Theorem axcc4 9261

Description: A version of axcc3 9260 that uses wffs instead of classes. (Contributed by Mario Carneiro, 7-Apr-2013.)

Hypotheses

Ref	Expression
axcc4.1	⊢ 𝐴 ∈ V
axcc4.2	⊢ 𝑁 ≈ ω
axcc4.3	⊢ (𝑥 = (𝑓‘𝑛) → (𝜑 ↔ 𝜓))

Assertion

Ref	Expression
axcc4	⊢ (∀𝑛 ∈ 𝑁 ∃𝑥 ∈ 𝐴 𝜑 → ∃𝑓(𝑓:𝑁⟶𝐴 ∧ ∀𝑛 ∈ 𝑁 𝜓))

Distinct variable groups:   𝐴,𝑓,𝑛,𝑥   𝑓,𝑁,𝑛   𝜑,𝑓   𝜓,𝑥

Allowed substitution hints:   𝜑(𝑥,𝑛)   𝜓(𝑓,𝑛)   𝑁(𝑥)

Proof of Theorem axcc4

Step	Hyp	Ref	Expression
1		axcc4.1	. . . 4 ⊢ 𝐴 ∈ V
2	1	rabex 4813	. . 3 ⊢ {𝑥 ∈ 𝐴 ∣ 𝜑} ∈ V
3		axcc4.2	. . 3 ⊢ 𝑁 ≈ ω
4	2, 3	axcc3 9260	. 2 ⊢ ∃𝑓(𝑓 Fn 𝑁 ∧ ∀𝑛 ∈ 𝑁 ({𝑥 ∈ 𝐴 ∣ 𝜑} ≠ ∅ → (𝑓‘𝑛) ∈ {𝑥 ∈ 𝐴 ∣ 𝜑}))
5		rabn0 3958	. . . . . . . . . 10 ⊢ ({𝑥 ∈ 𝐴 ∣ 𝜑} ≠ ∅ ↔ ∃𝑥 ∈ 𝐴 𝜑)
6		pm2.27 42	. . . . . . . . . 10 ⊢ ({𝑥 ∈ 𝐴 ∣ 𝜑} ≠ ∅ → (({𝑥 ∈ 𝐴 ∣ 𝜑} ≠ ∅ → (𝑓‘𝑛) ∈ {𝑥 ∈ 𝐴 ∣ 𝜑}) → (𝑓‘𝑛) ∈ {𝑥 ∈ 𝐴 ∣ 𝜑}))
7	5, 6	sylbir 225	. . . . . . . . 9 ⊢ (∃𝑥 ∈ 𝐴 𝜑 → (({𝑥 ∈ 𝐴 ∣ 𝜑} ≠ ∅ → (𝑓‘𝑛) ∈ {𝑥 ∈ 𝐴 ∣ 𝜑}) → (𝑓‘𝑛) ∈ {𝑥 ∈ 𝐴 ∣ 𝜑}))
8		axcc4.3	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑥 = (𝑓‘𝑛) → (𝜑 ↔ 𝜓))
9	8	elrab 3363	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑓‘𝑛) ∈ {𝑥 ∈ 𝐴 ∣ 𝜑} ↔ ((𝑓‘𝑛) ∈ 𝐴 ∧ 𝜓))
10	7, 9	syl6ib 241	. . . . . . . 8 ⊢ (∃𝑥 ∈ 𝐴 𝜑 → (({𝑥 ∈ 𝐴 ∣ 𝜑} ≠ ∅ → (𝑓‘𝑛) ∈ {𝑥 ∈ 𝐴 ∣ 𝜑}) → ((𝑓‘𝑛) ∈ 𝐴 ∧ 𝜓)))
11	10	ral2imi 2947	. . . . . . 7 ⊢ (∀𝑛 ∈ 𝑁 ∃𝑥 ∈ 𝐴 𝜑 → (∀𝑛 ∈ 𝑁 ({𝑥 ∈ 𝐴 ∣ 𝜑} ≠ ∅ → (𝑓‘𝑛) ∈ {𝑥 ∈ 𝐴 ∣ 𝜑}) → ∀𝑛 ∈ 𝑁 ((𝑓‘𝑛) ∈ 𝐴 ∧ 𝜓)))
12		simpl 473	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝑓‘𝑛) ∈ 𝐴 ∧ 𝜓) → (𝑓‘𝑛) ∈ 𝐴)
13	12	ralimi 2952	. . . . . . 7 ⊢ (∀𝑛 ∈ 𝑁 ((𝑓‘𝑛) ∈ 𝐴 ∧ 𝜓) → ∀𝑛 ∈ 𝑁 (𝑓‘𝑛) ∈ 𝐴)
14	11, 13	syl6 35	. . . . . 6 ⊢ (∀𝑛 ∈ 𝑁 ∃𝑥 ∈ 𝐴 𝜑 → (∀𝑛 ∈ 𝑁 ({𝑥 ∈ 𝐴 ∣ 𝜑} ≠ ∅ → (𝑓‘𝑛) ∈ {𝑥 ∈ 𝐴 ∣ 𝜑}) → ∀𝑛 ∈ 𝑁 (𝑓‘𝑛) ∈ 𝐴))
15	14	anim2d 589	. . . . 5 ⊢ (∀𝑛 ∈ 𝑁 ∃𝑥 ∈ 𝐴 𝜑 → ((𝑓 Fn 𝑁 ∧ ∀𝑛 ∈ 𝑁 ({𝑥 ∈ 𝐴 ∣ 𝜑} ≠ ∅ → (𝑓‘𝑛) ∈ {𝑥 ∈ 𝐴 ∣ 𝜑})) → (𝑓 Fn 𝑁 ∧ ∀𝑛 ∈ 𝑁 (𝑓‘𝑛) ∈ 𝐴)))
16		ffnfv 6388	. . . . 5 ⊢ (𝑓:𝑁⟶𝐴 ↔ (𝑓 Fn 𝑁 ∧ ∀𝑛 ∈ 𝑁 (𝑓‘𝑛) ∈ 𝐴))
17	15, 16	syl6ibr 242	. . . 4 ⊢ (∀𝑛 ∈ 𝑁 ∃𝑥 ∈ 𝐴 𝜑 → ((𝑓 Fn 𝑁 ∧ ∀𝑛 ∈ 𝑁 ({𝑥 ∈ 𝐴 ∣ 𝜑} ≠ ∅ → (𝑓‘𝑛) ∈ {𝑥 ∈ 𝐴 ∣ 𝜑})) → 𝑓:𝑁⟶𝐴))
18		simpr 477	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑓‘𝑛) ∈ 𝐴 ∧ 𝜓) → 𝜓)
19	18	ralimi 2952	. . . . . 6 ⊢ (∀𝑛 ∈ 𝑁 ((𝑓‘𝑛) ∈ 𝐴 ∧ 𝜓) → ∀𝑛 ∈ 𝑁 𝜓)
20	11, 19	syl6 35	. . . . 5 ⊢ (∀𝑛 ∈ 𝑁 ∃𝑥 ∈ 𝐴 𝜑 → (∀𝑛 ∈ 𝑁 ({𝑥 ∈ 𝐴 ∣ 𝜑} ≠ ∅ → (𝑓‘𝑛) ∈ {𝑥 ∈ 𝐴 ∣ 𝜑}) → ∀𝑛 ∈ 𝑁 𝜓))
21	20	adantld 483	. . . 4 ⊢ (∀𝑛 ∈ 𝑁 ∃𝑥 ∈ 𝐴 𝜑 → ((𝑓 Fn 𝑁 ∧ ∀𝑛 ∈ 𝑁 ({𝑥 ∈ 𝐴 ∣ 𝜑} ≠ ∅ → (𝑓‘𝑛) ∈ {𝑥 ∈ 𝐴 ∣ 𝜑})) → ∀𝑛 ∈ 𝑁 𝜓))
22	17, 21	jcad 555	. . 3 ⊢ (∀𝑛 ∈ 𝑁 ∃𝑥 ∈ 𝐴 𝜑 → ((𝑓 Fn 𝑁 ∧ ∀𝑛 ∈ 𝑁 ({𝑥 ∈ 𝐴 ∣ 𝜑} ≠ ∅ → (𝑓‘𝑛) ∈ {𝑥 ∈ 𝐴 ∣ 𝜑})) → (𝑓:𝑁⟶𝐴 ∧ ∀𝑛 ∈ 𝑁 𝜓)))
23	22	eximdv 1846	. 2 ⊢ (∀𝑛 ∈ 𝑁 ∃𝑥 ∈ 𝐴 𝜑 → (∃𝑓(𝑓 Fn 𝑁 ∧ ∀𝑛 ∈ 𝑁 ({𝑥 ∈ 𝐴 ∣ 𝜑} ≠ ∅ → (𝑓‘𝑛) ∈ {𝑥 ∈ 𝐴 ∣ 𝜑})) → ∃𝑓(𝑓:𝑁⟶𝐴 ∧ ∀𝑛 ∈ 𝑁 𝜓)))
24	4, 23	mpi 20	1 ⊢ (∀𝑛 ∈ 𝑁 ∃𝑥 ∈ 𝐴 𝜑 → ∃𝑓(𝑓:𝑁⟶𝐴 ∧ ∀𝑛 ∈ 𝑁 𝜓))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 196   ∧ wa 384   = wceq 1483  ∃wex 1704   ∈ wcel 1990   ≠ wne 2794  ∀wral 2912  ∃wrex 2913  {crab 2916  Vcvv 3200  ∅c0 3915   class class class wbr 4653   Fn wfn 5883  ⟶wf 5884  ‘cfv 5888  ωcom 7065   ≈ cen 7952

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1722  ax-4 1737  ax-5 1839  ax-6 1888  ax-7 1935  ax-8 1992  ax-9 1999  ax-10 2019  ax-11 2034  ax-12 2047  ax-13 2246  ax-ext 2602  ax-rep 4771  ax-sep 4781  ax-nul 4789  ax-pow 4843  ax-pr 4906  ax-un 6949  ax-inf2 8538  ax-cc 9257

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1038  df-3an 1039  df-tru 1486  df-ex 1705  df-nf 1710  df-sb 1881  df-eu 2474  df-mo 2475  df-clab 2609  df-cleq 2615  df-clel 2618  df-nfc 2753  df-ne 2795  df-ral 2917  df-rex 2918  df-reu 2919  df-rab 2921  df-v 3202  df-sbc 3436  df-csb 3534  df-dif 3577  df-un 3579  df-in 3581  df-ss 3588  df-pss 3590  df-nul 3916  df-if 4087  df-pw 4160  df-sn 4178  df-pr 4180  df-tp 4182  df-op 4184  df-uni 4437  df-iun 4522  df-br 4654  df-opab 4713  df-mpt 4730  df-tr 4753  df-id 5024  df-eprel 5029  df-po 5035  df-so 5036  df-fr 5073  df-we 5075  df-xp 5120  df-rel 5121  df-cnv 5122  df-co 5123  df-dm 5124  df-rn 5125  df-res 5126  df-ima 5127  df-ord 5726  df-on 5727  df-lim 5728  df-suc 5729  df-iota 5851  df-fun 5890  df-fn 5891  df-f 5892  df-f1 5893  df-fo 5894  df-f1o 5895  df-fv 5896  df-om 7066  df-2nd 7169  df-er 7742  df-en 7956

This theorem is referenced by:  axcc4dom  9263  supcvg  14588  1stcelcls  21264  iscmet3  23091  ovoliunlem3  23272  itg2seq  23509  nmounbseqi  27632  nmobndseqi  27634  minvecolem5  27737  heibor  33620