Theorem dfac8 8957

Description: A proof of the equivalency of the Well Ordering Theorem weth 9317 and the Axiom of Choice ac7 9295. (Contributed by Mario Carneiro, 5-Jan-2013.)

Assertion

Ref	Expression
dfac8	⊢ (CHOICE ↔ ∀𝑥∃𝑟 𝑟 We 𝑥)

Distinct variable group:   𝑥,𝑟

Proof of Theorem dfac8

Dummy variables 𝑓 𝑦 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		dfac3 8944	. 2 ⊢ (CHOICE ↔ ∀𝑦∃𝑓∀𝑧 ∈ 𝑦 (𝑧 ≠ ∅ → (𝑓‘𝑧) ∈ 𝑧))
2		vex 3203	. . . . . 6 ⊢ 𝑥 ∈ V
3		vpwex 4849	. . . . . . 7 ⊢ 𝒫 𝑥 ∈ V
4		raleq 3138	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑦 = 𝒫 𝑥 → (∀𝑧 ∈ 𝑦 (𝑧 ≠ ∅ → (𝑓‘𝑧) ∈ 𝑧) ↔ ∀𝑧 ∈ 𝒫 𝑥(𝑧 ≠ ∅ → (𝑓‘𝑧) ∈ 𝑧)))
5	4	exbidv 1850	. . . . . . 7 ⊢ (𝑦 = 𝒫 𝑥 → (∃𝑓∀𝑧 ∈ 𝑦 (𝑧 ≠ ∅ → (𝑓‘𝑧) ∈ 𝑧) ↔ ∃𝑓∀𝑧 ∈ 𝒫 𝑥(𝑧 ≠ ∅ → (𝑓‘𝑧) ∈ 𝑧)))
6	3, 5	spcv 3299	. . . . . 6 ⊢ (∀𝑦∃𝑓∀𝑧 ∈ 𝑦 (𝑧 ≠ ∅ → (𝑓‘𝑧) ∈ 𝑧) → ∃𝑓∀𝑧 ∈ 𝒫 𝑥(𝑧 ≠ ∅ → (𝑓‘𝑧) ∈ 𝑧))
7		dfac8a 8853	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 ∈ V → (∃𝑓∀𝑧 ∈ 𝒫 𝑥(𝑧 ≠ ∅ → (𝑓‘𝑧) ∈ 𝑧) → 𝑥 ∈ dom card))
8	2, 6, 7	mpsyl 68	. . . . 5 ⊢ (∀𝑦∃𝑓∀𝑧 ∈ 𝑦 (𝑧 ≠ ∅ → (𝑓‘𝑧) ∈ 𝑧) → 𝑥 ∈ dom card)
9		dfac8b 8854	. . . . 5 ⊢ (𝑥 ∈ dom card → ∃𝑟 𝑟 We 𝑥)
10	8, 9	syl 17	. . . 4 ⊢ (∀𝑦∃𝑓∀𝑧 ∈ 𝑦 (𝑧 ≠ ∅ → (𝑓‘𝑧) ∈ 𝑧) → ∃𝑟 𝑟 We 𝑥)
11	10	alrimiv 1855	. . 3 ⊢ (∀𝑦∃𝑓∀𝑧 ∈ 𝑦 (𝑧 ≠ ∅ → (𝑓‘𝑧) ∈ 𝑧) → ∀𝑥∃𝑟 𝑟 We 𝑥)
12		vex 3203	. . . . 5 ⊢ 𝑦 ∈ V
13		vuniex 6954	. . . . . 6 ⊢ ∪ 𝑦 ∈ V
14		weeq2 5103	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥 = ∪ 𝑦 → (𝑟 We 𝑥 ↔ 𝑟 We ∪ 𝑦))
15	14	exbidv 1850	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 = ∪ 𝑦 → (∃𝑟 𝑟 We 𝑥 ↔ ∃𝑟 𝑟 We ∪ 𝑦))
16	13, 15	spcv 3299	. . . . 5 ⊢ (∀𝑥∃𝑟 𝑟 We 𝑥 → ∃𝑟 𝑟 We ∪ 𝑦)
17		dfac8c 8856	. . . . 5 ⊢ (𝑦 ∈ V → (∃𝑟 𝑟 We ∪ 𝑦 → ∃𝑓∀𝑧 ∈ 𝑦 (𝑧 ≠ ∅ → (𝑓‘𝑧) ∈ 𝑧)))
18	12, 16, 17	mpsyl 68	. . . 4 ⊢ (∀𝑥∃𝑟 𝑟 We 𝑥 → ∃𝑓∀𝑧 ∈ 𝑦 (𝑧 ≠ ∅ → (𝑓‘𝑧) ∈ 𝑧))
19	18	alrimiv 1855	. . 3 ⊢ (∀𝑥∃𝑟 𝑟 We 𝑥 → ∀𝑦∃𝑓∀𝑧 ∈ 𝑦 (𝑧 ≠ ∅ → (𝑓‘𝑧) ∈ 𝑧))
20	11, 19	impbii 199	. 2 ⊢ (∀𝑦∃𝑓∀𝑧 ∈ 𝑦 (𝑧 ≠ ∅ → (𝑓‘𝑧) ∈ 𝑧) ↔ ∀𝑥∃𝑟 𝑟 We 𝑥)
21	1, 20	bitri 264	1 ⊢ (CHOICE ↔ ∀𝑥∃𝑟 𝑟 We 𝑥)

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 196  ∀wal 1481   = wceq 1483  ∃wex 1704   ∈ wcel 1990   ≠ wne 2794  ∀wral 2912  Vcvv 3200  ∅c0 3915  𝒫 cpw 4158  ∪ cuni 4436   We wwe 5072  dom cdm 5114  ‘cfv 5888  cardccrd 8761  CHOICEwac 8938

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1722  ax-4 1737  ax-5 1839  ax-6 1888  ax-7 1935  ax-8 1992  ax-9 1999  ax-10 2019  ax-11 2034  ax-12 2047  ax-13 2246  ax-ext 2602  ax-rep 4771  ax-sep 4781  ax-nul 4789  ax-pow 4843  ax-pr 4906  ax-un 6949

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1038  df-3an 1039  df-tru 1486  df-ex 1705  df-nf 1710  df-sb 1881  df-eu 2474  df-mo 2475  df-clab 2609  df-cleq 2615  df-clel 2618  df-nfc 2753  df-ne 2795  df-ral 2917  df-rex 2918  df-reu 2919  df-rmo 2920  df-rab 2921  df-v 3202  df-sbc 3436  df-csb 3534  df-dif 3577  df-un 3579  df-in 3581  df-ss 3588  df-pss 3590  df-nul 3916  df-if 4087  df-pw 4160  df-sn 4178  df-pr 4180  df-tp 4182  df-op 4184  df-uni 4437  df-int 4476  df-iun 4522  df-br 4654  df-opab 4713  df-mpt 4730  df-tr 4753  df-id 5024  df-eprel 5029  df-po 5035  df-so 5036  df-fr 5073  df-se 5074  df-we 5075  df-xp 5120  df-rel 5121  df-cnv 5122  df-co 5123  df-dm 5124  df-rn 5125  df-res 5126  df-ima 5127  df-pred 5680  df-ord 5726  df-on 5727  df-suc 5729  df-iota 5851  df-fun 5890  df-fn 5891  df-f 5892  df-f1 5893  df-fo 5894  df-f1o 5895  df-fv 5896  df-isom 5897  df-riota 6611  df-wrecs 7407  df-recs 7468  df-en 7956  df-card 8765  df-ac 8939

This theorem is referenced by:  dfac10  8959  weth  9317  dfac11  37632