Theorem nodmon 31803

Description: The domain of a surreal is an ordinal. (Contributed by Scott Fenton, 16-Jun-2011.)

Assertion

Ref	Expression
nodmon	⊢ (𝐴 ∈ No → dom 𝐴 ∈ On)

Proof of Theorem nodmon

Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		elno 31799	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ No ↔ ∃𝑥 ∈ On 𝐴:𝑥⟶{1𝑜, 2𝑜})
2		fdm 6051	. . . . 5 ⊢ (𝐴:𝑥⟶{1𝑜, 2𝑜} → dom 𝐴 = 𝑥)
3	2	eleq1d 2686	. . . 4 ⊢ (𝐴:𝑥⟶{1𝑜, 2𝑜} → (dom 𝐴 ∈ On ↔ 𝑥 ∈ On))
4	3	biimprcd 240	. . 3 ⊢ (𝑥 ∈ On → (𝐴:𝑥⟶{1𝑜, 2𝑜} → dom 𝐴 ∈ On))
5	4	rexlimiv 3027	. 2 ⊢ (∃𝑥 ∈ On 𝐴:𝑥⟶{1𝑜, 2𝑜} → dom 𝐴 ∈ On)
6	1, 5	sylbi 207	1 ⊢ (𝐴 ∈ No → dom 𝐴 ∈ On)

Syntax hints:   → wi 4   ∈ wcel 1990  ∃wrex 2913  {cpr 4179  dom cdm 5114  Oncon0 5723  ⟶wf 5884  1_𝑜c1o 7553  2_𝑜c2o 7554   No csur 31793

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1722  ax-4 1737  ax-5 1839  ax-6 1888  ax-7 1935  ax-9 1999  ax-10 2019  ax-11 2034  ax-12 2047  ax-13 2246  ax-ext 2602  ax-rep 4771  ax-sep 4781  ax-nul 4789  ax-pr 4906

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3an 1039  df-tru 1486  df-ex 1705  df-nf 1710  df-sb 1881  df-eu 2474  df-mo 2475  df-clab 2609  df-cleq 2615  df-clel 2618  df-nfc 2753  df-ne 2795  df-ral 2917  df-rex 2918  df-reu 2919  df-rab 2921  df-v 3202  df-sbc 3436  df-csb 3534  df-dif 3577  df-un 3579  df-in 3581  df-ss 3588  df-nul 3916  df-if 4087  df-sn 4178  df-pr 4180  df-op 4184  df-uni 4437  df-iun 4522  df-br 4654  df-opab 4713  df-mpt 4730  df-id 5024  df-xp 5120  df-rel 5121  df-cnv 5122  df-co 5123  df-dm 5124  df-rn 5125  df-res 5126  df-ima 5127  df-iota 5851  df-fun 5890  df-fn 5891  df-f 5892  df-f1 5893  df-fo 5894  df-f1o 5895  df-fv 5896  df-no 31796

This theorem is referenced by:  nodmord  31806  elno2  31807  noseponlem  31817  noextend  31819  noextendseq  31820  noextenddif  31821  noextendlt  31822  noextendgt  31823  bdayfo  31828  nosepssdm  31836  nolt02olem  31844  nosupno  31849  nosupres  31853  nosupbnd1lem1  31854  nosupbnd1lem2  31855  nosupbnd1lem3  31856  nosupbnd1lem4  31857  nosupbnd1lem5  31858  nosupbnd1lem6  31859  nosupbnd1  31860  nosupbnd2lem1  31861  nosupbnd2  31862  noetalem2  31864  noetalem3  31865