Theorem conjmul 10742

Description: Two numbers whose reciprocals sum to 1 are called "conjugates" and satisfy this relationship. Equation 5 of [Kreyszig] p. 12. (Contributed by NM, 12-Nov-2006.)

Assertion

Ref	Expression
conjmul	⊢ (((𝑃 ∈ ℂ ∧ 𝑃 ≠ 0) ∧ (𝑄 ∈ ℂ ∧ 𝑄 ≠ 0)) → (((1 / 𝑃) + (1 / 𝑄)) = 1 ↔ ((𝑃 − 1) · (𝑄 − 1)) = 1))

Proof of Theorem conjmul

Step	Hyp	Ref	Expression
1		simpll 790	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑃 ∈ ℂ ∧ 𝑃 ≠ 0) ∧ (𝑄 ∈ ℂ ∧ 𝑄 ≠ 0)) → 𝑃 ∈ ℂ)
2		simprl 794	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑃 ∈ ℂ ∧ 𝑃 ≠ 0) ∧ (𝑄 ∈ ℂ ∧ 𝑄 ≠ 0)) → 𝑄 ∈ ℂ)
3		reccl 10692	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑃 ∈ ℂ ∧ 𝑃 ≠ 0) → (1 / 𝑃) ∈ ℂ)
4	3	adantr 481	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑃 ∈ ℂ ∧ 𝑃 ≠ 0) ∧ (𝑄 ∈ ℂ ∧ 𝑄 ≠ 0)) → (1 / 𝑃) ∈ ℂ)
5	1, 2, 4	mul32d 10246	. . . . . 6 ⊢ (((𝑃 ∈ ℂ ∧ 𝑃 ≠ 0) ∧ (𝑄 ∈ ℂ ∧ 𝑄 ≠ 0)) → ((𝑃 · 𝑄) · (1 / 𝑃)) = ((𝑃 · (1 / 𝑃)) · 𝑄))
6		recid 10699	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑃 ∈ ℂ ∧ 𝑃 ≠ 0) → (𝑃 · (1 / 𝑃)) = 1)
7	6	oveq1d 6665	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑃 ∈ ℂ ∧ 𝑃 ≠ 0) → ((𝑃 · (1 / 𝑃)) · 𝑄) = (1 · 𝑄))
8	7	adantr 481	. . . . . 6 ⊢ (((𝑃 ∈ ℂ ∧ 𝑃 ≠ 0) ∧ (𝑄 ∈ ℂ ∧ 𝑄 ≠ 0)) → ((𝑃 · (1 / 𝑃)) · 𝑄) = (1 · 𝑄))
9		mulid2 10038	. . . . . . 7 ⊢ (𝑄 ∈ ℂ → (1 · 𝑄) = 𝑄)
10	9	ad2antrl 764	. . . . . 6 ⊢ (((𝑃 ∈ ℂ ∧ 𝑃 ≠ 0) ∧ (𝑄 ∈ ℂ ∧ 𝑄 ≠ 0)) → (1 · 𝑄) = 𝑄)
11	5, 8, 10	3eqtrd 2660	. . . . 5 ⊢ (((𝑃 ∈ ℂ ∧ 𝑃 ≠ 0) ∧ (𝑄 ∈ ℂ ∧ 𝑄 ≠ 0)) → ((𝑃 · 𝑄) · (1 / 𝑃)) = 𝑄)
12		reccl 10692	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑄 ∈ ℂ ∧ 𝑄 ≠ 0) → (1 / 𝑄) ∈ ℂ)
13	12	adantl 482	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑃 ∈ ℂ ∧ 𝑃 ≠ 0) ∧ (𝑄 ∈ ℂ ∧ 𝑄 ≠ 0)) → (1 / 𝑄) ∈ ℂ)
14	1, 2, 13	mulassd 10063	. . . . . 6 ⊢ (((𝑃 ∈ ℂ ∧ 𝑃 ≠ 0) ∧ (𝑄 ∈ ℂ ∧ 𝑄 ≠ 0)) → ((𝑃 · 𝑄) · (1 / 𝑄)) = (𝑃 · (𝑄 · (1 / 𝑄))))
15		recid 10699	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑄 ∈ ℂ ∧ 𝑄 ≠ 0) → (𝑄 · (1 / 𝑄)) = 1)
16	15	oveq2d 6666	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑄 ∈ ℂ ∧ 𝑄 ≠ 0) → (𝑃 · (𝑄 · (1 / 𝑄))) = (𝑃 · 1))
17	16	adantl 482	. . . . . 6 ⊢ (((𝑃 ∈ ℂ ∧ 𝑃 ≠ 0) ∧ (𝑄 ∈ ℂ ∧ 𝑄 ≠ 0)) → (𝑃 · (𝑄 · (1 / 𝑄))) = (𝑃 · 1))
18		mulid1 10037	. . . . . . 7 ⊢ (𝑃 ∈ ℂ → (𝑃 · 1) = 𝑃)
19	18	ad2antrr 762	. . . . . 6 ⊢ (((𝑃 ∈ ℂ ∧ 𝑃 ≠ 0) ∧ (𝑄 ∈ ℂ ∧ 𝑄 ≠ 0)) → (𝑃 · 1) = 𝑃)
20	14, 17, 19	3eqtrd 2660	. . . . 5 ⊢ (((𝑃 ∈ ℂ ∧ 𝑃 ≠ 0) ∧ (𝑄 ∈ ℂ ∧ 𝑄 ≠ 0)) → ((𝑃 · 𝑄) · (1 / 𝑄)) = 𝑃)
21	11, 20	oveq12d 6668	. . . 4 ⊢ (((𝑃 ∈ ℂ ∧ 𝑃 ≠ 0) ∧ (𝑄 ∈ ℂ ∧ 𝑄 ≠ 0)) → (((𝑃 · 𝑄) · (1 / 𝑃)) + ((𝑃 · 𝑄) · (1 / 𝑄))) = (𝑄 + 𝑃))
22		mulcl 10020	. . . . . 6 ⊢ ((𝑃 ∈ ℂ ∧ 𝑄 ∈ ℂ) → (𝑃 · 𝑄) ∈ ℂ)
23	22	ad2ant2r 783	. . . . 5 ⊢ (((𝑃 ∈ ℂ ∧ 𝑃 ≠ 0) ∧ (𝑄 ∈ ℂ ∧ 𝑄 ≠ 0)) → (𝑃 · 𝑄) ∈ ℂ)
24	23, 4, 13	adddid 10064	. . . 4 ⊢ (((𝑃 ∈ ℂ ∧ 𝑃 ≠ 0) ∧ (𝑄 ∈ ℂ ∧ 𝑄 ≠ 0)) → ((𝑃 · 𝑄) · ((1 / 𝑃) + (1 / 𝑄))) = (((𝑃 · 𝑄) · (1 / 𝑃)) + ((𝑃 · 𝑄) · (1 / 𝑄))))
25		addcom 10222	. . . . 5 ⊢ ((𝑃 ∈ ℂ ∧ 𝑄 ∈ ℂ) → (𝑃 + 𝑄) = (𝑄 + 𝑃))
26	25	ad2ant2r 783	. . . 4 ⊢ (((𝑃 ∈ ℂ ∧ 𝑃 ≠ 0) ∧ (𝑄 ∈ ℂ ∧ 𝑄 ≠ 0)) → (𝑃 + 𝑄) = (𝑄 + 𝑃))
27	21, 24, 26	3eqtr4d 2666	. . 3 ⊢ (((𝑃 ∈ ℂ ∧ 𝑃 ≠ 0) ∧ (𝑄 ∈ ℂ ∧ 𝑄 ≠ 0)) → ((𝑃 · 𝑄) · ((1 / 𝑃) + (1 / 𝑄))) = (𝑃 + 𝑄))
28	22	mulid1d 10057	. . . 4 ⊢ ((𝑃 ∈ ℂ ∧ 𝑄 ∈ ℂ) → ((𝑃 · 𝑄) · 1) = (𝑃 · 𝑄))
29	28	ad2ant2r 783	. . 3 ⊢ (((𝑃 ∈ ℂ ∧ 𝑃 ≠ 0) ∧ (𝑄 ∈ ℂ ∧ 𝑄 ≠ 0)) → ((𝑃 · 𝑄) · 1) = (𝑃 · 𝑄))
30	27, 29	eqeq12d 2637	. 2 ⊢ (((𝑃 ∈ ℂ ∧ 𝑃 ≠ 0) ∧ (𝑄 ∈ ℂ ∧ 𝑄 ≠ 0)) → (((𝑃 · 𝑄) · ((1 / 𝑃) + (1 / 𝑄))) = ((𝑃 · 𝑄) · 1) ↔ (𝑃 + 𝑄) = (𝑃 · 𝑄)))
31		addcl 10018	. . . 4 ⊢ (((1 / 𝑃) ∈ ℂ ∧ (1 / 𝑄) ∈ ℂ) → ((1 / 𝑃) + (1 / 𝑄)) ∈ ℂ)
32	3, 12, 31	syl2an 494	. . 3 ⊢ (((𝑃 ∈ ℂ ∧ 𝑃 ≠ 0) ∧ (𝑄 ∈ ℂ ∧ 𝑄 ≠ 0)) → ((1 / 𝑃) + (1 / 𝑄)) ∈ ℂ)
33		mulne0 10669	. . 3 ⊢ (((𝑃 ∈ ℂ ∧ 𝑃 ≠ 0) ∧ (𝑄 ∈ ℂ ∧ 𝑄 ≠ 0)) → (𝑃 · 𝑄) ≠ 0)
34		ax-1cn 9994	. . . 4 ⊢ 1 ∈ ℂ
35		mulcan 10664	. . . 4 ⊢ ((((1 / 𝑃) + (1 / 𝑄)) ∈ ℂ ∧ 1 ∈ ℂ ∧ ((𝑃 · 𝑄) ∈ ℂ ∧ (𝑃 · 𝑄) ≠ 0)) → (((𝑃 · 𝑄) · ((1 / 𝑃) + (1 / 𝑄))) = ((𝑃 · 𝑄) · 1) ↔ ((1 / 𝑃) + (1 / 𝑄)) = 1))
36	34, 35	mp3an2 1412	. . 3 ⊢ ((((1 / 𝑃) + (1 / 𝑄)) ∈ ℂ ∧ ((𝑃 · 𝑄) ∈ ℂ ∧ (𝑃 · 𝑄) ≠ 0)) → (((𝑃 · 𝑄) · ((1 / 𝑃) + (1 / 𝑄))) = ((𝑃 · 𝑄) · 1) ↔ ((1 / 𝑃) + (1 / 𝑄)) = 1))
37	32, 23, 33, 36	syl12anc 1324	. 2 ⊢ (((𝑃 ∈ ℂ ∧ 𝑃 ≠ 0) ∧ (𝑄 ∈ ℂ ∧ 𝑄 ≠ 0)) → (((𝑃 · 𝑄) · ((1 / 𝑃) + (1 / 𝑄))) = ((𝑃 · 𝑄) · 1) ↔ ((1 / 𝑃) + (1 / 𝑄)) = 1))
38		eqcom 2629	. . . 4 ⊢ ((𝑃 + 𝑄) = (𝑃 · 𝑄) ↔ (𝑃 · 𝑄) = (𝑃 + 𝑄))
39		muleqadd 10671	. . . 4 ⊢ ((𝑃 ∈ ℂ ∧ 𝑄 ∈ ℂ) → ((𝑃 · 𝑄) = (𝑃 + 𝑄) ↔ ((𝑃 − 1) · (𝑄 − 1)) = 1))
40	38, 39	syl5bb 272	. . 3 ⊢ ((𝑃 ∈ ℂ ∧ 𝑄 ∈ ℂ) → ((𝑃 + 𝑄) = (𝑃 · 𝑄) ↔ ((𝑃 − 1) · (𝑄 − 1)) = 1))
41	40	ad2ant2r 783	. 2 ⊢ (((𝑃 ∈ ℂ ∧ 𝑃 ≠ 0) ∧ (𝑄 ∈ ℂ ∧ 𝑄 ≠ 0)) → ((𝑃 + 𝑄) = (𝑃 · 𝑄) ↔ ((𝑃 − 1) · (𝑄 − 1)) = 1))
42	30, 37, 41	3bitr3d 298	1 ⊢ (((𝑃 ∈ ℂ ∧ 𝑃 ≠ 0) ∧ (𝑄 ∈ ℂ ∧ 𝑄 ≠ 0)) → (((1 / 𝑃) + (1 / 𝑄)) = 1 ↔ ((𝑃 − 1) · (𝑄 − 1)) = 1))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 196   ∧ wa 384   = wceq 1483   ∈ wcel 1990   ≠ wne 2794  (class class class)co 6650  ℂcc 9934  0cc0 9936  1c1 9937   + caddc 9939   · cmul 9941   − cmin 10266   / cdiv 10684

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1722  ax-4 1737  ax-5 1839  ax-6 1888  ax-7 1935  ax-8 1992  ax-9 1999  ax-10 2019  ax-11 2034  ax-12 2047  ax-13 2246  ax-ext 2602  ax-sep 4781  ax-nul 4789  ax-pow 4843  ax-pr 4906  ax-un 6949  ax-resscn 9993  ax-1cn 9994  ax-icn 9995  ax-addcl 9996  ax-addrcl 9997  ax-mulcl 9998  ax-mulrcl 9999  ax-mulcom 10000  ax-addass 10001  ax-mulass 10002  ax-distr 10003  ax-i2m1 10004  ax-1ne0 10005  ax-1rid 10006  ax-rnegex 10007  ax-rrecex 10008  ax-cnre 10009  ax-pre-lttri 10010  ax-pre-lttrn 10011  ax-pre-ltadd 10012  ax-pre-mulgt0 10013

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1038  df-3an 1039  df-tru 1486  df-ex 1705  df-nf 1710  df-sb 1881  df-eu 2474  df-mo 2475  df-clab 2609  df-cleq 2615  df-clel 2618  df-nfc 2753  df-ne 2795  df-nel 2898  df-ral 2917  df-rex 2918  df-reu 2919  df-rmo 2920  df-rab 2921  df-v 3202  df-sbc 3436  df-csb 3534  df-dif 3577  df-un 3579  df-in 3581  df-ss 3588  df-nul 3916  df-if 4087  df-pw 4160  df-sn 4178  df-pr 4180  df-op 4184  df-uni 4437  df-br 4654  df-opab 4713  df-mpt 4730  df-id 5024  df-po 5035  df-so 5036  df-xp 5120  df-rel 5121  df-cnv 5122  df-co 5123  df-dm 5124  df-rn 5125  df-res 5126  df-ima 5127  df-iota 5851  df-fun 5890  df-fn 5891  df-f 5892  df-f1 5893  df-fo 5894  df-f1o 5895  df-fv 5896  df-riota 6611  df-ov 6653  df-oprab 6654  df-mpt2 6655  df-er 7742  df-en 7956  df-dom 7957  df-sdom 7958  df-pnf 10076  df-mnf 10077  df-xr 10078  df-ltxr 10079  df-le 10080  df-sub 10268  df-neg 10269  df-div 10685

This theorem is referenced by: (None)