Theorem lcomfsupp 18903

Description: A linear-combination sum is finitely supported if the coefficients are. (Contributed by Stefan O'Rear, 28-Feb-2015.) (Revised by AV, 15-Jul-2019.)

Hypotheses

Ref	Expression
lcomf.f	⊢ 𝐹 = (Scalar‘𝑊)
lcomf.k	⊢ 𝐾 = (Base‘𝐹)
lcomf.s	⊢ · = ( ·𝑠 ‘𝑊)
lcomf.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝑊)
lcomf.w	⊢ (𝜑 → 𝑊 ∈ LMod)
lcomf.g	⊢ (𝜑 → 𝐺:𝐼⟶𝐾)
lcomf.h	⊢ (𝜑 → 𝐻:𝐼⟶𝐵)
lcomf.i	⊢ (𝜑 → 𝐼 ∈ 𝑉)
lcomfsupp.z	⊢ 0 = (0g‘𝑊)
lcomfsupp.y	⊢ 𝑌 = (0g‘𝐹)
lcomfsupp.j	⊢ (𝜑 → 𝐺 finSupp 𝑌)

Assertion

Ref	Expression
lcomfsupp	⊢ (𝜑 → (𝐺 ∘𝑓 · 𝐻) finSupp 0 )

Proof of Theorem lcomfsupp

Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		lcomfsupp.j	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐺 finSupp 𝑌)
2	1	fsuppimpd 8282	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝐺 supp 𝑌) ∈ Fin)
3		lcomf.f	. . . . 5 ⊢ 𝐹 = (Scalar‘𝑊)
4		lcomf.k	. . . . 5 ⊢ 𝐾 = (Base‘𝐹)
5		lcomf.s	. . . . 5 ⊢ · = ( ·𝑠 ‘𝑊)
6		lcomf.b	. . . . 5 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝑊)
7		lcomf.w	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑊 ∈ LMod)
8		lcomf.g	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐺:𝐼⟶𝐾)
9		lcomf.h	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐻:𝐼⟶𝐵)
10		lcomf.i	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐼 ∈ 𝑉)
11	3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10	lcomf 18902	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝐺 ∘𝑓 · 𝐻):𝐼⟶𝐵)
12		eldifi 3732	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 ∈ (𝐼 ∖ (𝐺 supp 𝑌)) → 𝑥 ∈ 𝐼)
13		ffn 6045	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐺:𝐼⟶𝐾 → 𝐺 Fn 𝐼)
14	8, 13	syl 17	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝐺 Fn 𝐼)
15	14	adantr 481	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐼) → 𝐺 Fn 𝐼)
16		ffn 6045	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐻:𝐼⟶𝐵 → 𝐻 Fn 𝐼)
17	9, 16	syl 17	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝐻 Fn 𝐼)
18	17	adantr 481	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐼) → 𝐻 Fn 𝐼)
19	10	adantr 481	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐼) → 𝐼 ∈ 𝑉)
20		simpr 477	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐼) → 𝑥 ∈ 𝐼)
21		fnfvof 6911	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐺 Fn 𝐼 ∧ 𝐻 Fn 𝐼) ∧ (𝐼 ∈ 𝑉 ∧ 𝑥 ∈ 𝐼)) → ((𝐺 ∘𝑓 · 𝐻)‘𝑥) = ((𝐺‘𝑥) · (𝐻‘𝑥)))
22	15, 18, 19, 20, 21	syl22anc 1327	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐼) → ((𝐺 ∘𝑓 · 𝐻)‘𝑥) = ((𝐺‘𝑥) · (𝐻‘𝑥)))
23	12, 22	sylan2 491	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝐼 ∖ (𝐺 supp 𝑌))) → ((𝐺 ∘𝑓 · 𝐻)‘𝑥) = ((𝐺‘𝑥) · (𝐻‘𝑥)))
24		ssid 3624	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐺 supp 𝑌) ⊆ (𝐺 supp 𝑌)
25	24	a1i 11	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (𝐺 supp 𝑌) ⊆ (𝐺 supp 𝑌))
26		lcomfsupp.y	. . . . . . . . 9 ⊢ 𝑌 = (0g‘𝐹)
27		fvex 6201	. . . . . . . . 9 ⊢ (0g‘𝐹) ∈ V
28	26, 27	eqeltri 2697	. . . . . . . 8 ⊢ 𝑌 ∈ V
29	28	a1i 11	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝑌 ∈ V)
30	8, 25, 10, 29	suppssr 7326	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝐼 ∖ (𝐺 supp 𝑌))) → (𝐺‘𝑥) = 𝑌)
31	30	oveq1d 6665	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝐼 ∖ (𝐺 supp 𝑌))) → ((𝐺‘𝑥) · (𝐻‘𝑥)) = (𝑌 · (𝐻‘𝑥)))
32	7	adantr 481	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐼) → 𝑊 ∈ LMod)
33	9	ffvelrnda 6359	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐼) → (𝐻‘𝑥) ∈ 𝐵)
34		lcomfsupp.z	. . . . . . . 8 ⊢ 0 = (0g‘𝑊)
35	6, 3, 5, 26, 34	lmod0vs 18896	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ (𝐻‘𝑥) ∈ 𝐵) → (𝑌 · (𝐻‘𝑥)) = 0 )
36	32, 33, 35	syl2anc 693	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐼) → (𝑌 · (𝐻‘𝑥)) = 0 )
37	12, 36	sylan2 491	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝐼 ∖ (𝐺 supp 𝑌))) → (𝑌 · (𝐻‘𝑥)) = 0 )
38	23, 31, 37	3eqtrd 2660	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝐼 ∖ (𝐺 supp 𝑌))) → ((𝐺 ∘𝑓 · 𝐻)‘𝑥) = 0 )
39	11, 38	suppss 7325	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((𝐺 ∘𝑓 · 𝐻) supp 0 ) ⊆ (𝐺 supp 𝑌))
40		ssfi 8180	. . 3 ⊢ (((𝐺 supp 𝑌) ∈ Fin ∧ ((𝐺 ∘𝑓 · 𝐻) supp 0 ) ⊆ (𝐺 supp 𝑌)) → ((𝐺 ∘𝑓 · 𝐻) supp 0 ) ∈ Fin)
41	2, 39, 40	syl2anc 693	. 2 ⊢ (𝜑 → ((𝐺 ∘𝑓 · 𝐻) supp 0 ) ∈ Fin)
42		inidm 3822	. . . . 5 ⊢ (𝐼 ∩ 𝐼) = 𝐼
43	14, 17, 10, 10, 42	offn 6908	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝐺 ∘𝑓 · 𝐻) Fn 𝐼)
44		fnfun 5988	. . . 4 ⊢ ((𝐺 ∘𝑓 · 𝐻) Fn 𝐼 → Fun (𝐺 ∘𝑓 · 𝐻))
45	43, 44	syl 17	. . 3 ⊢ (𝜑 → Fun (𝐺 ∘𝑓 · 𝐻))
46		ovexd 6680	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝐺 ∘𝑓 · 𝐻) ∈ V)
47		fvex 6201	. . . . 5 ⊢ (0g‘𝑊) ∈ V
48	34, 47	eqeltri 2697	. . . 4 ⊢ 0 ∈ V
49	48	a1i 11	. . 3 ⊢ (𝜑 → 0 ∈ V)
50		funisfsupp 8280	. . 3 ⊢ ((Fun (𝐺 ∘𝑓 · 𝐻) ∧ (𝐺 ∘𝑓 · 𝐻) ∈ V ∧ 0 ∈ V) → ((𝐺 ∘𝑓 · 𝐻) finSupp 0 ↔ ((𝐺 ∘𝑓 · 𝐻) supp 0 ) ∈ Fin))
51	45, 46, 49, 50	syl3anc 1326	. 2 ⊢ (𝜑 → ((𝐺 ∘𝑓 · 𝐻) finSupp 0 ↔ ((𝐺 ∘𝑓 · 𝐻) supp 0 ) ∈ Fin))
52	41, 51	mpbird 247	1 ⊢ (𝜑 → (𝐺 ∘𝑓 · 𝐻) finSupp 0 )

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 196   ∧ wa 384   = wceq 1483   ∈ wcel 1990  Vcvv 3200   ∖ cdif 3571   ⊆ wss 3574   class class class wbr 4653  Fun wfun 5882   Fn wfn 5883  ⟶wf 5884  ‘cfv 5888  (class class class)co 6650   ∘_𝑓 cof 6895   supp csupp 7295  Fincfn 7955   finSupp cfsupp 8275  Basecbs 15857  Scalarcsca 15944   ·_𝑠 cvsca 15945  0_gc0g 16100  LModclmod 18863

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1722  ax-4 1737  ax-5 1839  ax-6 1888  ax-7 1935  ax-8 1992  ax-9 1999  ax-10 2019  ax-11 2034  ax-12 2047  ax-13 2246  ax-ext 2602  ax-rep 4771  ax-sep 4781  ax-nul 4789  ax-pow 4843  ax-pr 4906  ax-un 6949

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1038  df-3an 1039  df-tru 1486  df-ex 1705  df-nf 1710  df-sb 1881  df-eu 2474  df-mo 2475  df-clab 2609  df-cleq 2615  df-clel 2618  df-nfc 2753  df-ne 2795  df-ral 2917  df-rex 2918  df-reu 2919  df-rmo 2920  df-rab 2921  df-v 3202  df-sbc 3436  df-csb 3534  df-dif 3577  df-un 3579  df-in 3581  df-ss 3588  df-pss 3590  df-nul 3916  df-if 4087  df-pw 4160  df-sn 4178  df-pr 4180  df-tp 4182  df-op 4184  df-uni 4437  df-iun 4522  df-br 4654  df-opab 4713  df-mpt 4730  df-tr 4753  df-id 5024  df-eprel 5029  df-po 5035  df-so 5036  df-fr 5073  df-we 5075  df-xp 5120  df-rel 5121  df-cnv 5122  df-co 5123  df-dm 5124  df-rn 5125  df-res 5126  df-ima 5127  df-ord 5726  df-on 5727  df-lim 5728  df-suc 5729  df-iota 5851  df-fun 5890  df-fn 5891  df-f 5892  df-f1 5893  df-fo 5894  df-f1o 5895  df-fv 5896  df-riota 6611  df-ov 6653  df-oprab 6654  df-mpt2 6655  df-of 6897  df-om 7066  df-supp 7296  df-er 7742  df-en 7956  df-fin 7959  df-fsupp 8276  df-0g 16102  df-mgm 17242  df-sgrp 17284  df-mnd 17295  df-grp 17425  df-ring 18549  df-lmod 18865

This theorem is referenced by:  islindf4  20177