Theorem limensuci 8136

Description: A limit ordinal is equinumerous to its successor. (Contributed by NM, 30-Oct-2003.)

Hypothesis

Ref	Expression
limensuci.1	⊢ Lim 𝐴

Assertion

Ref	Expression
limensuci	⊢ (𝐴 ∈ 𝑉 → 𝐴 ≈ suc 𝐴)

Proof of Theorem limensuci

Step	Hyp	Ref	Expression
1		limensuci.1	. . . . 5 ⊢ Lim 𝐴
2	1	limenpsi 8135	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ 𝑉 → 𝐴 ≈ (𝐴 ∖ {∅}))
3	2	ensymd 8007	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ 𝑉 → (𝐴 ∖ {∅}) ≈ 𝐴)
4		0ex 4790	. . . 4 ⊢ ∅ ∈ V
5		en2sn 8037	. . . 4 ⊢ ((∅ ∈ V ∧ 𝐴 ∈ 𝑉) → {∅} ≈ {𝐴})
6	4, 5	mpan 706	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ 𝑉 → {∅} ≈ {𝐴})
7		incom 3805	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∖ {∅}) ∩ {∅}) = ({∅} ∩ (𝐴 ∖ {∅}))
8		disjdif 4040	. . . . 5 ⊢ ({∅} ∩ (𝐴 ∖ {∅})) = ∅
9	7, 8	eqtri 2644	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∖ {∅}) ∩ {∅}) = ∅
10		limord 5784	. . . . . . 7 ⊢ (Lim 𝐴 → Ord 𝐴)
11	1, 10	ax-mp 5	. . . . . 6 ⊢ Ord 𝐴
12		ordirr 5741	. . . . . 6 ⊢ (Ord 𝐴 → ¬ 𝐴 ∈ 𝐴)
13	11, 12	ax-mp 5	. . . . 5 ⊢ ¬ 𝐴 ∈ 𝐴
14		disjsn 4246	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∩ {𝐴}) = ∅ ↔ ¬ 𝐴 ∈ 𝐴)
15	13, 14	mpbir 221	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∩ {𝐴}) = ∅
16		unen 8040	. . . 4 ⊢ ((((𝐴 ∖ {∅}) ≈ 𝐴 ∧ {∅} ≈ {𝐴}) ∧ (((𝐴 ∖ {∅}) ∩ {∅}) = ∅ ∧ (𝐴 ∩ {𝐴}) = ∅)) → ((𝐴 ∖ {∅}) ∪ {∅}) ≈ (𝐴 ∪ {𝐴}))
17	9, 15, 16	mpanr12 721	. . 3 ⊢ (((𝐴 ∖ {∅}) ≈ 𝐴 ∧ {∅} ≈ {𝐴}) → ((𝐴 ∖ {∅}) ∪ {∅}) ≈ (𝐴 ∪ {𝐴}))
18	3, 6, 17	syl2anc 693	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ 𝑉 → ((𝐴 ∖ {∅}) ∪ {∅}) ≈ (𝐴 ∪ {𝐴}))
19		0ellim 5787	. . . . . 6 ⊢ (Lim 𝐴 → ∅ ∈ 𝐴)
20	1, 19	ax-mp 5	. . . . 5 ⊢ ∅ ∈ 𝐴
21	4	snss 4316	. . . . 5 ⊢ (∅ ∈ 𝐴 ↔ {∅} ⊆ 𝐴)
22	20, 21	mpbi 220	. . . 4 ⊢ {∅} ⊆ 𝐴
23		undif 4049	. . . 4 ⊢ ({∅} ⊆ 𝐴 ↔ ({∅} ∪ (𝐴 ∖ {∅})) = 𝐴)
24	22, 23	mpbi 220	. . 3 ⊢ ({∅} ∪ (𝐴 ∖ {∅})) = 𝐴
25		uncom 3757	. . 3 ⊢ ({∅} ∪ (𝐴 ∖ {∅})) = ((𝐴 ∖ {∅}) ∪ {∅})
26	24, 25	eqtr3i 2646	. 2 ⊢ 𝐴 = ((𝐴 ∖ {∅}) ∪ {∅})
27		df-suc 5729	. 2 ⊢ suc 𝐴 = (𝐴 ∪ {𝐴})
28	18, 26, 27	3brtr4g 4687	1 ⊢ (𝐴 ∈ 𝑉 → 𝐴 ≈ suc 𝐴)

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ∧ wa 384   = wceq 1483   ∈ wcel 1990  Vcvv 3200   ∖ cdif 3571   ∪ cun 3572   ∩ cin 3573   ⊆ wss 3574  ∅c0 3915  {csn 4177   class class class wbr 4653  Ord word 5722  Lim wlim 5724  suc csuc 5725   ≈ cen 7952

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1722  ax-4 1737  ax-5 1839  ax-6 1888  ax-7 1935  ax-8 1992  ax-9 1999  ax-10 2019  ax-11 2034  ax-12 2047  ax-13 2246  ax-ext 2602  ax-sep 4781  ax-nul 4789  ax-pow 4843  ax-pr 4906  ax-un 6949

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1038  df-3an 1039  df-tru 1486  df-ex 1705  df-nf 1710  df-sb 1881  df-eu 2474  df-mo 2475  df-clab 2609  df-cleq 2615  df-clel 2618  df-nfc 2753  df-ne 2795  df-ral 2917  df-rex 2918  df-rab 2921  df-v 3202  df-sbc 3436  df-csb 3534  df-dif 3577  df-un 3579  df-in 3581  df-ss 3588  df-pss 3590  df-nul 3916  df-if 4087  df-pw 4160  df-sn 4178  df-pr 4180  df-tp 4182  df-op 4184  df-uni 4437  df-br 4654  df-opab 4713  df-mpt 4730  df-tr 4753  df-id 5024  df-eprel 5029  df-po 5035  df-so 5036  df-fr 5073  df-we 5075  df-xp 5120  df-rel 5121  df-cnv 5122  df-co 5123  df-dm 5124  df-rn 5125  df-res 5126  df-ima 5127  df-ord 5726  df-on 5727  df-lim 5728  df-suc 5729  df-iota 5851  df-fun 5890  df-fn 5891  df-f 5892  df-f1 5893  df-fo 5894  df-f1o 5895  df-fv 5896  df-1o 7560  df-er 7742  df-en 7956  df-dom 7957

This theorem is referenced by:  limensuc  8137  infensuc  8138  omensuc  8553