A C_ RR /\ J e. Conn ) /\ ( x e. A /\ y e. A /\ x <_ y ) ) /\ s e. ( 0 [,] 1 ) ) -> ( ( ( 1 - s ) x. x ) + ( ( 1 - ( 1 - s ) ) x. y ) ) = ( ( ( 1 - s ) x. x ) + ( s x. y ) ) )
45	40, 44	eqtr4d 2659	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( A C_ RR /\ J e. Conn ) /\ ( x e. A /\ y e. A /\ x <_ y ) ) /\ s e. ( 0 [,] 1 ) ) -> ( ( s x. y ) + ( ( 1 - s ) x. x ) ) = ( ( ( 1 - s ) x. x ) + ( ( 1 - ( 1 - s ) ) x. y ) ) )
46		iirev 22728	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( s e. ( 0 [,] 1 ) -> ( 1 - s ) e. ( 0 [,] 1 ) )
47	46	adantl 482	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ( A C_ RR /\ J e. Conn ) /\ ( x e. A /\ y e. A /\ x <_ y ) ) /\ s e. ( 0 [,] 1 ) ) -> ( 1 - s ) e. ( 0 [,] 1 ) )
48	7	eleq1i 2692	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 |- ( J e. Conn <-> ( ( topGen ` ran (,) ) ↾t A ) e. Conn )
49		reconn 22631	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 |- ( A C_ RR -> ( ( ( topGen ` ran (,) ) ↾t A ) e. Conn <-> A. x e. A A. y e. A ( x [,] y ) C_ A ) )
50	48, 49	syl5bb 272	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 |- ( A C_ RR -> ( J e. Conn <-> A. x e. A A. y e. A ( x [,] y ) C_ A ) )
51	50	biimpa 501	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( ( A C_ RR /\ J e. Conn ) -> A. x e. A A. y e. A ( x [,] y ) C_ A )
52	51	r19.21bi 2932	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( ( ( A C_ RR /\ J e. Conn ) /\ x e. A ) -> A. y e. A ( x [,] y ) C_ A )
53	52	r19.21bi 2932	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( ( ( A C_ RR /\ J e. Conn ) /\ x e. A ) /\ y e. A ) -> ( x [,] y ) C_ A )
54	53	anasss 679	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( ( A C_ RR /\ J e. Conn ) /\ ( x e. A /\ y e. A ) ) -> ( x [,] y ) C_ A )
55	54	3adantr3 1222	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ( A C_ RR /\ J e. Conn ) /\ ( x e. A /\ y e. A /\ x <_ y ) ) -> ( x [,] y ) C_ A )
56	55	adantr 481	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( ( A C_ RR /\ J e. Conn ) /\ ( x e. A /\ y e. A /\ x <_ y ) ) /\ t e. ( 0 [,] 1 ) ) -> ( x [,] y ) C_ A )
57		simpr 477	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( ( ( ( A C_ RR /\ J e. Conn ) /\ ( x e. A /\ y e. A /\ x <_ y ) ) /\ t e. ( 0 [,] 1 ) ) -> t e. ( 0 [,] 1 ) )
58	24, 57	sseldi 3601	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( ( ( A C_ RR /\ J e. Conn ) /\ ( x e. A /\ y e. A /\ x <_ y ) ) /\ t e. ( 0 [,] 1 ) ) -> t e. RR )
59		simplll 798	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( ( ( ( A C_ RR /\ J e. Conn ) /\ ( x e. A /\ y e. A /\ x <_ y ) ) /\ t e. ( 0 [,] 1 ) ) -> A C_ RR )
60	36	adantr 481	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( ( ( ( A C_ RR /\ J e. Conn ) /\ ( x e. A /\ y e. A /\ x <_ y ) ) /\ t e. ( 0 [,] 1 ) ) -> x e. A )
61	59, 60	sseldd 3604	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( ( ( A C_ RR /\ J e. Conn ) /\ ( x e. A /\ y e. A /\ x <_ y ) ) /\ t e. ( 0 [,] 1 ) ) -> x e. RR )
62	58, 61	remulcld 10070	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( ( ( A C_ RR /\ J e. Conn ) /\ ( x e. A /\ y e. A /\ x <_ y ) ) /\ t e. ( 0 [,] 1 ) ) -> ( t x. x ) e. RR )
63		1re 10039	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- 1 e. RR
64		resubcl 10345	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( ( 1 e. RR /\ t e. RR ) -> ( 1 - t ) e. RR )
65	63, 58, 64	sylancr 695	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( ( ( A C_ RR /\ J e. Conn ) /\ ( x e. A /\ y e. A /\ x <_ y ) ) /\ t e. ( 0 [,] 1 ) ) -> ( 1 - t ) e. RR )
66	29	adantr 481	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( ( ( ( A C_ RR /\ J e. Conn ) /\ ( x e. A /\ y e. A /\ x <_ y ) ) /\ t e. ( 0 [,] 1 ) ) -> y e. A )
67	59, 66	sseldd 3604	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( ( ( A C_ RR /\ J e. Conn ) /\ ( x e. A /\ y e. A /\ x <_ y ) ) /\ t e. ( 0 [,] 1 ) ) -> y e. RR )
68	65, 67	remulcld 10070	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( ( ( A C_ RR /\ J e. Conn ) /\ ( x e. A /\ y e. A /\ x <_ y ) ) /\ t e. ( 0 [,] 1 ) ) -> ( ( 1 - t ) x. y ) e. RR )
69	62, 68	readdcld 10069	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ( ( A C_ RR /\ J e. Conn ) /\ ( x e. A /\ y e. A /\ x <_ y ) ) /\ t e. ( 0 [,] 1 ) ) -> ( ( t x. x ) + ( ( 1 - t ) x. y ) ) e. RR )
70	58	recnd 10068	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( ( ( ( A C_ RR /\ J e. Conn ) /\ ( x e. A /\ y e. A /\ x <_ y ) ) /\ t e. ( 0 [,] 1 ) ) -> t e. CC )
71		pncan3 10289	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( ( t e. CC /\ 1 e. CC ) -> ( t + ( 1 - t ) ) = 1 )
72	70, 33, 71	sylancl 694	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( ( ( ( A C_ RR /\ J e. Conn ) /\ ( x e. A /\ y e. A /\ x <_ y ) ) /\ t e. ( 0 [,] 1 ) ) -> ( t + ( 1 - t ) ) = 1 )
73	72	oveq1d 6665	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( ( ( A C_ RR /\ J e. Conn ) /\ ( x e. A /\ y e. A /\ x <_ y ) ) /\ t e. ( 0 [,] 1 ) ) -> ( ( t + ( 1 - t ) ) x. x ) = ( 1 x. x ) )
74	65	recnd 10068	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( ( ( ( A C_ RR /\ J e. Conn ) /\ ( x e. A /\ y e. A /\ x <_ y ) ) /\ t e. ( 0 [,] 1 ) ) -> ( 1 - t ) e. CC )
75	37	adantr 481	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( ( ( ( A C_ RR /\ J e. Conn ) /\ ( x e. A /\ y e. A /\ x <_ y ) ) /\ t e. ( 0 [,] 1 ) ) -> x e. CC )
76	70, 74, 75	adddird 10065	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( ( ( A C_ RR /\ J e. Conn ) /\ ( x e. A /\ y e. A /\ x <_ y ) ) /\ t e. ( 0 [,] 1 ) ) -> ( ( t + ( 1 - t ) ) x. x ) = ( ( t x. x ) + ( ( 1 - t ) x. x ) ) )
77	75	mulid2d 10058	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( ( ( A C_ RR /\ J e. Conn ) /\ ( x e. A /\ y e. A /\ x <_ y ) ) /\ t e. ( 0 [,] 1 ) ) -> ( 1 x. x ) = x )
78	73, 76, 77	3eqtr3d 2664	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( ( ( A C_ RR /\ J e. Conn ) /\ ( x e. A /\ y e. A /\ x <_ y ) ) /\ t e. ( 0 [,] 1 ) ) -> ( ( t x. x ) + ( ( 1 - t ) x. x ) ) = x )
79	65, 61	remulcld 10070	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( ( ( A C_ RR /\ J e. Conn ) /\ ( x e. A /\ y e. A /\ x <_ y ) ) /\ t e. ( 0 [,] 1 ) ) -> ( ( 1 - t ) x. x ) e. RR )
80		0re 10040	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 |- 0 e. RR
81	80, 63	elicc2i 12239	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 |- ( t e. ( 0 [,] 1 ) <-> ( t e. RR /\ 0 <_ t /\ t <_ 1 ) )
82	57, 81	sylib 208	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 |- ( ( ( ( A C_ RR /\ J e. Conn ) /\ ( x e. A /\ y e. A /\ x <_ y ) ) /\ t e. ( 0 [,] 1 ) ) -> ( t e. RR /\ 0 <_ t /\ t <_ 1 ) )
83	82	simp3d 1075	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( ( ( ( A C_ RR /\ J e. Conn ) /\ ( x e. A /\ y e. A /\ x <_ y ) ) /\ t e. ( 0 [,] 1 ) ) -> t <_ 1 )
84		subge0 10541	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 |- ( ( 1 e. RR /\ t e. RR ) -> ( 0 <_ ( 1 - t ) <-> t <_ 1 ) )
85	63, 58, 84	sylancr 695	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( ( ( ( A C_ RR /\ J e. Conn ) /\ ( x e. A /\ y e. A /\ x <_ y ) ) /\ t e. ( 0 [,] 1 ) ) -> ( 0 <_ ( 1 - t ) <-> t <_ 1 ) )
86	83, 85	mpbird 247	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( ( ( ( A C_ RR /\ J e. Conn ) /\ ( x e. A /\ y e. A /\ x <_ y ) ) /\ t e. ( 0 [,] 1 ) ) -> 0 <_ ( 1 - t ) )
87		simplr3 1105	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( ( ( ( A C_ RR /\ J e. Conn ) /\ ( x e. A /\ y e. A /\ x <_ y ) ) /\ t e. ( 0 [,] 1 ) ) -> x <_ y )
88	61, 67, 65, 86, 87	lemul2ad 10964	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( ( ( A C_ RR /\ J e. Conn ) /\ ( x e. A /\ y e. A /\ x <_ y ) ) /\ t e. ( 0 [,] 1 ) ) -> ( ( 1 - t ) x. x ) <_ ( ( 1 - t ) x. y ) )
89	79, 68, 62, 88	leadd2dd 10642	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( ( ( A C_ RR /\ J e. Conn ) /\ ( x e. A /\ y e. A /\ x <_ y ) ) /\ t e. ( 0 [,] 1 ) ) -> ( ( t x. x ) + ( ( 1 - t ) x. x ) ) <_ ( ( t x. x ) + ( ( 1 - t ) x. y ) ) )
90	78, 89	eqbrtrrd 4677	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ( ( A C_ RR /\ J e. Conn ) /\ ( x e. A /\ y e. A /\ x <_ y ) ) /\ t e. ( 0 [,] 1 ) ) -> x <_ ( ( t x. x ) + ( ( 1 - t ) x. y ) ) )
91	58, 67	remulcld 10070	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( ( ( A C_ RR /\ J e. Conn ) /\ ( x e. A /\ y e. A /\ x <_ y ) ) /\ t e. ( 0 [,] 1 ) ) -> ( t x. y ) e. RR )
92	82	simp2d 1074	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( ( ( ( A C_ RR /\ J e. Conn ) /\ ( x e. A /\ y e. A /\ x <_ y ) ) /\ t e. ( 0 [,] 1 ) ) -> 0 <_ t )
93	61, 67, 58, 92, 87	lemul2ad 10964	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( ( ( A C_ RR /\ J e. Conn ) /\ ( x e. A /\ y e. A /\ x <_ y ) ) /\ t e. ( 0 [,] 1 ) ) -> ( t x. x ) <_ ( t x. y ) )
94	62, 91, 68, 93	leadd1dd 10641	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( ( ( A C_ RR /\ J e. Conn ) /\ ( x e. A /\ y e. A /\ x <_ y ) ) /\ t e. ( 0 [,] 1 ) ) -> ( ( t x. x ) + ( ( 1 - t ) x. y ) ) <_ ( ( t x. y ) + ( ( 1 - t ) x. y ) ) )
95	72	oveq1d 6665	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( ( ( A C_ RR /\ J e. Conn ) /\ ( x e. A /\ y e. A /\ x <_ y ) ) /\ t e. ( 0 [,] 1 ) ) -> ( ( t + ( 1 - t ) ) x. y ) = ( 1 x. y ) )
96	30	adantr 481	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( ( ( ( A C_ RR /\ J e. Conn ) /\ ( x e. A /\ y e. A /\ x <_ y ) ) /\ t e. ( 0 [,] 1 ) ) -> y e. CC )
97	70, 74, 96	adddird 10065	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( ( ( A C_ RR /\ J e. Conn ) /\ ( x e. A /\ y e. A /\ x <_ y ) ) /\ t e. ( 0 [,] 1 ) ) -> ( ( t + ( 1 - t ) ) x. y ) = ( ( t x. y ) + ( ( 1 - t ) x. y ) ) )
98	96	mulid2d 10058	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( ( ( A C_ RR /\ J e. Conn ) /\ ( x e. A /\ y e. A /\ x <_ y ) ) /\ t e. ( 0 [,] 1 ) ) -> ( 1 x. y ) = y )
99	95, 97, 98	3eqtr3d 2664	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( ( ( A C_ RR /\ J e. Conn ) /\ ( x e. A /\ y e. A /\ x <_ y ) ) /\ t e. ( 0 [,] 1 ) ) -> ( ( t x. y ) + ( ( 1 - t ) x. y ) ) = y )
100	94, 99	breqtrd 4679	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ( ( A C_ RR /\ J e. Conn ) /\ ( x e. A /\ y e. A /\ x <_ y ) ) /\ t e. ( 0 [,] 1 ) ) -> ( ( t x. x ) + ( ( 1 - t ) x. y ) ) <_ y )
101		elicc2 12238	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( x e. RR /\ y e. RR ) -> ( ( ( t x. x ) + ( ( 1 - t ) x. y ) ) e. ( x [,] y ) <-> ( ( ( t x. x ) + ( ( 1 - t ) x. y ) ) e. RR /\ x <_ ( ( t x. x ) + ( ( 1 - t ) x. y ) ) /\ ( ( t x. x ) + ( ( 1 - t ) x. y ) ) <_ y ) ) )
102	61, 67, 101	syl2anc 693	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ( ( A C_ RR /\ J e. Conn ) /\ ( x e. A /\ y e. A /\ x <_ y ) ) /\ t e. ( 0 [,] 1 ) ) -> ( ( ( t x. x ) + ( ( 1 - t ) x. y ) ) e. ( x [,] y ) <-> ( ( ( t x. x ) + ( ( 1 - t ) x. y ) ) e. RR /\ x <_ ( ( t x. x ) + ( ( 1 - t ) x. y ) ) /\ ( ( t x. x ) + ( ( 1 - t ) x. y ) ) <_ y ) ) )
103	69, 90, 100, 102	mpbir3and 1245	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( ( A C_ RR /\ J e. Conn ) /\ ( x e. A /\ y e. A /\ x <_ y ) ) /\ t e. ( 0 [,] 1 ) ) -> ( ( t x. x ) + ( ( 1 - t ) x. y ) ) e. ( x [,] y ) )
104	56, 103	sseldd 3604	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ( A C_ RR /\ J e. Conn ) /\ ( x e. A /\ y e. A /\ x <_ y ) ) /\ t e. ( 0 [,] 1 ) ) -> ( ( t x. x ) + ( ( 1 - t ) x. y ) ) e. A )
105	104	ralrimiva 2966	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( A C_ RR /\ J e. Conn ) /\ ( x e. A /\ y e. A /\ x <_ y ) ) -> A. t e. ( 0 [,] 1 ) ( ( t x. x ) + ( ( 1 - t ) x. y ) ) e. A )
106	105	adantr 481	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ( A C_ RR /\ J e. Conn ) /\ ( x e. A /\ y e. A /\ x <_ y ) ) /\ s e. ( 0 [,] 1 ) ) -> A. t e. ( 0 [,] 1 ) ( ( t x. x ) + ( ( 1 - t ) x. y ) ) e. A )
107		oveq1 6657	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( t = ( 1 - s ) -> ( t x. x ) = ( ( 1 - s ) x. x ) )
108		oveq2 6658	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( t = ( 1 - s ) -> ( 1 - t ) = ( 1 - ( 1 - s ) ) )
109	108	oveq1d 6665	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( t = ( 1 - s ) -> ( ( 1 - t ) x. y ) = ( ( 1 - ( 1 - s ) ) x. y ) )
110	107, 109	oveq12d 6668	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( t = ( 1 - s ) -> ( ( t x. x ) + ( ( 1 - t ) x. y ) ) = ( ( ( 1 - s ) x. x ) + ( ( 1 - ( 1 - s ) ) x. y ) ) )
111	110	eleq1d 2686	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( t = ( 1 - s ) -> ( ( ( t x. x ) + ( ( 1 - t ) x. y ) ) e. A <-> ( ( ( 1 - s ) x. x ) + ( ( 1 - ( 1 - s ) ) x. y ) ) e. A ) )
112	111	rspcv 3305	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( 1 - s ) e. ( 0 [,] 1 ) -> ( A. t e. ( 0 [,] 1 ) ( ( t x. x ) + ( ( 1 - t ) x. y ) ) e. A -> ( ( ( 1 - s ) x. x ) + ( ( 1 - ( 1 - s ) ) x. y ) ) e. A ) )
113	47, 106, 112	sylc 65	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( A C_ RR /\ J e. Conn ) /\ ( x e. A /\ y e. A /\ x <_ y ) ) /\ s e. ( 0 [,] 1 ) ) -> ( ( ( 1 - s ) x. x ) + ( ( 1 - ( 1 - s ) ) x. y ) ) e. A )
114	45, 113	eqeltrd 2701	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( A C_ RR /\ J e. Conn ) /\ ( x e. A /\ y e. A /\ x <_ y ) ) /\ s e. ( 0 [,] 1 ) ) -> ( ( s x. y ) + ( ( 1 - s ) x. x ) ) e. A )
115	114	ralrimiva 2966	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( A C_ RR /\ J e. Conn ) /\ ( x e. A /\ y e. A /\ x <_ y ) ) -> A. s e. ( 0 [,] 1 ) ( ( s x. y ) + ( ( 1 - s ) x. x ) ) e. A )
116		oveq1 6657	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( s = t -> ( s x. y ) = ( t x. y ) )
117		oveq2 6658	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( s = t -> ( 1 - s ) = ( 1 - t ) )
118	117	oveq1d 6665	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( s = t -> ( ( 1 - s ) x. x ) = ( ( 1 - t ) x. x ) )
119	116, 118	oveq12d 6668	. . . . . . . . . . . 12 |- ( s = t -> ( ( s x. y ) + ( ( 1 - s ) x. x ) ) = ( ( t x. y ) + ( ( 1 - t ) x. x ) ) )
120	119	eleq1d 2686	. . . . . . . . . . 11 |- ( s = t -> ( ( ( s x. y ) + ( ( 1 - s ) x. x ) ) e. A <-> ( ( t x. y ) + ( ( 1 - t ) x. x ) ) e. A ) )
121	120	cbvralv 3171	. . . . . . . . . 10 |- ( A. s e. ( 0 [,] 1 ) ( ( s x. y ) + ( ( 1 - s ) x. x ) ) e. A <-> A. t e. ( 0 [,] 1 ) ( ( t x. y ) + ( ( 1 - t ) x. x ) ) e. A )
122	115, 121	sylib 208	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( A C_ RR /\ J e. Conn ) /\ ( x e. A /\ y e. A /\ x <_ y ) ) -> A. t e. ( 0 [,] 1 ) ( ( t x. y ) + ( ( 1 - t ) x. x ) ) e. A )
123	18, 23, 10, 122, 105	wloglei 10560	. . . . . . . 8 |- ( ( ( A C_ RR /\ J e. Conn ) /\ ( x e. A /\ y e. A ) ) -> A. t e. ( 0 [,] 1 ) ( ( t x. x ) + ( ( 1 - t ) x. y ) ) e. A )
124	123	r19.21bi 2932	. . . . . . 7 |- ( ( ( ( A C_ RR /\ J e. Conn ) /\ ( x e. A /\ y e. A ) ) /\ t e. ( 0 [,] 1 ) ) -> ( ( t x. x ) + ( ( 1 - t ) x. y ) ) e. A )
125	124	anasss 679	. . . . . 6 |- ( ( ( A C_ RR /\ J e. Conn ) /\ ( ( x e. A /\ y e. A ) /\ t e. ( 0 [,] 1 ) ) ) -> ( ( t x. x ) + ( ( 1 - t ) x. y ) ) e. A )
126	13, 125	sylan2b 492	. . . . 5 |- ( ( ( A C_ RR /\ J e. Conn ) /\ ( x e. A /\ y e. A /\ t e. ( 0 [,] 1 ) ) ) -> ( ( t x. x ) + ( ( 1 - t ) x. y ) ) e. A )
127		eqid 2622	. . . . 5 |- ( ( TopOpen ` ℂfld ) ↾t A ) = ( ( TopOpen ` ℂfld ) ↾t A )
128	12, 126, 4, 127	cvxsconn 31225	. . . 4 |- ( ( A C_ RR /\ J e. Conn ) -> ( ( TopOpen ` ℂfld ) ↾t A ) e. SConn )
129	9, 128	eqeltrrd 2702	. . 3 |- ( ( A C_ RR /\ J e. Conn ) -> J e. SConn )
130	129	ex 450	. 2 |- ( A C_ RR -> ( J e. Conn -> J e. SConn ) )
131	3, 130	impbid2 216	1 |- ( A C_ RR -> ( J e. SConn <-> J e. Conn ) )

Syntax hints:   -> wi 4   <-> wb 196   /\ wa 384   /\ w3a 1037   = wceq 1483   e. wcel 1990   A.wral 2912   C_ wss 3574   class class class wbr 4653   ran crn 5115   ` cfv 5888  (class class class)co 6650   CCcc 9934   RRcr 9935   0cc0 9936   1c1 9937   + caddc 9939   x. cmul 9941   <_ cle 10075   - cmin 10266   (,)cioo 12175   [,]cicc 12178   ↾_t crest 16081   TopOpenctopn 16082   topGenctg 16098  ℂ_fldccnfld 19746  Conncconn 21214  PConncpconn 31201  SConncsconn 31202

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1722  ax-4 1737  ax-5 1839  ax-6 1888  ax-7 1935  ax-8 1992  ax-9 1999  ax-10 2019  ax-11 2034  ax-12 2047  ax-13 2246  ax-ext 2602  ax-rep 4771  ax-sep 4781  ax-nul 4789  ax-pow 4843  ax-pr 4906  ax-un 6949  ax-inf2 8538  ax-cnex 9992  ax-resscn 9993  ax-1cn 9994  ax-icn 9995  ax-addcl 9996  ax-addrcl 9997  ax-mulcl 9998  ax-mulrcl 9999  ax-mulcom 10000  ax-addass 10001  ax-mulass 10002  ax-distr 10003  ax-i2m1 10004  ax-1ne0 10005  ax-1rid 10006  ax-rnegex 10007  ax-rrecex 10008  ax-cnre 10009  ax-pre-lttri 10010  ax-pre-lttrn 10011  ax-pre-ltadd 10012  ax-pre-mulgt0 10013  ax-pre-sup 10014  ax-addf 10015  ax-mulf 10016

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1038  df-3an 1039  df-tru 1486  df-ex 1705  df-nf 1710  df-sb 1881  df-eu 2474  df-mo 2475  df-clab 2609  df-cleq 2615  df-clel 2618  df-nfc 2753  df-ne 2795  df-nel 2898  df-ral 2917  df-rex 2918  df-reu 2919  df-rmo 2920  df-rab 2921  df-v 3202  df-sbc 3436  df-csb 3534  df-dif 3577  df-un 3579  df-in 3581  df-ss 3588  df-pss 3590  df-nul 3916  df-if 4087  df-pw 4160  df-sn 4178  df-pr 4180  df-tp 4182  df-op 4184  df-uni 4437  df-int 4476  df-iun 4522  df-iin 4523  df-br 4654  df-opab 4713  df-mpt 4730  df-tr 4753  df-id 5024  df-eprel 5029  df-po 5035  df-so 5036  df-fr 5073  df-se 5074  df-we 5075  df-xp 5120  df-rel 5121  df-cnv 5122  df-co 5123  df-dm 5124  df-rn 5125  df-res 5126  df-ima 5127  df-pred 5680  df-ord 5726  df-on 5727  df-lim 5728  df-suc 5729  df-iota 5851  df-fun 5890  df-fn 5891  df-f 5892  df-f1 5893  df-fo 5894  df-f1o 5895  df-fv 5896  df-isom 5897  df-riota 6611  df-ov 6653  df-oprab 6654  df-mpt2 6655  df-of 6897  df-om 7066  df-1st 7168  df-2nd 7169  df-supp 7296  df-wrecs 7407  df-recs 7468  df-rdg 7506  df-1o 7560  df-2o 7561  df-oadd 7564  df-er 7742  df-map 7859  df-ixp 7909  df-en 7956  df-dom 7957  df-sdom 7958  df-fin 7959  df-fsupp 8276  df-fi 8317  df-sup 8348  df-inf 8349  df-oi 8415  df-card 8765  df-cda 8990  df-pnf 10076  df-mnf 10077  df-xr 10078  df-ltxr 10079  df-le 10080  df-sub 10268  df-neg 10269  df-div 10685  df-nn 11021  df-2 11079  df-3 11080  df-4 11081  df-5 11082  df-6 11083  df-7 11084  df-8 11085  df-9 11086  df-n0 11293  df-z 11378  df-dec 11494  df-uz 11688  df-q 11789  df-rp 11833  df-xneg 11946  df-xadd 11947  df-xmul 11948  df-ioo 12179  df-ico 12181  df-icc 12182  df-fz 12327  df-fzo 12466  df-seq 12802  df-exp 12861  df-hash 13118  df-cj 13839  df-re 13840  df-im 13841  df-sqrt 13975  df-abs 13976  df-struct 15859  df-ndx 15860  df-slot 15861  df-base 15863  df-sets 15864  df-ress 15865  df-plusg 15954  df-mulr 15955  df-starv 15956  df-sca 15957  df-vsca 15958  df-ip 15959  df-tset 15960  df-ple 15961  df-ds 15964  df-unif 15965  df-hom 15966  df-cco 15967  df-rest 16083  df-topn 16084  df-0g 16102  df-gsum 16103  df-topgen 16104  df-pt 16105  df-prds 16108  df-xrs 16162  df-qtop 16167  df-imas 16168  df-xps 16170  df-mre 16246  df-mrc 16247  df-acs 16249  df-mgm 17242  df-sgrp 17284  df-mnd 17295  df-submnd 17336  df-mulg 17541  df-cntz 17750  df-cmn 18195  df-psmet 19738  df-xmet 19739  df-met 19740  df-bl 19741  df-mopn 19742  df-cnfld 19747  df-top 20699  df-topon 20716  df-topsp 20737  df-bases 20750  df-cld 20823  df-cn 21031  df-cnp 21032  df-conn 21215  df-tx 21365  df-hmeo 21558  df-xms 22125  df-ms 22126  df-tms 22127  df-ii 22680  df-htpy 22769  df-phtpy 22770  df-phtpc 22791  df-pconn 31203  df-sconn 31204

This theorem is referenced by:  ioosconn  31229  iccsconn  31230  iccllysconn  31232