Theorem genpcl 9830

Description: Closure of an operation on reals. (Contributed by NM, 13-Mar-1996.) (Revised by Mario Carneiro, 17-Nov-2014.) (New usage is discouraged.)

Hypotheses

Ref	Expression
genp.1	⊢ 𝐹 = (𝑤 ∈ P, 𝑣 ∈ P ↦ {𝑥 ∣ ∃𝑦 ∈ 𝑤 ∃𝑧 ∈ 𝑣 𝑥 = (𝑦𝐺𝑧)})
genp.2	⊢ ((𝑦 ∈ Q ∧ 𝑧 ∈ Q) → (𝑦𝐺𝑧) ∈ Q)
genpcl.3	⊢ (ℎ ∈ Q → (𝑓 <Q 𝑔 ↔ (ℎ𝐺𝑓) <Q (ℎ𝐺𝑔)))
genpcl.4	⊢ (𝑥𝐺𝑦) = (𝑦𝐺𝑥)
genpcl.5	⊢ ((((𝐴 ∈ P ∧ 𝑔 ∈ 𝐴) ∧ (𝐵 ∈ P ∧ ℎ ∈ 𝐵)) ∧ 𝑥 ∈ Q) → (𝑥 <Q (𝑔𝐺ℎ) → 𝑥 ∈ (𝐴𝐹𝐵)))

Assertion

Ref	Expression
genpcl	⊢ ((𝐴 ∈ P ∧ 𝐵 ∈ P) → (𝐴𝐹𝐵) ∈ P)

Distinct variable groups:   𝑥,𝑦,𝑧,𝑓,𝑔,ℎ,𝐴   𝑥,𝐵,𝑦,𝑧,𝑓,𝑔,ℎ,𝑤,𝑣   𝑥,𝐺   𝑦,𝑤,𝑣,𝐺,𝑧,𝑓,𝑔,ℎ   𝑓,𝐹,𝑔   𝑤,𝐴,𝑣   𝑤,𝐵,𝑣   𝑥,𝐹,𝑦,𝑤,𝑣,ℎ

Allowed substitution hint:   𝐹(𝑧)

Proof of Theorem genpcl

Step	Hyp	Ref	Expression
1		genp.1	. . . 4 ⊢ 𝐹 = (𝑤 ∈ P, 𝑣 ∈ P ↦ {𝑥 ∣ ∃𝑦 ∈ 𝑤 ∃𝑧 ∈ 𝑣 𝑥 = (𝑦𝐺𝑧)})
2		genp.2	. . . 4 ⊢ ((𝑦 ∈ Q ∧ 𝑧 ∈ Q) → (𝑦𝐺𝑧) ∈ Q)
3	1, 2	genpn0 9825	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ P ∧ 𝐵 ∈ P) → ∅ ⊊ (𝐴𝐹𝐵))
4	1, 2	genpss 9826	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ P ∧ 𝐵 ∈ P) → (𝐴𝐹𝐵) ⊆ Q)
5		vex 3203	. . . . . 6 ⊢ 𝑥 ∈ V
6		vex 3203	. . . . . 6 ⊢ 𝑦 ∈ V
7		genpcl.3	. . . . . 6 ⊢ (ℎ ∈ Q → (𝑓 <Q 𝑔 ↔ (ℎ𝐺𝑓) <Q (ℎ𝐺𝑔)))
8	5, 6, 7	caovord 6845	. . . . 5 ⊢ (𝑧 ∈ Q → (𝑥 <Q 𝑦 ↔ (𝑧𝐺𝑥) <Q (𝑧𝐺𝑦)))
9		genpcl.4	. . . . 5 ⊢ (𝑥𝐺𝑦) = (𝑦𝐺𝑥)
10	1, 2, 8, 9	genpnnp 9827	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ P ∧ 𝐵 ∈ P) → ¬ (𝐴𝐹𝐵) = Q)
11		dfpss2 3692	. . . 4 ⊢ ((𝐴𝐹𝐵) ⊊ Q ↔ ((𝐴𝐹𝐵) ⊆ Q ∧ ¬ (𝐴𝐹𝐵) = Q))
12	4, 10, 11	sylanbrc 698	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ P ∧ 𝐵 ∈ P) → (𝐴𝐹𝐵) ⊊ Q)
13		genpcl.5	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝐴 ∈ P ∧ 𝑔 ∈ 𝐴) ∧ (𝐵 ∈ P ∧ ℎ ∈ 𝐵)) ∧ 𝑥 ∈ Q) → (𝑥 <Q (𝑔𝐺ℎ) → 𝑥 ∈ (𝐴𝐹𝐵)))
14	1, 2, 13	genpcd 9828	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ P ∧ 𝐵 ∈ P) → (𝑓 ∈ (𝐴𝐹𝐵) → (𝑥 <Q 𝑓 → 𝑥 ∈ (𝐴𝐹𝐵))))
15	14	alrimdv 1857	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ P ∧ 𝐵 ∈ P) → (𝑓 ∈ (𝐴𝐹𝐵) → ∀𝑥(𝑥 <Q 𝑓 → 𝑥 ∈ (𝐴𝐹𝐵))))
16		vex 3203	. . . . . . 7 ⊢ 𝑧 ∈ V
17		vex 3203	. . . . . . 7 ⊢ 𝑤 ∈ V
18	16, 17, 7	caovord 6845	. . . . . 6 ⊢ (𝑣 ∈ Q → (𝑧 <Q 𝑤 ↔ (𝑣𝐺𝑧) <Q (𝑣𝐺𝑤)))
19	16, 17, 9	caovcom 6831	. . . . . 6 ⊢ (𝑧𝐺𝑤) = (𝑤𝐺𝑧)
20	1, 2, 18, 19	genpnmax 9829	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ P ∧ 𝐵 ∈ P) → (𝑓 ∈ (𝐴𝐹𝐵) → ∃𝑥 ∈ (𝐴𝐹𝐵)𝑓 <Q 𝑥))
21	15, 20	jcad 555	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ P ∧ 𝐵 ∈ P) → (𝑓 ∈ (𝐴𝐹𝐵) → (∀𝑥(𝑥 <Q 𝑓 → 𝑥 ∈ (𝐴𝐹𝐵)) ∧ ∃𝑥 ∈ (𝐴𝐹𝐵)𝑓 <Q 𝑥)))
22	21	ralrimiv 2965	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ P ∧ 𝐵 ∈ P) → ∀𝑓 ∈ (𝐴𝐹𝐵)(∀𝑥(𝑥 <Q 𝑓 → 𝑥 ∈ (𝐴𝐹𝐵)) ∧ ∃𝑥 ∈ (𝐴𝐹𝐵)𝑓 <Q 𝑥))
23	3, 12, 22	jca31 557	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ P ∧ 𝐵 ∈ P) → ((∅ ⊊ (𝐴𝐹𝐵) ∧ (𝐴𝐹𝐵) ⊊ Q) ∧ ∀𝑓 ∈ (𝐴𝐹𝐵)(∀𝑥(𝑥 <Q 𝑓 → 𝑥 ∈ (𝐴𝐹𝐵)) ∧ ∃𝑥 ∈ (𝐴𝐹𝐵)𝑓 <Q 𝑥)))
24		elnp 9809	. 2 ⊢ ((𝐴𝐹𝐵) ∈ P ↔ ((∅ ⊊ (𝐴𝐹𝐵) ∧ (𝐴𝐹𝐵) ⊊ Q) ∧ ∀𝑓 ∈ (𝐴𝐹𝐵)(∀𝑥(𝑥 <Q 𝑓 → 𝑥 ∈ (𝐴𝐹𝐵)) ∧ ∃𝑥 ∈ (𝐴𝐹𝐵)𝑓 <Q 𝑥)))
25	23, 24	sylibr 224	1 ⊢ ((𝐴 ∈ P ∧ 𝐵 ∈ P) → (𝐴𝐹𝐵) ∈ P)

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ↔ wb 196   ∧ wa 384  ∀wal 1481   = wceq 1483   ∈ wcel 1990  {cab 2608  ∀wral 2912  ∃wrex 2913   ⊆ wss 3574   ⊊ wpss 3575  ∅c0 3915   class class class wbr 4653  (class class class)co 6650   ↦ cmpt2 6652  Qcnq 9674   <_Q cltq 9680  Pcnp 9681

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1722  ax-4 1737  ax-5 1839  ax-6 1888  ax-7 1935  ax-8 1992  ax-9 1999  ax-10 2019  ax-11 2034  ax-12 2047  ax-13 2246  ax-ext 2602  ax-sep 4781  ax-nul 4789  ax-pow 4843  ax-pr 4906  ax-un 6949  ax-inf2 8538

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1038  df-3an 1039  df-tru 1486  df-ex 1705  df-nf 1710  df-sb 1881  df-eu 2474  df-mo 2475  df-clab 2609  df-cleq 2615  df-clel 2618  df-nfc 2753  df-ne 2795  df-ral 2917  df-rex 2918  df-reu 2919  df-rmo 2920  df-rab 2921  df-v 3202  df-sbc 3436  df-csb 3534  df-dif 3577  df-un 3579  df-in 3581  df-ss 3588  df-pss 3590  df-nul 3916  df-if 4087  df-pw 4160  df-sn 4178  df-pr 4180  df-tp 4182  df-op 4184  df-uni 4437  df-iun 4522  df-br 4654  df-opab 4713  df-mpt 4730  df-tr 4753  df-id 5024  df-eprel 5029  df-po 5035  df-so 5036  df-fr 5073  df-we 5075  df-xp 5120  df-rel 5121  df-cnv 5122  df-co 5123  df-dm 5124  df-rn 5125  df-res 5126  df-ima 5127  df-pred 5680  df-ord 5726  df-on 5727  df-lim 5728  df-suc 5729  df-iota 5851  df-fun 5890  df-fn 5891  df-f 5892  df-f1 5893  df-fo 5894  df-f1o 5895  df-fv 5896  df-ov 6653  df-oprab 6654  df-mpt2 6655  df-om 7066  df-1st 7168  df-2nd 7169  df-wrecs 7407  df-recs 7468  df-rdg 7506  df-oadd 7564  df-omul 7565  df-er 7742  df-ni 9694  df-mi 9696  df-lti 9697  df-ltpq 9732  df-enq 9733  df-nq 9734  df-ltnq 9740  df-np 9803

This theorem is referenced by:  addclpr  9840  mulclpr  9842