Theorem iundom 9364

Description: An upper bound for the cardinality of an indexed union. 𝐶 depends on 𝑥 and should be thought of as 𝐶(𝑥). (Contributed by NM, 26-Mar-2006.)

Assertion

Ref	Expression
iundom	⊢ ((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐴 𝐶 ≼ 𝐵) → ∪ 𝑥 ∈ 𝐴 𝐶 ≼ (𝐴 × 𝐵))

Distinct variable groups:   𝑥,𝐴   𝑥,𝐵

Allowed substitution hints:   𝐶(𝑥)   𝑉(𝑥)

Proof of Theorem iundom

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eqid 2622	. 2 ⊢ ∪ 𝑥 ∈ 𝐴 ({𝑥} × 𝐶) = ∪ 𝑥 ∈ 𝐴 ({𝑥} × 𝐶)
2		simpl 473	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐴 𝐶 ≼ 𝐵) → 𝐴 ∈ 𝑉)
3		ovex 6678	. . . . . 6 ⊢ (𝐵 ↑𝑚 𝐶) ∈ V
4	3	rgenw 2924	. . . . 5 ⊢ ∀𝑥 ∈ 𝐴 (𝐵 ↑𝑚 𝐶) ∈ V
5		iunexg 7143	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐴 (𝐵 ↑𝑚 𝐶) ∈ V) → ∪ 𝑥 ∈ 𝐴 (𝐵 ↑𝑚 𝐶) ∈ V)
6	2, 4, 5	sylancl 694	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐴 𝐶 ≼ 𝐵) → ∪ 𝑥 ∈ 𝐴 (𝐵 ↑𝑚 𝐶) ∈ V)
7		numth3 9292	. . . 4 ⊢ (∪ 𝑥 ∈ 𝐴 (𝐵 ↑𝑚 𝐶) ∈ V → ∪ 𝑥 ∈ 𝐴 (𝐵 ↑𝑚 𝐶) ∈ dom card)
8	6, 7	syl 17	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐴 𝐶 ≼ 𝐵) → ∪ 𝑥 ∈ 𝐴 (𝐵 ↑𝑚 𝐶) ∈ dom card)
9		numacn 8872	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ 𝑉 → (∪ 𝑥 ∈ 𝐴 (𝐵 ↑𝑚 𝐶) ∈ dom card → ∪ 𝑥 ∈ 𝐴 (𝐵 ↑𝑚 𝐶) ∈ AC 𝐴))
10	2, 8, 9	sylc 65	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐴 𝐶 ≼ 𝐵) → ∪ 𝑥 ∈ 𝐴 (𝐵 ↑𝑚 𝐶) ∈ AC 𝐴)
11		simpr 477	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐴 𝐶 ≼ 𝐵) → ∀𝑥 ∈ 𝐴 𝐶 ≼ 𝐵)
12		reldom 7961	. . . . . 6 ⊢ Rel ≼
13	12	brrelexi 5158	. . . . 5 ⊢ (𝐶 ≼ 𝐵 → 𝐶 ∈ V)
14	13	ralimi 2952	. . . 4 ⊢ (∀𝑥 ∈ 𝐴 𝐶 ≼ 𝐵 → ∀𝑥 ∈ 𝐴 𝐶 ∈ V)
15		iunexg 7143	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐴 𝐶 ∈ V) → ∪ 𝑥 ∈ 𝐴 𝐶 ∈ V)
16	14, 15	sylan2 491	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐴 𝐶 ≼ 𝐵) → ∪ 𝑥 ∈ 𝐴 𝐶 ∈ V)
17	1, 10, 11	iundom2g 9362	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐴 𝐶 ≼ 𝐵) → ∪ 𝑥 ∈ 𝐴 ({𝑥} × 𝐶) ≼ (𝐴 × 𝐵))
18	12	brrelex2i 5159	. . . 4 ⊢ (∪ 𝑥 ∈ 𝐴 ({𝑥} × 𝐶) ≼ (𝐴 × 𝐵) → (𝐴 × 𝐵) ∈ V)
19		numth3 9292	. . . 4 ⊢ ((𝐴 × 𝐵) ∈ V → (𝐴 × 𝐵) ∈ dom card)
20	17, 18, 19	3syl 18	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐴 𝐶 ≼ 𝐵) → (𝐴 × 𝐵) ∈ dom card)
21		numacn 8872	. . 3 ⊢ (∪ 𝑥 ∈ 𝐴 𝐶 ∈ V → ((𝐴 × 𝐵) ∈ dom card → (𝐴 × 𝐵) ∈ AC ∪ 𝑥 ∈ 𝐴 𝐶))
22	16, 20, 21	sylc 65	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐴 𝐶 ≼ 𝐵) → (𝐴 × 𝐵) ∈ AC ∪ 𝑥 ∈ 𝐴 𝐶)
23	1, 10, 11, 22	iundomg 9363	1 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐴 𝐶 ≼ 𝐵) → ∪ 𝑥 ∈ 𝐴 𝐶 ≼ (𝐴 × 𝐵))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 384   ∈ wcel 1990  ∀wral 2912  Vcvv 3200  {csn 4177  ∪ ciun 4520   class class class wbr 4653   × cxp 5112  dom cdm 5114  (class class class)co 6650   ↑_𝑚 cmap 7857   ≼ cdom 7953  cardccrd 8761  AC wacn 8764

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1722  ax-4 1737  ax-5 1839  ax-6 1888  ax-7 1935  ax-8 1992  ax-9 1999  ax-10 2019  ax-11 2034  ax-12 2047  ax-13 2246  ax-ext 2602  ax-rep 4771  ax-sep 4781  ax-nul 4789  ax-pow 4843  ax-pr 4906  ax-un 6949  ax-ac2 9285

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1038  df-3an 1039  df-tru 1486  df-ex 1705  df-nf 1710  df-sb 1881  df-eu 2474  df-mo 2475  df-clab 2609  df-cleq 2615  df-clel 2618  df-nfc 2753  df-ne 2795  df-ral 2917  df-rex 2918  df-reu 2919  df-rmo 2920  df-rab 2921  df-v 3202  df-sbc 3436  df-csb 3534  df-dif 3577  df-un 3579  df-in 3581  df-ss 3588  df-pss 3590  df-nul 3916  df-if 4087  df-pw 4160  df-sn 4178  df-pr 4180  df-tp 4182  df-op 4184  df-uni 4437  df-int 4476  df-iun 4522  df-br 4654  df-opab 4713  df-mpt 4730  df-tr 4753  df-id 5024  df-eprel 5029  df-po 5035  df-so 5036  df-fr 5073  df-se 5074  df-we 5075  df-xp 5120  df-rel 5121  df-cnv 5122  df-co 5123  df-dm 5124  df-rn 5125  df-res 5126  df-ima 5127  df-pred 5680  df-ord 5726  df-on 5727  df-suc 5729  df-iota 5851  df-fun 5890  df-fn 5891  df-f 5892  df-f1 5893  df-fo 5894  df-f1o 5895  df-fv 5896  df-isom 5897  df-riota 6611  df-ov 6653  df-oprab 6654  df-mpt2 6655  df-1st 7168  df-2nd 7169  df-wrecs 7407  df-recs 7468  df-er 7742  df-map 7859  df-en 7956  df-dom 7957  df-card 8765  df-acn 8768  df-ac 8939

This theorem is referenced by:  unidom  9365  alephreg  9404  inar1  9597