Theorem genpcd 9828

Description: Downward closure of an operation on positive reals. (Contributed by NM, 13-Mar-1996.) (Revised by Mario Carneiro, 12-Jun-2013.) (New usage is discouraged.)

Hypotheses

Ref	Expression
genp.1	⊢ 𝐹 = (𝑤 ∈ P, 𝑣 ∈ P ↦ {𝑥 ∣ ∃𝑦 ∈ 𝑤 ∃𝑧 ∈ 𝑣 𝑥 = (𝑦𝐺𝑧)})
genp.2	⊢ ((𝑦 ∈ Q ∧ 𝑧 ∈ Q) → (𝑦𝐺𝑧) ∈ Q)
genpcd.2	⊢ ((((𝐴 ∈ P ∧ 𝑔 ∈ 𝐴) ∧ (𝐵 ∈ P ∧ ℎ ∈ 𝐵)) ∧ 𝑥 ∈ Q) → (𝑥 <Q (𝑔𝐺ℎ) → 𝑥 ∈ (𝐴𝐹𝐵)))

Assertion

Ref	Expression
genpcd	⊢ ((𝐴 ∈ P ∧ 𝐵 ∈ P) → (𝑓 ∈ (𝐴𝐹𝐵) → (𝑥 <Q 𝑓 → 𝑥 ∈ (𝐴𝐹𝐵))))

Distinct variable groups:   𝑥,𝑦,𝑧,𝑓,𝑔,ℎ,𝐴   𝑥,𝐵,𝑦,𝑧,𝑓,𝑔,ℎ   𝑥,𝑤,𝑣,𝐺,𝑦,𝑧,𝑓,𝑔,ℎ   𝑓,𝐹,𝑔,ℎ

Allowed substitution hints:   𝐴(𝑤,𝑣)   𝐵(𝑤,𝑣)   𝐹(𝑥,𝑦,𝑧,𝑤,𝑣)

Proof of Theorem genpcd

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ltrelnq 9748	. . . . . . 7 ⊢ <Q ⊆ (Q × Q)
2	1	brel 5168	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 <Q 𝑓 → (𝑥 ∈ Q ∧ 𝑓 ∈ Q))
3	2	simpld 475	. . . . 5 ⊢ (𝑥 <Q 𝑓 → 𝑥 ∈ Q)
4		genp.1	. . . . . . . . 9 ⊢ 𝐹 = (𝑤 ∈ P, 𝑣 ∈ P ↦ {𝑥 ∣ ∃𝑦 ∈ 𝑤 ∃𝑧 ∈ 𝑣 𝑥 = (𝑦𝐺𝑧)})
5		genp.2	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑦 ∈ Q ∧ 𝑧 ∈ Q) → (𝑦𝐺𝑧) ∈ Q)
6	4, 5	genpelv 9822	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐴 ∈ P ∧ 𝐵 ∈ P) → (𝑓 ∈ (𝐴𝐹𝐵) ↔ ∃𝑔 ∈ 𝐴 ∃ℎ ∈ 𝐵 𝑓 = (𝑔𝐺ℎ)))
7	6	adantr 481	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐴 ∈ P ∧ 𝐵 ∈ P) ∧ 𝑥 ∈ Q) → (𝑓 ∈ (𝐴𝐹𝐵) ↔ ∃𝑔 ∈ 𝐴 ∃ℎ ∈ 𝐵 𝑓 = (𝑔𝐺ℎ)))
8		breq2 4657	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑓 = (𝑔𝐺ℎ) → (𝑥 <Q 𝑓 ↔ 𝑥 <Q (𝑔𝐺ℎ)))
9	8	biimpd 219	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑓 = (𝑔𝐺ℎ) → (𝑥 <Q 𝑓 → 𝑥 <Q (𝑔𝐺ℎ)))
10		genpcd.2	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((((𝐴 ∈ P ∧ 𝑔 ∈ 𝐴) ∧ (𝐵 ∈ P ∧ ℎ ∈ 𝐵)) ∧ 𝑥 ∈ Q) → (𝑥 <Q (𝑔𝐺ℎ) → 𝑥 ∈ (𝐴𝐹𝐵)))
11	9, 10	sylan9r 690	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((((𝐴 ∈ P ∧ 𝑔 ∈ 𝐴) ∧ (𝐵 ∈ P ∧ ℎ ∈ 𝐵)) ∧ 𝑥 ∈ Q) ∧ 𝑓 = (𝑔𝐺ℎ)) → (𝑥 <Q 𝑓 → 𝑥 ∈ (𝐴𝐹𝐵)))
12	11	exp31 630	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝐴 ∈ P ∧ 𝑔 ∈ 𝐴) ∧ (𝐵 ∈ P ∧ ℎ ∈ 𝐵)) → (𝑥 ∈ Q → (𝑓 = (𝑔𝐺ℎ) → (𝑥 <Q 𝑓 → 𝑥 ∈ (𝐴𝐹𝐵)))))
13	12	an4s 869	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝐴 ∈ P ∧ 𝐵 ∈ P) ∧ (𝑔 ∈ 𝐴 ∧ ℎ ∈ 𝐵)) → (𝑥 ∈ Q → (𝑓 = (𝑔𝐺ℎ) → (𝑥 <Q 𝑓 → 𝑥 ∈ (𝐴𝐹𝐵)))))
14	13	impancom 456	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐴 ∈ P ∧ 𝐵 ∈ P) ∧ 𝑥 ∈ Q) → ((𝑔 ∈ 𝐴 ∧ ℎ ∈ 𝐵) → (𝑓 = (𝑔𝐺ℎ) → (𝑥 <Q 𝑓 → 𝑥 ∈ (𝐴𝐹𝐵)))))
15	14	rexlimdvv 3037	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐴 ∈ P ∧ 𝐵 ∈ P) ∧ 𝑥 ∈ Q) → (∃𝑔 ∈ 𝐴 ∃ℎ ∈ 𝐵 𝑓 = (𝑔𝐺ℎ) → (𝑥 <Q 𝑓 → 𝑥 ∈ (𝐴𝐹𝐵))))
16	7, 15	sylbid 230	. . . . . 6 ⊢ (((𝐴 ∈ P ∧ 𝐵 ∈ P) ∧ 𝑥 ∈ Q) → (𝑓 ∈ (𝐴𝐹𝐵) → (𝑥 <Q 𝑓 → 𝑥 ∈ (𝐴𝐹𝐵))))
17	16	ex 450	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ P ∧ 𝐵 ∈ P) → (𝑥 ∈ Q → (𝑓 ∈ (𝐴𝐹𝐵) → (𝑥 <Q 𝑓 → 𝑥 ∈ (𝐴𝐹𝐵)))))
18	3, 17	syl5 34	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ P ∧ 𝐵 ∈ P) → (𝑥 <Q 𝑓 → (𝑓 ∈ (𝐴𝐹𝐵) → (𝑥 <Q 𝑓 → 𝑥 ∈ (𝐴𝐹𝐵)))))
19	18	com34 91	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ P ∧ 𝐵 ∈ P) → (𝑥 <Q 𝑓 → (𝑥 <Q 𝑓 → (𝑓 ∈ (𝐴𝐹𝐵) → 𝑥 ∈ (𝐴𝐹𝐵)))))
20	19	pm2.43d 53	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ P ∧ 𝐵 ∈ P) → (𝑥 <Q 𝑓 → (𝑓 ∈ (𝐴𝐹𝐵) → 𝑥 ∈ (𝐴𝐹𝐵))))
21	20	com23 86	1 ⊢ ((𝐴 ∈ P ∧ 𝐵 ∈ P) → (𝑓 ∈ (𝐴𝐹𝐵) → (𝑥 <Q 𝑓 → 𝑥 ∈ (𝐴𝐹𝐵))))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 196   ∧ wa 384   = wceq 1483   ∈ wcel 1990  {cab 2608  ∃wrex 2913   class class class wbr 4653  (class class class)co 6650   ↦ cmpt2 6652  Qcnq 9674   <_Q cltq 9680  Pcnp 9681

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1722  ax-4 1737  ax-5 1839  ax-6 1888  ax-7 1935  ax-8 1992  ax-9 1999  ax-10 2019  ax-11 2034  ax-12 2047  ax-13 2246  ax-ext 2602  ax-sep 4781  ax-nul 4789  ax-pow 4843  ax-pr 4906  ax-un 6949  ax-inf2 8538

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1038  df-3an 1039  df-tru 1486  df-ex 1705  df-nf 1710  df-sb 1881  df-eu 2474  df-mo 2475  df-clab 2609  df-cleq 2615  df-clel 2618  df-nfc 2753  df-ne 2795  df-ral 2917  df-rex 2918  df-rab 2921  df-v 3202  df-sbc 3436  df-dif 3577  df-un 3579  df-in 3581  df-ss 3588  df-pss 3590  df-nul 3916  df-if 4087  df-pw 4160  df-sn 4178  df-pr 4180  df-tp 4182  df-op 4184  df-uni 4437  df-br 4654  df-opab 4713  df-tr 4753  df-id 5024  df-eprel 5029  df-po 5035  df-so 5036  df-fr 5073  df-we 5075  df-xp 5120  df-rel 5121  df-cnv 5122  df-co 5123  df-dm 5124  df-ord 5726  df-on 5727  df-lim 5728  df-suc 5729  df-iota 5851  df-fun 5890  df-fv 5896  df-ov 6653  df-oprab 6654  df-mpt2 6655  df-om 7066  df-ni 9694  df-nq 9734  df-ltnq 9740  df-np 9803

This theorem is referenced by:  genpcl  9830