Theorem cfilucfil2 22366

Description: Given a metric 𝐷 and a uniform structure generated by that metric, Cauchy filter bases on that uniform structure are exactly the filter bases which contain balls of any pre-chosen size. See iscfil 23063. (Contributed by Thierry Arnoux, 1-Dec-2017.) (Revised by Thierry Arnoux, 11-Feb-2018.)

Assertion

Ref	Expression
cfilucfil2	⊢ ((𝑋 ≠ ∅ ∧ 𝐷 ∈ (PsMet‘𝑋)) → (𝐶 ∈ (CauFilu‘(metUnif‘𝐷)) ↔ (𝐶 ∈ (fBas‘𝑋) ∧ ∀𝑥 ∈ ℝ+ ∃𝑦 ∈ 𝐶 (𝐷 “ (𝑦 × 𝑦)) ⊆ (0[,)𝑥))))

Distinct variable groups:   𝑥,𝑦,𝐶   𝑥,𝐷,𝑦   𝑥,𝑋,𝑦

Proof of Theorem cfilucfil2

Dummy variables 𝑏 𝑎 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		metuval 22354	. . . . 5 ⊢ (𝐷 ∈ (PsMet‘𝑋) → (metUnif‘𝐷) = ((𝑋 × 𝑋)filGenran (𝑎 ∈ ℝ+ ↦ (◡𝐷 “ (0[,)𝑎)))))
2	1	adantl 482	. . . 4 ⊢ ((𝑋 ≠ ∅ ∧ 𝐷 ∈ (PsMet‘𝑋)) → (metUnif‘𝐷) = ((𝑋 × 𝑋)filGenran (𝑎 ∈ ℝ+ ↦ (◡𝐷 “ (0[,)𝑎)))))
3	2	fveq2d 6195	. . 3 ⊢ ((𝑋 ≠ ∅ ∧ 𝐷 ∈ (PsMet‘𝑋)) → (CauFilu‘(metUnif‘𝐷)) = (CauFilu‘((𝑋 × 𝑋)filGenran (𝑎 ∈ ℝ+ ↦ (◡𝐷 “ (0[,)𝑎))))))
4	3	eleq2d 2687	. 2 ⊢ ((𝑋 ≠ ∅ ∧ 𝐷 ∈ (PsMet‘𝑋)) → (𝐶 ∈ (CauFilu‘(metUnif‘𝐷)) ↔ 𝐶 ∈ (CauFilu‘((𝑋 × 𝑋)filGenran (𝑎 ∈ ℝ+ ↦ (◡𝐷 “ (0[,)𝑎)))))))
5		oveq2 6658	. . . . . 6 ⊢ (𝑎 = 𝑏 → (0[,)𝑎) = (0[,)𝑏))
6	5	imaeq2d 5466	. . . . 5 ⊢ (𝑎 = 𝑏 → (◡𝐷 “ (0[,)𝑎)) = (◡𝐷 “ (0[,)𝑏)))
7	6	cbvmptv 4750	. . . 4 ⊢ (𝑎 ∈ ℝ+ ↦ (◡𝐷 “ (0[,)𝑎))) = (𝑏 ∈ ℝ+ ↦ (◡𝐷 “ (0[,)𝑏)))
8	7	rneqi 5352	. . 3 ⊢ ran (𝑎 ∈ ℝ+ ↦ (◡𝐷 “ (0[,)𝑎))) = ran (𝑏 ∈ ℝ+ ↦ (◡𝐷 “ (0[,)𝑏)))
9	8	cfilucfil 22364	. 2 ⊢ ((𝑋 ≠ ∅ ∧ 𝐷 ∈ (PsMet‘𝑋)) → (𝐶 ∈ (CauFilu‘((𝑋 × 𝑋)filGenran (𝑎 ∈ ℝ+ ↦ (◡𝐷 “ (0[,)𝑎))))) ↔ (𝐶 ∈ (fBas‘𝑋) ∧ ∀𝑥 ∈ ℝ+ ∃𝑦 ∈ 𝐶 (𝐷 “ (𝑦 × 𝑦)) ⊆ (0[,)𝑥))))
10	4, 9	bitrd 268	1 ⊢ ((𝑋 ≠ ∅ ∧ 𝐷 ∈ (PsMet‘𝑋)) → (𝐶 ∈ (CauFilu‘(metUnif‘𝐷)) ↔ (𝐶 ∈ (fBas‘𝑋) ∧ ∀𝑥 ∈ ℝ+ ∃𝑦 ∈ 𝐶 (𝐷 “ (𝑦 × 𝑦)) ⊆ (0[,)𝑥))))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 196   ∧ wa 384   = wceq 1483   ∈ wcel 1990   ≠ wne 2794  ∀wral 2912  ∃wrex 2913   ⊆ wss 3574  ∅c0 3915   ↦ cmpt 4729   × cxp 5112  ^◡ccnv 5113  ran crn 5115   “ cima 5117  ‘cfv 5888  (class class class)co 6650  0cc0 9936  ℝ⁺crp 11832  [,)cico 12177  PsMetcpsmet 19730  fBascfbas 19734  filGencfg 19735  metUnifcmetu 19737  CauFil_uccfilu 22090

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1722  ax-4 1737  ax-5 1839  ax-6 1888  ax-7 1935  ax-8 1992  ax-9 1999  ax-10 2019  ax-11 2034  ax-12 2047  ax-13 2246  ax-ext 2602  ax-sep 4781  ax-nul 4789  ax-pow 4843  ax-pr 4906  ax-un 6949  ax-cnex 9992  ax-resscn 9993  ax-1cn 9994  ax-icn 9995  ax-addcl 9996  ax-addrcl 9997  ax-mulcl 9998  ax-mulrcl 9999  ax-mulcom 10000  ax-addass 10001  ax-mulass 10002  ax-distr 10003  ax-i2m1 10004  ax-1ne0 10005  ax-1rid 10006  ax-rnegex 10007  ax-rrecex 10008  ax-cnre 10009  ax-pre-lttri 10010  ax-pre-lttrn 10011  ax-pre-ltadd 10012  ax-pre-mulgt0 10013

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1038  df-3an 1039  df-tru 1486  df-ex 1705  df-nf 1710  df-sb 1881  df-eu 2474  df-mo 2475  df-clab 2609  df-cleq 2615  df-clel 2618  df-nfc 2753  df-ne 2795  df-nel 2898  df-ral 2917  df-rex 2918  df-reu 2919  df-rmo 2920  df-rab 2921  df-v 3202  df-sbc 3436  df-csb 3534  df-dif 3577  df-un 3579  df-in 3581  df-ss 3588  df-nul 3916  df-if 4087  df-pw 4160  df-sn 4178  df-pr 4180  df-op 4184  df-uni 4437  df-iun 4522  df-br 4654  df-opab 4713  df-mpt 4730  df-id 5024  df-po 5035  df-so 5036  df-xp 5120  df-rel 5121  df-cnv 5122  df-co 5123  df-dm 5124  df-rn 5125  df-res 5126  df-ima 5127  df-iota 5851  df-fun 5890  df-fn 5891  df-f 5892  df-f1 5893  df-fo 5894  df-f1o 5895  df-fv 5896  df-riota 6611  df-ov 6653  df-oprab 6654  df-mpt2 6655  df-1st 7168  df-2nd 7169  df-er 7742  df-map 7859  df-en 7956  df-dom 7957  df-sdom 7958  df-pnf 10076  df-mnf 10077  df-xr 10078  df-ltxr 10079  df-le 10080  df-sub 10268  df-neg 10269  df-div 10685  df-2 11079  df-rp 11833  df-xneg 11946  df-xadd 11947  df-xmul 11948  df-ico 12181  df-psmet 19738  df-fbas 19743  df-fg 19744  df-metu 19745  df-fil 21650  df-ust 22004  df-cfilu 22091

This theorem is referenced by:  cfilucfil3  23117  cmetcusp  23150