Theorem limensuci 8136

Description: A limit ordinal is equinumerous to its successor. (Contributed by NM, 30-Oct-2003.)

Hypothesis

Ref	Expression
limensuci.1	|- Lim A

Assertion

Ref	Expression
limensuci	|- ( A e. V -> A ~~ suc A )

Proof of Theorem limensuci

Step	Hyp	Ref	Expression
1		limensuci.1	. . . . 5 |- Lim A
2	1	limenpsi 8135	. . . 4 |- ( A e. V -> A ~~ ( A \ { (/) } ) )
3	2	ensymd 8007	. . 3 |- ( A e. V -> ( A \ { (/) } ) ~~ A )
4		0ex 4790	. . . 4 |- (/) e. _V
5		en2sn 8037	. . . 4 |- ( ( (/) e. _V /\ A e. V ) -> { (/) } ~~ { A } )
6	4, 5	mpan 706	. . 3 |- ( A e. V -> { (/) } ~~ { A } )
7		incom 3805	. . . . 5 |- ( ( A \ { (/) } ) i^i { (/) } ) = ( { (/) } i^i ( A \ { (/) } ) )
8		disjdif 4040	. . . . 5 |- ( { (/) } i^i ( A \ { (/) } ) ) = (/)
9	7, 8	eqtri 2644	. . . 4 |- ( ( A \ { (/) } ) i^i { (/) } ) = (/)
10		limord 5784	. . . . . . 7 |- ( Lim A -> Ord A )
11	1, 10	ax-mp 5	. . . . . 6 |- Ord A
12		ordirr 5741	. . . . . 6 |- ( Ord A -> -. A e. A )
13	11, 12	ax-mp 5	. . . . 5 |- -. A e. A
14		disjsn 4246	. . . . 5 |- ( ( A i^i { A } ) = (/) <-> -. A e. A )
15	13, 14	mpbir 221	. . . 4 |- ( A i^i { A } ) = (/)
16		unen 8040	. . . 4 |- ( ( ( ( A \ { (/) } ) ~~ A /\ { (/) } ~~ { A } ) /\ ( ( ( A \ { (/) } ) i^i { (/) } ) = (/) /\ ( A i^i { A } ) = (/) ) ) -> ( ( A \ { (/) } ) u. { (/) } ) ~~ ( A u. { A } ) )
17	9, 15, 16	mpanr12 721	. . 3 |- ( ( ( A \ { (/) } ) ~~ A /\ { (/) } ~~ { A } ) -> ( ( A \ { (/) } ) u. { (/) } ) ~~ ( A u. { A } ) )
18	3, 6, 17	syl2anc 693	. 2 |- ( A e. V -> ( ( A \ { (/) } ) u. { (/) } ) ~~ ( A u. { A } ) )
19		0ellim 5787	. . . . . 6 |- ( Lim A -> (/) e. A )
20	1, 19	ax-mp 5	. . . . 5 |- (/) e. A
21	4	snss 4316	. . . . 5 |- ( (/) e. A <-> { (/) } C_ A )
22	20, 21	mpbi 220	. . . 4 |- { (/) } C_ A
23		undif 4049	. . . 4 |- ( { (/) } C_ A <-> ( { (/) } u. ( A \ { (/) } ) ) = A )
24	22, 23	mpbi 220	. . 3 |- ( { (/) } u. ( A \ { (/) } ) ) = A
25		uncom 3757	. . 3 |- ( { (/) } u. ( A \ { (/) } ) ) = ( ( A \ { (/) } ) u. { (/) } )
26	24, 25	eqtr3i 2646	. 2 |- A = ( ( A \ { (/) } ) u. { (/) } )
27		df-suc 5729	. 2 |- suc A = ( A u. { A } )
28	18, 26, 27	3brtr4g 4687	1 |- ( A e. V -> A ~~ suc A )

Syntax hints:   -. wn 3   -> wi 4   /\ wa 384   = wceq 1483   e. wcel 1990   _Vcvv 3200   \ cdif 3571   u. cun 3572   i^i cin 3573   C_ wss 3574   (/)c0 3915   {csn 4177   class class class wbr 4653   Ord word 5722   Lim wlim 5724   suc csuc 5725   ~~ cen 7952

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1722  ax-4 1737  ax-5 1839  ax-6 1888  ax-7 1935  ax-8 1992  ax-9 1999  ax-10 2019  ax-11 2034  ax-12 2047  ax-13 2246  ax-ext 2602  ax-sep 4781  ax-nul 4789  ax-pow 4843  ax-pr 4906  ax-un 6949

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1038  df-3an 1039  df-tru 1486  df-ex 1705  df-nf 1710  df-sb 1881  df-eu 2474  df-mo 2475  df-clab 2609  df-cleq 2615  df-clel 2618  df-nfc 2753  df-ne 2795  df-ral 2917  df-rex 2918  df-rab 2921  df-v 3202  df-sbc 3436  df-csb 3534  df-dif 3577  df-un 3579  df-in 3581  df-ss 3588  df-pss 3590  df-nul 3916  df-if 4087  df-pw 4160  df-sn 4178  df-pr 4180  df-tp 4182  df-op 4184  df-uni 4437  df-br 4654  df-opab 4713  df-mpt 4730  df-tr 4753  df-id 5024  df-eprel 5029  df-po 5035  df-so 5036  df-fr 5073  df-we 5075  df-xp 5120  df-rel 5121  df-cnv 5122  df-co 5123  df-dm 5124  df-rn 5125  df-res 5126  df-ima 5127  df-ord 5726  df-on 5727  df-lim 5728  df-suc 5729  df-iota 5851  df-fun 5890  df-fn 5891  df-f 5892  df-f1 5893  df-fo 5894  df-f1o 5895  df-fv 5896  df-1o 7560  df-er 7742  df-en 7956  df-dom 7957

This theorem is referenced by:  limensuc  8137  infensuc  8138  omensuc  8553