Theorem dfac8 8957

Description: A proof of the equivalency of the Well Ordering Theorem weth 9317 and the Axiom of Choice ac7 9295. (Contributed by Mario Carneiro, 5-Jan-2013.)

Assertion

Ref	Expression
dfac8	|- (CHOICE <-> A. x E. r r We x )

Distinct variable group:   x, r

Proof of Theorem dfac8

Dummy variables f y z are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		dfac3 8944	. 2 |- (CHOICE <-> A. y E. f A. z e. y ( z =/= (/) -> ( f ` z ) e. z ) )
2		vex 3203	. . . . . 6 |- x e. _V
3		vpwex 4849	. . . . . . 7 |- ~P x e. _V
4		raleq 3138	. . . . . . . 8 |- ( y = ~P x -> ( A. z e. y ( z =/= (/) -> ( f ` z ) e. z ) <-> A. z e. ~P x ( z =/= (/) -> ( f ` z ) e. z ) ) )
5	4	exbidv 1850	. . . . . . 7 |- ( y = ~P x -> ( E. f A. z e. y ( z =/= (/) -> ( f ` z ) e. z ) <-> E. f A. z e. ~P x ( z =/= (/) -> ( f ` z ) e. z ) ) )
6	3, 5	spcv 3299	. . . . . 6 |- ( A. y E. f A. z e. y ( z =/= (/) -> ( f ` z ) e. z ) -> E. f A. z e. ~P x ( z =/= (/) -> ( f ` z ) e. z ) )
7		dfac8a 8853	. . . . . 6 |- ( x e. _V -> ( E. f A. z e. ~P x ( z =/= (/) -> ( f ` z ) e. z ) -> x e. dom card ) )
8	2, 6, 7	mpsyl 68	. . . . 5 |- ( A. y E. f A. z e. y ( z =/= (/) -> ( f ` z ) e. z ) -> x e. dom card )
9		dfac8b 8854	. . . . 5 |- ( x e. dom card -> E. r r We x )
10	8, 9	syl 17	. . . 4 |- ( A. y E. f A. z e. y ( z =/= (/) -> ( f ` z ) e. z ) -> E. r r We x )
11	10	alrimiv 1855	. . 3 |- ( A. y E. f A. z e. y ( z =/= (/) -> ( f ` z ) e. z ) -> A. x E. r r We x )
12		vex 3203	. . . . 5 |- y e. _V
13		vuniex 6954	. . . . . 6 |- U. y e. _V
14		weeq2 5103	. . . . . . 7 |- ( x = U. y -> ( r We x <-> r We U. y ) )
15	14	exbidv 1850	. . . . . 6 |- ( x = U. y -> ( E. r r We x <-> E. r r We U. y ) )
16	13, 15	spcv 3299	. . . . 5 |- ( A. x E. r r We x -> E. r r We U. y )
17		dfac8c 8856	. . . . 5 |- ( y e. _V -> ( E. r r We U. y -> E. f A. z e. y ( z =/= (/) -> ( f ` z ) e. z ) ) )
18	12, 16, 17	mpsyl 68	. . . 4 |- ( A. x E. r r We x -> E. f A. z e. y ( z =/= (/) -> ( f ` z ) e. z ) )
19	18	alrimiv 1855	. . 3 |- ( A. x E. r r We x -> A. y E. f A. z e. y ( z =/= (/) -> ( f ` z ) e. z ) )
20	11, 19	impbii 199	. 2 |- ( A. y E. f A. z e. y ( z =/= (/) -> ( f ` z ) e. z ) <-> A. x E. r r We x )
21	1, 20	bitri 264	1 |- (CHOICE <-> A. x E. r r We x )

Syntax hints:   -> wi 4   <-> wb 196   A.wal 1481   = wceq 1483   E.wex 1704   e. wcel 1990   =/= wne 2794   A.wral 2912   _Vcvv 3200   (/)c0 3915   ~Pcpw 4158   U.cuni 4436   We wwe 5072   dom cdm 5114   ` cfv 5888   cardccrd 8761  CHOICEwac 8938

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1722  ax-4 1737  ax-5 1839  ax-6 1888  ax-7 1935  ax-8 1992  ax-9 1999  ax-10 2019  ax-11 2034  ax-12 2047  ax-13 2246  ax-ext 2602  ax-rep 4771  ax-sep 4781  ax-nul 4789  ax-pow 4843  ax-pr 4906  ax-un 6949

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1038  df-3an 1039  df-tru 1486  df-ex 1705  df-nf 1710  df-sb 1881  df-eu 2474  df-mo 2475  df-clab 2609  df-cleq 2615  df-clel 2618  df-nfc 2753  df-ne 2795  df-ral 2917  df-rex 2918  df-reu 2919  df-rmo 2920  df-rab 2921  df-v 3202  df-sbc 3436  df-csb 3534  df-dif 3577  df-un 3579  df-in 3581  df-ss 3588  df-pss 3590  df-nul 3916  df-if 4087  df-pw 4160  df-sn 4178  df-pr 4180  df-tp 4182  df-op 4184  df-uni 4437  df-int 4476  df-iun 4522  df-br 4654  df-opab 4713  df-mpt 4730  df-tr 4753  df-id 5024  df-eprel 5029  df-po 5035  df-so 5036  df-fr 5073  df-se 5074  df-we 5075  df-xp 5120  df-rel 5121  df-cnv 5122  df-co 5123  df-dm 5124  df-rn 5125  df-res 5126  df-ima 5127  df-pred 5680  df-ord 5726  df-on 5727  df-suc 5729  df-iota 5851  df-fun 5890  df-fn 5891  df-f 5892  df-f1 5893  df-fo 5894  df-f1o 5895  df-fv 5896  df-isom 5897  df-riota 6611  df-wrecs 7407  df-recs 7468  df-en 7956  df-card 8765  df-ac 8939

This theorem is referenced by:  dfac10  8959  weth  9317  dfac11  37632