Theorem genpnnp 9827

Description: The result of an operation on positive reals is different from the set of positive fractions. (Contributed by NM, 29-Feb-1996.) (Revised by Mario Carneiro, 12-Jun-2013.) (New usage is discouraged.)

Hypotheses

Ref	Expression
genp.1	⊢ 𝐹 = (𝑤 ∈ P, 𝑣 ∈ P ↦ {𝑥 ∣ ∃𝑦 ∈ 𝑤 ∃𝑧 ∈ 𝑣 𝑥 = (𝑦𝐺𝑧)})
genp.2	⊢ ((𝑦 ∈ Q ∧ 𝑧 ∈ Q) → (𝑦𝐺𝑧) ∈ Q)
genpnnp.3	⊢ (𝑧 ∈ Q → (𝑥 <Q 𝑦 ↔ (𝑧𝐺𝑥) <Q (𝑧𝐺𝑦)))
genpnnp.4	⊢ (𝑥𝐺𝑦) = (𝑦𝐺𝑥)

Assertion

Ref	Expression
genpnnp	⊢ ((𝐴 ∈ P ∧ 𝐵 ∈ P) → ¬ (𝐴𝐹𝐵) = Q)

Distinct variable groups:   𝑥,𝑦,𝑧,𝐴   𝑥,𝐵,𝑦,𝑧,𝑤,𝑣   𝑥,𝐺   𝑦,𝑤,𝑣,𝐺,𝑧   𝑤,𝐴,𝑣   𝑤,𝐵,𝑣   𝑤,𝐹,𝑣

Allowed substitution hints:   𝐹(𝑥,𝑦,𝑧)

Proof of Theorem genpnnp

Dummy variables 𝑓 𝑔 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		prpssnq 9812	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∈ P → 𝐴 ⊊ Q)
2		pssnel 4039	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ⊊ Q → ∃𝑤(𝑤 ∈ Q ∧ ¬ 𝑤 ∈ 𝐴))
3	1, 2	syl 17	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ P → ∃𝑤(𝑤 ∈ Q ∧ ¬ 𝑤 ∈ 𝐴))
4		prpssnq 9812	. . . . 5 ⊢ (𝐵 ∈ P → 𝐵 ⊊ Q)
5		pssnel 4039	. . . . 5 ⊢ (𝐵 ⊊ Q → ∃𝑣(𝑣 ∈ Q ∧ ¬ 𝑣 ∈ 𝐵))
6	4, 5	syl 17	. . . 4 ⊢ (𝐵 ∈ P → ∃𝑣(𝑣 ∈ Q ∧ ¬ 𝑣 ∈ 𝐵))
7	3, 6	anim12i 590	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ P ∧ 𝐵 ∈ P) → (∃𝑤(𝑤 ∈ Q ∧ ¬ 𝑤 ∈ 𝐴) ∧ ∃𝑣(𝑣 ∈ Q ∧ ¬ 𝑣 ∈ 𝐵)))
8		eeanv 2182	. . 3 ⊢ (∃𝑤∃𝑣((𝑤 ∈ Q ∧ ¬ 𝑤 ∈ 𝐴) ∧ (𝑣 ∈ Q ∧ ¬ 𝑣 ∈ 𝐵)) ↔ (∃𝑤(𝑤 ∈ Q ∧ ¬ 𝑤 ∈ 𝐴) ∧ ∃𝑣(𝑣 ∈ Q ∧ ¬ 𝑣 ∈ 𝐵)))
9	7, 8	sylibr 224	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ P ∧ 𝐵 ∈ P) → ∃𝑤∃𝑣((𝑤 ∈ Q ∧ ¬ 𝑤 ∈ 𝐴) ∧ (𝑣 ∈ Q ∧ ¬ 𝑣 ∈ 𝐵)))
10		prub 9816	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (((𝐴 ∈ P ∧ 𝑓 ∈ 𝐴) ∧ 𝑤 ∈ Q) → (¬ 𝑤 ∈ 𝐴 → 𝑓 <Q 𝑤))
11		prub 9816	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (((𝐵 ∈ P ∧ 𝑔 ∈ 𝐵) ∧ 𝑣 ∈ Q) → (¬ 𝑣 ∈ 𝐵 → 𝑔 <Q 𝑣))
12	10, 11	im2anan9 880	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((((𝐴 ∈ P ∧ 𝑓 ∈ 𝐴) ∧ 𝑤 ∈ Q) ∧ ((𝐵 ∈ P ∧ 𝑔 ∈ 𝐵) ∧ 𝑣 ∈ Q)) → ((¬ 𝑤 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑣 ∈ 𝐵) → (𝑓 <Q 𝑤 ∧ 𝑔 <Q 𝑣)))
13		elprnq 9813	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ ((𝐴 ∈ P ∧ 𝑓 ∈ 𝐴) → 𝑓 ∈ Q)
14	13	anim1i 592	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (((𝐴 ∈ P ∧ 𝑓 ∈ 𝐴) ∧ 𝑤 ∈ Q) → (𝑓 ∈ Q ∧ 𝑤 ∈ Q))
15		elprnq 9813	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ ((𝐵 ∈ P ∧ 𝑔 ∈ 𝐵) → 𝑔 ∈ Q)
16	15	anim1i 592	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (((𝐵 ∈ P ∧ 𝑔 ∈ 𝐵) ∧ 𝑣 ∈ Q) → (𝑔 ∈ Q ∧ 𝑣 ∈ Q))
17		ltsonq 9791	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ <Q Or Q
18		so2nr 5059	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ (( <Q Or Q ∧ (𝑓 ∈ Q ∧ 𝑤 ∈ Q)) → ¬ (𝑓 <Q 𝑤 ∧ 𝑤 <Q 𝑓))
19	17, 18	mpan 706	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ ((𝑓 ∈ Q ∧ 𝑤 ∈ Q) → ¬ (𝑓 <Q 𝑤 ∧ 𝑤 <Q 𝑓))
20	19	ad2antrr 762	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ ((((𝑓 ∈ Q ∧ 𝑤 ∈ Q) ∧ (𝑔 ∈ Q ∧ 𝑣 ∈ Q)) ∧ (𝑤𝐺𝑣) = (𝑓𝐺𝑔)) → ¬ (𝑓 <Q 𝑤 ∧ 𝑤 <Q 𝑓))
21		simpr 477	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ⊢ ((𝑔 ∈ Q ∧ 𝑣 ∈ Q) → 𝑣 ∈ Q)
22		simpl 473	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ⊢ ((𝑓 ∈ Q ∧ 𝑤 ∈ Q) → 𝑓 ∈ Q)
23	21, 22	anim12i 590	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ (((𝑔 ∈ Q ∧ 𝑣 ∈ Q) ∧ (𝑓 ∈ Q ∧ 𝑤 ∈ Q)) → (𝑣 ∈ Q ∧ 𝑓 ∈ Q))
24	23	ancoms 469	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ (((𝑓 ∈ Q ∧ 𝑤 ∈ Q) ∧ (𝑔 ∈ Q ∧ 𝑣 ∈ Q)) → (𝑣 ∈ Q ∧ 𝑓 ∈ Q))
25		vex 3203	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ⊢ 𝑤 ∈ V
26		vex 3203	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ⊢ 𝑣 ∈ V
27		genpnnp.3	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ⊢ (𝑧 ∈ Q → (𝑥 <Q 𝑦 ↔ (𝑧𝐺𝑥) <Q (𝑧𝐺𝑦)))
28		vex 3203	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ⊢ 𝑓 ∈ V
29		genpnnp.4	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ⊢ (𝑥𝐺𝑦) = (𝑦𝐺𝑥)
30		vex 3203	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ⊢ 𝑔 ∈ V
31	25, 26, 27, 28, 29, 30	caovord3 6847	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ (((𝑣 ∈ Q ∧ 𝑓 ∈ Q) ∧ (𝑤𝐺𝑣) = (𝑓𝐺𝑔)) → (𝑤 <Q 𝑓 ↔ 𝑔 <Q 𝑣))
32	31	anbi2d 740	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ (((𝑣 ∈ Q ∧ 𝑓 ∈ Q) ∧ (𝑤𝐺𝑣) = (𝑓𝐺𝑔)) → ((𝑓 <Q 𝑤 ∧ 𝑤 <Q 𝑓) ↔ (𝑓 <Q 𝑤 ∧ 𝑔 <Q 𝑣)))
33	24, 32	sylan 488	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ ((((𝑓 ∈ Q ∧ 𝑤 ∈ Q) ∧ (𝑔 ∈ Q ∧ 𝑣 ∈ Q)) ∧ (𝑤𝐺𝑣) = (𝑓𝐺𝑔)) → ((𝑓 <Q 𝑤 ∧ 𝑤 <Q 𝑓) ↔ (𝑓 <Q 𝑤 ∧ 𝑔 <Q 𝑣)))
34	20, 33	mtbid 314	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ ((((𝑓 ∈ Q ∧ 𝑤 ∈ Q) ∧ (𝑔 ∈ Q ∧ 𝑣 ∈ Q)) ∧ (𝑤𝐺𝑣) = (𝑓𝐺𝑔)) → ¬ (𝑓 <Q 𝑤 ∧ 𝑔 <Q 𝑣))
35	34	ex 450	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (((𝑓 ∈ Q ∧ 𝑤 ∈ Q) ∧ (𝑔 ∈ Q ∧ 𝑣 ∈ Q)) → ((𝑤𝐺𝑣) = (𝑓𝐺𝑔) → ¬ (𝑓 <Q 𝑤 ∧ 𝑔 <Q 𝑣)))
36	35	con2d 129	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (((𝑓 ∈ Q ∧ 𝑤 ∈ Q) ∧ (𝑔 ∈ Q ∧ 𝑣 ∈ Q)) → ((𝑓 <Q 𝑤 ∧ 𝑔 <Q 𝑣) → ¬ (𝑤𝐺𝑣) = (𝑓𝐺𝑔)))
37	14, 16, 36	syl2an 494	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((((𝐴 ∈ P ∧ 𝑓 ∈ 𝐴) ∧ 𝑤 ∈ Q) ∧ ((𝐵 ∈ P ∧ 𝑔 ∈ 𝐵) ∧ 𝑣 ∈ Q)) → ((𝑓 <Q 𝑤 ∧ 𝑔 <Q 𝑣) → ¬ (𝑤𝐺𝑣) = (𝑓𝐺𝑔)))
38	12, 37	syld 47	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((((𝐴 ∈ P ∧ 𝑓 ∈ 𝐴) ∧ 𝑤 ∈ Q) ∧ ((𝐵 ∈ P ∧ 𝑔 ∈ 𝐵) ∧ 𝑣 ∈ Q)) → ((¬ 𝑤 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑣 ∈ 𝐵) → ¬ (𝑤𝐺𝑣) = (𝑓𝐺𝑔)))
39	38	an4s 869	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((((𝐴 ∈ P ∧ 𝑓 ∈ 𝐴) ∧ (𝐵 ∈ P ∧ 𝑔 ∈ 𝐵)) ∧ (𝑤 ∈ Q ∧ 𝑣 ∈ Q)) → ((¬ 𝑤 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑣 ∈ 𝐵) → ¬ (𝑤𝐺𝑣) = (𝑓𝐺𝑔)))
40	39	ex 450	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝐴 ∈ P ∧ 𝑓 ∈ 𝐴) ∧ (𝐵 ∈ P ∧ 𝑔 ∈ 𝐵)) → ((𝑤 ∈ Q ∧ 𝑣 ∈ Q) → ((¬ 𝑤 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑣 ∈ 𝐵) → ¬ (𝑤𝐺𝑣) = (𝑓𝐺𝑔))))
41	40	an4s 869	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝐴 ∈ P ∧ 𝐵 ∈ P) ∧ (𝑓 ∈ 𝐴 ∧ 𝑔 ∈ 𝐵)) → ((𝑤 ∈ Q ∧ 𝑣 ∈ Q) → ((¬ 𝑤 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑣 ∈ 𝐵) → ¬ (𝑤𝐺𝑣) = (𝑓𝐺𝑔))))
42	41	ex 450	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝐴 ∈ P ∧ 𝐵 ∈ P) → ((𝑓 ∈ 𝐴 ∧ 𝑔 ∈ 𝐵) → ((𝑤 ∈ Q ∧ 𝑣 ∈ Q) → ((¬ 𝑤 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑣 ∈ 𝐵) → ¬ (𝑤𝐺𝑣) = (𝑓𝐺𝑔)))))
43	42	com24 95	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝐴 ∈ P ∧ 𝐵 ∈ P) → ((¬ 𝑤 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑣 ∈ 𝐵) → ((𝑤 ∈ Q ∧ 𝑣 ∈ Q) → ((𝑓 ∈ 𝐴 ∧ 𝑔 ∈ 𝐵) → ¬ (𝑤𝐺𝑣) = (𝑓𝐺𝑔)))))
44	43	imp32 449	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝐴 ∈ P ∧ 𝐵 ∈ P) ∧ ((¬ 𝑤 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑣 ∈ 𝐵) ∧ (𝑤 ∈ Q ∧ 𝑣 ∈ Q))) → ((𝑓 ∈ 𝐴 ∧ 𝑔 ∈ 𝐵) → ¬ (𝑤𝐺𝑣) = (𝑓𝐺𝑔)))
45	44	ralrimivv 2970	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝐴 ∈ P ∧ 𝐵 ∈ P) ∧ ((¬ 𝑤 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑣 ∈ 𝐵) ∧ (𝑤 ∈ Q ∧ 𝑣 ∈ Q))) → ∀𝑓 ∈ 𝐴 ∀𝑔 ∈ 𝐵 ¬ (𝑤𝐺𝑣) = (𝑓𝐺𝑔))
46		ralnex 2992	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (∀𝑔 ∈ 𝐵 ¬ (𝑤𝐺𝑣) = (𝑓𝐺𝑔) ↔ ¬ ∃𝑔 ∈ 𝐵 (𝑤𝐺𝑣) = (𝑓𝐺𝑔))
47	46	ralbii 2980	. . . . . . . . . 10 ⊢ (∀𝑓 ∈ 𝐴 ∀𝑔 ∈ 𝐵 ¬ (𝑤𝐺𝑣) = (𝑓𝐺𝑔) ↔ ∀𝑓 ∈ 𝐴 ¬ ∃𝑔 ∈ 𝐵 (𝑤𝐺𝑣) = (𝑓𝐺𝑔))
48		ralnex 2992	. . . . . . . . . 10 ⊢ (∀𝑓 ∈ 𝐴 ¬ ∃𝑔 ∈ 𝐵 (𝑤𝐺𝑣) = (𝑓𝐺𝑔) ↔ ¬ ∃𝑓 ∈ 𝐴 ∃𝑔 ∈ 𝐵 (𝑤𝐺𝑣) = (𝑓𝐺𝑔))
49	47, 48	bitri 264	. . . . . . . . 9 ⊢ (∀𝑓 ∈ 𝐴 ∀𝑔 ∈ 𝐵 ¬ (𝑤𝐺𝑣) = (𝑓𝐺𝑔) ↔ ¬ ∃𝑓 ∈ 𝐴 ∃𝑔 ∈ 𝐵 (𝑤𝐺𝑣) = (𝑓𝐺𝑔))
50	45, 49	sylib 208	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐴 ∈ P ∧ 𝐵 ∈ P) ∧ ((¬ 𝑤 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑣 ∈ 𝐵) ∧ (𝑤 ∈ Q ∧ 𝑣 ∈ Q))) → ¬ ∃𝑓 ∈ 𝐴 ∃𝑔 ∈ 𝐵 (𝑤𝐺𝑣) = (𝑓𝐺𝑔))
51		genp.1	. . . . . . . . . 10 ⊢ 𝐹 = (𝑤 ∈ P, 𝑣 ∈ P ↦ {𝑥 ∣ ∃𝑦 ∈ 𝑤 ∃𝑧 ∈ 𝑣 𝑥 = (𝑦𝐺𝑧)})
52		genp.2	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑦 ∈ Q ∧ 𝑧 ∈ Q) → (𝑦𝐺𝑧) ∈ Q)
53	51, 52	genpelv 9822	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐴 ∈ P ∧ 𝐵 ∈ P) → ((𝑤𝐺𝑣) ∈ (𝐴𝐹𝐵) ↔ ∃𝑓 ∈ 𝐴 ∃𝑔 ∈ 𝐵 (𝑤𝐺𝑣) = (𝑓𝐺𝑔)))
54	53	adantr 481	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐴 ∈ P ∧ 𝐵 ∈ P) ∧ ((¬ 𝑤 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑣 ∈ 𝐵) ∧ (𝑤 ∈ Q ∧ 𝑣 ∈ Q))) → ((𝑤𝐺𝑣) ∈ (𝐴𝐹𝐵) ↔ ∃𝑓 ∈ 𝐴 ∃𝑔 ∈ 𝐵 (𝑤𝐺𝑣) = (𝑓𝐺𝑔)))
55	50, 54	mtbird 315	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐴 ∈ P ∧ 𝐵 ∈ P) ∧ ((¬ 𝑤 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑣 ∈ 𝐵) ∧ (𝑤 ∈ Q ∧ 𝑣 ∈ Q))) → ¬ (𝑤𝐺𝑣) ∈ (𝐴𝐹𝐵))
56	55	expcom 451	. . . . . 6 ⊢ (((¬ 𝑤 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑣 ∈ 𝐵) ∧ (𝑤 ∈ Q ∧ 𝑣 ∈ Q)) → ((𝐴 ∈ P ∧ 𝐵 ∈ P) → ¬ (𝑤𝐺𝑣) ∈ (𝐴𝐹𝐵)))
57	56	ancoms 469	. . . . 5 ⊢ (((𝑤 ∈ Q ∧ 𝑣 ∈ Q) ∧ (¬ 𝑤 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑣 ∈ 𝐵)) → ((𝐴 ∈ P ∧ 𝐵 ∈ P) → ¬ (𝑤𝐺𝑣) ∈ (𝐴𝐹𝐵)))
58	57	an4s 869	. . . 4 ⊢ (((𝑤 ∈ Q ∧ ¬ 𝑤 ∈ 𝐴) ∧ (𝑣 ∈ Q ∧ ¬ 𝑣 ∈ 𝐵)) → ((𝐴 ∈ P ∧ 𝐵 ∈ P) → ¬ (𝑤𝐺𝑣) ∈ (𝐴𝐹𝐵)))
59	52	caovcl 6828	. . . . . 6 ⊢ ((𝑤 ∈ Q ∧ 𝑣 ∈ Q) → (𝑤𝐺𝑣) ∈ Q)
60		eleq2 2690	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐴𝐹𝐵) = Q → ((𝑤𝐺𝑣) ∈ (𝐴𝐹𝐵) ↔ (𝑤𝐺𝑣) ∈ Q))
61	60	biimprcd 240	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑤𝐺𝑣) ∈ Q → ((𝐴𝐹𝐵) = Q → (𝑤𝐺𝑣) ∈ (𝐴𝐹𝐵)))
62	61	con3d 148	. . . . . 6 ⊢ ((𝑤𝐺𝑣) ∈ Q → (¬ (𝑤𝐺𝑣) ∈ (𝐴𝐹𝐵) → ¬ (𝐴𝐹𝐵) = Q))
63	59, 62	syl 17	. . . . 5 ⊢ ((𝑤 ∈ Q ∧ 𝑣 ∈ Q) → (¬ (𝑤𝐺𝑣) ∈ (𝐴𝐹𝐵) → ¬ (𝐴𝐹𝐵) = Q))
64	63	ad2ant2r 783	. . . 4 ⊢ (((𝑤 ∈ Q ∧ ¬ 𝑤 ∈ 𝐴) ∧ (𝑣 ∈ Q ∧ ¬ 𝑣 ∈ 𝐵)) → (¬ (𝑤𝐺𝑣) ∈ (𝐴𝐹𝐵) → ¬ (𝐴𝐹𝐵) = Q))
65	58, 64	syldc 48	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ P ∧ 𝐵 ∈ P) → (((𝑤 ∈ Q ∧ ¬ 𝑤 ∈ 𝐴) ∧ (𝑣 ∈ Q ∧ ¬ 𝑣 ∈ 𝐵)) → ¬ (𝐴𝐹𝐵) = Q))
66	65	exlimdvv 1862	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ P ∧ 𝐵 ∈ P) → (∃𝑤∃𝑣((𝑤 ∈ Q ∧ ¬ 𝑤 ∈ 𝐴) ∧ (𝑣 ∈ Q ∧ ¬ 𝑣 ∈ 𝐵)) → ¬ (𝐴𝐹𝐵) = Q))
67	9, 66	mpd 15	1 ⊢ ((𝐴 ∈ P ∧ 𝐵 ∈ P) → ¬ (𝐴𝐹𝐵) = Q)

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ↔ wb 196   ∧ wa 384   = wceq 1483  ∃wex 1704   ∈ wcel 1990  {cab 2608  ∀wral 2912  ∃wrex 2913   ⊊ wpss 3575   class class class wbr 4653   Or wor 5034  (class class class)co 6650   ↦ cmpt2 6652  Qcnq 9674   <_Q cltq 9680  Pcnp 9681

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1722  ax-4 1737  ax-5 1839  ax-6 1888  ax-7 1935  ax-8 1992  ax-9 1999  ax-10 2019  ax-11 2034  ax-12 2047  ax-13 2246  ax-ext 2602  ax-sep 4781  ax-nul 4789  ax-pow 4843  ax-pr 4906  ax-un 6949  ax-inf2 8538

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1038  df-3an 1039  df-tru 1486  df-ex 1705  df-nf 1710  df-sb 1881  df-eu 2474  df-mo 2475  df-clab 2609  df-cleq 2615  df-clel 2618  df-nfc 2753  df-ne 2795  df-ral 2917  df-rex 2918  df-reu 2919  df-rmo 2920  df-rab 2921  df-v 3202  df-sbc 3436  df-csb 3534  df-dif 3577  df-un 3579  df-in 3581  df-ss 3588  df-pss 3590  df-nul 3916  df-if 4087  df-pw 4160  df-sn 4178  df-pr 4180  df-tp 4182  df-op 4184  df-uni 4437  df-iun 4522  df-br 4654  df-opab 4713  df-mpt 4730  df-tr 4753  df-id 5024  df-eprel 5029  df-po 5035  df-so 5036  df-fr 5073  df-we 5075  df-xp 5120  df-rel 5121  df-cnv 5122  df-co 5123  df-dm 5124  df-rn 5125  df-res 5126  df-ima 5127  df-pred 5680  df-ord 5726  df-on 5727  df-lim 5728  df-suc 5729  df-iota 5851  df-fun 5890  df-fn 5891  df-f 5892  df-f1 5893  df-fo 5894  df-f1o 5895  df-fv 5896  df-ov 6653  df-oprab 6654  df-mpt2 6655  df-om 7066  df-1st 7168  df-2nd 7169  df-wrecs 7407  df-recs 7468  df-rdg 7506  df-oadd 7564  df-omul 7565  df-er 7742  df-ni 9694  df-mi 9696  df-lti 9697  df-ltpq 9732  df-enq 9733  df-nq 9734  df-ltnq 9740  df-np 9803

This theorem is referenced by:  genpcl  9830