Theorem feq1 6026

Description: Equality theorem for functions. (Contributed by NM, 1-Aug-1994.)

Assertion

Ref	Expression
feq1	⊢ (𝐹 = 𝐺 → (𝐹:𝐴⟶𝐵 ↔ 𝐺:𝐴⟶𝐵))

Proof of Theorem feq1

Step	Hyp	Ref	Expression
1		fneq1 5979	. . 3 ⊢ (𝐹 = 𝐺 → (𝐹 Fn 𝐴 ↔ 𝐺 Fn 𝐴))
2		rneq 5351	. . . 4 ⊢ (𝐹 = 𝐺 → ran 𝐹 = ran 𝐺)
3	2	sseq1d 3632	. . 3 ⊢ (𝐹 = 𝐺 → (ran 𝐹 ⊆ 𝐵 ↔ ran 𝐺 ⊆ 𝐵))
4	1, 3	anbi12d 747	. 2 ⊢ (𝐹 = 𝐺 → ((𝐹 Fn 𝐴 ∧ ran 𝐹 ⊆ 𝐵) ↔ (𝐺 Fn 𝐴 ∧ ran 𝐺 ⊆ 𝐵)))
5		df-f 5892	. 2 ⊢ (𝐹:𝐴⟶𝐵 ↔ (𝐹 Fn 𝐴 ∧ ran 𝐹 ⊆ 𝐵))
6		df-f 5892	. 2 ⊢ (𝐺:𝐴⟶𝐵 ↔ (𝐺 Fn 𝐴 ∧ ran 𝐺 ⊆ 𝐵))
7	4, 5, 6	3bitr4g 303	1 ⊢ (𝐹 = 𝐺 → (𝐹:𝐴⟶𝐵 ↔ 𝐺:𝐴⟶𝐵))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 196   ∧ wa 384   = wceq 1483   ⊆ wss 3574  ran crn 5115   Fn wfn 5883  ⟶wf 5884

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1722  ax-4 1737  ax-5 1839  ax-6 1888  ax-7 1935  ax-9 1999  ax-10 2019  ax-11 2034  ax-12 2047  ax-13 2246  ax-ext 2602

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3an 1039  df-tru 1486  df-ex 1705  df-nf 1710  df-sb 1881  df-clab 2609  df-cleq 2615  df-clel 2618  df-nfc 2753  df-rab 2921  df-v 3202  df-dif 3577  df-un 3579  df-in 3581  df-ss 3588  df-nul 3916  df-if 4087  df-sn 4178  df-pr 4180  df-op 4184  df-br 4654  df-opab 4713  df-rel 5121  df-cnv 5122  df-co 5123  df-dm 5124  df-rn 5125  df-fun 5890  df-fn 5891  df-f 5892

This theorem is referenced by:  feq1d  6030  feq1i  6036  elimf  6044  f00  6087  f0bi  6088  f0dom0  6089  fconstg  6092  f1eq1  6096  fconst2g  6468  fsnex  6538  elmapg  7870  ac6sfi  8204  ac5num  8859  acni2  8869  cofsmo  9091  cfsmolem  9092  cfcoflem  9094  coftr  9095  alephsing  9098  axdc2lem  9270  axdc3lem2  9273  axdc3lem3  9274  axdc3  9276  axdc4lem  9277  ac6num  9301  inar1  9597  axdc4uzlem  12782  seqf1olem2  12841  seqf1o  12842  iswrd  13307  cshf1  13556  wrdlen2i  13686  ramub2  15718  ramcl  15733  isacs2  16314  isacs1i  16318  mreacs  16319  mgmb1mgm1  17254  isgrpinv  17472  isghm  17660  islindf  20151  mat1dimelbas  20277  1stcfb  21248  upxp  21426  txcn  21429  isi1f  23441  mbfi1fseqlem6  23487  mbfi1flimlem  23489  itg2addlem  23525  plyf  23954  griedg0prc  26156  isgrpo  27351  vciOLD  27416  isvclem  27432  isnvlem  27465  ajmoi  27714  ajval  27717  hlimi  28045  chlimi  28091  chcompl  28099  adjmo  28691  adjeu  28748  adjval  28749  adj1  28792  adjeq  28794  cnlnssadj  28939  pjinvari  29050  padct  29497  locfinref  29908  isrnmeas  30263  fprb  31669  orderseqlem  31749  soseq  31751  elno  31799  filnetlem4  32376  bj-finsumval0  33147  poimirlem25  33434  poimirlem28  33437  volsupnfl  33454  mbfresfi  33456  upixp  33524  sdclem2  33538  sdclem1  33539  fdc  33541  ismgmOLD  33649  elghomlem2OLD  33685  istendo  36048  ismrc  37264  fmuldfeqlem1  39814  fmuldfeq  39815  dvnprodlem1  40161  stoweidlem15  40232  stoweidlem16  40233  stoweidlem17  40234  stoweidlem19  40236  stoweidlem20  40237  stoweidlem21  40238  stoweidlem22  40239  stoweidlem23  40240  stoweidlem27  40244  stoweidlem31  40248  stoweidlem32  40249  stoweidlem42  40259  stoweidlem48  40265  stoweidlem51  40268  stoweidlem59  40276  isomenndlem  40744  smfpimcclem  41013  lincdifsn  42213