Theorem lecasei 10143

Description: Ordering elimination by cases. (Contributed by NM, 6-Jul-2007.)

Hypotheses

Ref	Expression
lecase.1	|- ( ph -> A e. RR )
lecase.2	|- ( ph -> B e. RR )
lecase.3	|- ( ( ph /\ A <_ B ) -> ps )
lecase.4	|- ( ( ph /\ B <_ A ) -> ps )

Assertion

Ref	Expression
lecasei	|- ( ph -> ps )

Proof of Theorem lecasei

Step	Hyp	Ref	Expression
1		lecase.3	. 2 |- ( ( ph /\ A <_ B ) -> ps )
2		lecase.4	. 2 |- ( ( ph /\ B <_ A ) -> ps )
3		lecase.1	. . 3 |- ( ph -> A e. RR )
4		lecase.2	. . 3 |- ( ph -> B e. RR )
5		letric 10137	. . 3 |- ( ( A e. RR /\ B e. RR ) -> ( A <_ B \/ B <_ A ) )
6	3, 4, 5	syl2anc 693	. 2 |- ( ph -> ( A <_ B \/ B <_ A ) )
7	1, 2, 6	mpjaodan 827	1 |- ( ph -> ps )

Syntax hints:   -> wi 4   \/ wo 383   /\ wa 384   e. wcel 1990   class class class wbr 4653   RRcr 9935   <_ cle 10075

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1722  ax-4 1737  ax-5 1839  ax-6 1888  ax-7 1935  ax-8 1992  ax-9 1999  ax-10 2019  ax-11 2034  ax-12 2047  ax-13 2246  ax-ext 2602  ax-sep 4781  ax-nul 4789  ax-pow 4843  ax-pr 4906  ax-un 6949  ax-resscn 9993  ax-pre-lttri 10010

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3an 1039  df-tru 1486  df-ex 1705  df-nf 1710  df-sb 1881  df-eu 2474  df-mo 2475  df-clab 2609  df-cleq 2615  df-clel 2618  df-nfc 2753  df-ne 2795  df-nel 2898  df-ral 2917  df-rex 2918  df-rab 2921  df-v 3202  df-sbc 3436  df-csb 3534  df-dif 3577  df-un 3579  df-in 3581  df-ss 3588  df-nul 3916  df-if 4087  df-pw 4160  df-sn 4178  df-pr 4180  df-op 4184  df-uni 4437  df-br 4654  df-opab 4713  df-mpt 4730  df-id 5024  df-xp 5120  df-rel 5121  df-cnv 5122  df-co 5123  df-dm 5124  df-rn 5125  df-res 5126  df-ima 5127  df-iota 5851  df-fun 5890  df-fn 5891  df-f 5892  df-f1 5893  df-fo 5894  df-f1o 5895  df-fv 5896  df-er 7742  df-en 7956  df-dom 7957  df-sdom 7958  df-pnf 10076  df-mnf 10077  df-xr 10078  df-ltxr 10079  df-le 10080

This theorem is referenced by:  wloglei  10560  nn2ge  11045  max0sub  12027  leabs  14039  max0add  14050  limsupgre  14212  ntrivcvgmul  14634  1arithlem4  15630  mndodcong  17961  metustto  22358  reconn  22631  dyaddisj  23364  volcn  23374  ditgcl  23622  ditgswap  23623  ditgsplit  23625  dvfsumlem3  23791  ftc2ditg  23809  coseq0negpitopi  24255  asinlem3  24598  atanlogaddlem  24640  atanlogadd  24641  ppiub  24929  dchrisum0  25209  pntrmax  25253  padicabv  25319  nacsfix  37275  acongrep  37547  hbt  37700