Theorem fsuppimpd 8282

Description: A finitely supported function is a function with a finite support. (Contributed by AV, 6-Jun-2019.)

Hypothesis

Ref	Expression
fsuppimpd.f	⊢ (𝜑 → 𝐹 finSupp 𝑍)

Assertion

Ref	Expression
fsuppimpd	⊢ (𝜑 → (𝐹 supp 𝑍) ∈ Fin)

Proof of Theorem fsuppimpd

Step	Hyp	Ref	Expression
1		fsuppimpd.f	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐹 finSupp 𝑍)
2		fsuppimp 8281	. . 3 ⊢ (𝐹 finSupp 𝑍 → (Fun 𝐹 ∧ (𝐹 supp 𝑍) ∈ Fin))
3	2	simprd 479	. 2 ⊢ (𝐹 finSupp 𝑍 → (𝐹 supp 𝑍) ∈ Fin)
4	1, 3	syl 17	1 ⊢ (𝜑 → (𝐹 supp 𝑍) ∈ Fin)

Syntax hints:   → wi 4   ∈ wcel 1990   class class class wbr 4653  Fun wfun 5882  (class class class)co 6650   supp csupp 7295  Fincfn 7955   finSupp cfsupp 8275

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1722  ax-4 1737  ax-5 1839  ax-6 1888  ax-7 1935  ax-9 1999  ax-10 2019  ax-11 2034  ax-12 2047  ax-13 2246  ax-ext 2602  ax-sep 4781  ax-nul 4789  ax-pr 4906

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3an 1039  df-tru 1486  df-ex 1705  df-nf 1710  df-sb 1881  df-eu 2474  df-mo 2475  df-clab 2609  df-cleq 2615  df-clel 2618  df-nfc 2753  df-ral 2917  df-rex 2918  df-rab 2921  df-v 3202  df-dif 3577  df-un 3579  df-in 3581  df-ss 3588  df-nul 3916  df-if 4087  df-sn 4178  df-pr 4180  df-op 4184  df-uni 4437  df-br 4654  df-opab 4713  df-xp 5120  df-rel 5121  df-cnv 5122  df-co 5123  df-iota 5851  df-fun 5890  df-fv 5896  df-ov 6653  df-fsupp 8276

This theorem is referenced by:  fsuppsssupp  8291  fsuppxpfi  8292  fsuppun  8294  resfsupp  8302  fsuppmptif  8305  fsuppco  8307  fsuppco2  8308  fsuppcor  8309  cantnfcl  8564  cantnfp1lem1  8575  fsuppmapnn0fiublem  12789  fsuppmapnn0fiub  12790  fsuppmapnn0fiubOLD  12791  fsuppmapnn0ub  12795  gsumzcl  18312  gsumcl  18316  gsumzadd  18322  gsumzmhm  18337  gsumzoppg  18344  gsum2dlem1  18369  gsum2dlem2  18370  gsum2d  18371  gsumdixp  18609  lcomfsupp  18903  mptscmfsupp0  18928  mplcoe1  19465  mplbas2  19470  psrbagev1  19510  evlslem2  19512  evlslem6  19513  regsumsupp  19968  frlmphllem  20119  uvcresum  20132  frlmsslsp  20135  frlmup1  20137  tsmsgsum  21942  rrxcph  23180  rrxfsupp  23185  mdegldg  23826  mdegcl  23829  plypf1  23968  rmfsupp  42155  mndpfsupp  42157  scmfsupp  42159  lincresunit2  42267