Theorem cic 16459

Description: Objects 𝑋 and 𝑌 in a category are isomorphic provided that there is an isomorphism 𝑓:𝑋⟶𝑌, see definition 3.15 of [Adamek] p. 29. (Contributed by AV, 4-Apr-2020.)

Hypotheses

Ref	Expression
cic.i	⊢ 𝐼 = (Iso‘𝐶)
cic.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝐶)
cic.c	⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ Cat)
cic.x	⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝐵)
cic.y	⊢ (𝜑 → 𝑌 ∈ 𝐵)

Assertion

Ref	Expression
cic	⊢ (𝜑 → (𝑋( ≃𝑐 ‘𝐶)𝑌 ↔ ∃𝑓 𝑓 ∈ (𝑋𝐼𝑌)))

Distinct variable groups:   𝑓,𝐼   𝑓,𝑋   𝑓,𝑌

Allowed substitution hints:   𝜑(𝑓)   𝐵(𝑓)   𝐶(𝑓)

Proof of Theorem cic

Step	Hyp	Ref	Expression
1		cic.i	. . 3 ⊢ 𝐼 = (Iso‘𝐶)
2		cic.b	. . 3 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝐶)
3		cic.c	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ Cat)
4		cic.x	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝐵)
5		cic.y	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑌 ∈ 𝐵)
6	1, 2, 3, 4, 5	brcic 16458	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝑋( ≃𝑐 ‘𝐶)𝑌 ↔ (𝑋𝐼𝑌) ≠ ∅))
7		n0 3931	. 2 ⊢ ((𝑋𝐼𝑌) ≠ ∅ ↔ ∃𝑓 𝑓 ∈ (𝑋𝐼𝑌))
8	6, 7	syl6bb 276	1 ⊢ (𝜑 → (𝑋( ≃𝑐 ‘𝐶)𝑌 ↔ ∃𝑓 𝑓 ∈ (𝑋𝐼𝑌)))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 196   = wceq 1483  ∃wex 1704   ∈ wcel 1990   ≠ wne 2794  ∅c0 3915   class class class wbr 4653  ‘cfv 5888  (class class class)co 6650  Basecbs 15857  Catccat 16325  Isociso 16406   ≃_𝑐 ccic 16455

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1722  ax-4 1737  ax-5 1839  ax-6 1888  ax-7 1935  ax-8 1992  ax-9 1999  ax-10 2019  ax-11 2034  ax-12 2047  ax-13 2246  ax-ext 2602  ax-rep 4771  ax-sep 4781  ax-nul 4789  ax-pow 4843  ax-pr 4906  ax-un 6949

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3an 1039  df-tru 1486  df-ex 1705  df-nf 1710  df-sb 1881  df-eu 2474  df-mo 2475  df-clab 2609  df-cleq 2615  df-clel 2618  df-nfc 2753  df-ne 2795  df-ral 2917  df-rex 2918  df-reu 2919  df-rab 2921  df-v 3202  df-sbc 3436  df-csb 3534  df-dif 3577  df-un 3579  df-in 3581  df-ss 3588  df-nul 3916  df-if 4087  df-pw 4160  df-sn 4178  df-pr 4180  df-op 4184  df-uni 4437  df-iun 4522  df-br 4654  df-opab 4713  df-mpt 4730  df-id 5024  df-xp 5120  df-rel 5121  df-cnv 5122  df-co 5123  df-dm 5124  df-rn 5125  df-res 5126  df-ima 5127  df-iota 5851  df-fun 5890  df-fn 5891  df-f 5892  df-f1 5893  df-fo 5894  df-f1o 5895  df-fv 5896  df-ov 6653  df-oprab 6654  df-mpt2 6655  df-1st 7168  df-2nd 7169  df-supp 7296  df-inv 16408  df-iso 16409  df-cic 16456

This theorem is referenced by:  brcici  16460  cicsym  16464  cictr  16465  initoeu1w  16662  initoeu2  16666  termoeu1w  16669  nzerooringczr  42072