Theorem lo1add 14357

Description: The sum of two eventually upper bounded functions is eventually upper bounded. (Contributed by Mario Carneiro, 26-May-2016.)

Hypotheses

Ref	Expression
o1add2.1	⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → 𝐵 ∈ 𝑉)
o1add2.2	⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → 𝐶 ∈ 𝑉)
lo1add.3	⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵) ∈ ≤𝑂(1))
lo1add.4	⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐶) ∈ ≤𝑂(1))

Assertion

Ref	Expression
lo1add	⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ (𝐵 + 𝐶)) ∈ ≤𝑂(1))

Distinct variable groups:   𝑥,𝐴   𝜑,𝑥

Allowed substitution hints:   𝐵(𝑥)   𝐶(𝑥)   𝑉(𝑥)

Proof of Theorem lo1add

Dummy variables 𝑚 𝑐 𝑛 𝑝 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		lo1add.3	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵) ∈ ≤𝑂(1))
2		lo1add.4	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐶) ∈ ≤𝑂(1))
3		reeanv 3107	. . . 4 ⊢ (∃𝑚 ∈ ℝ ∃𝑛 ∈ ℝ (∃𝑐 ∈ ℝ ∀𝑥 ∈ 𝐴 (𝑐 ≤ 𝑥 → 𝐵 ≤ 𝑚) ∧ ∃𝑐 ∈ ℝ ∀𝑥 ∈ 𝐴 (𝑐 ≤ 𝑥 → 𝐶 ≤ 𝑛)) ↔ (∃𝑚 ∈ ℝ ∃𝑐 ∈ ℝ ∀𝑥 ∈ 𝐴 (𝑐 ≤ 𝑥 → 𝐵 ≤ 𝑚) ∧ ∃𝑛 ∈ ℝ ∃𝑐 ∈ ℝ ∀𝑥 ∈ 𝐴 (𝑐 ≤ 𝑥 → 𝐶 ≤ 𝑛)))
4		o1add2.1	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → 𝐵 ∈ 𝑉)
5	4	ralrimiva 2966	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → ∀𝑥 ∈ 𝐴 𝐵 ∈ 𝑉)
6		dmmptg 5632	. . . . . . . . . 10 ⊢ (∀𝑥 ∈ 𝐴 𝐵 ∈ 𝑉 → dom (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵) = 𝐴)
7	5, 6	syl 17	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → dom (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵) = 𝐴)
8		lo1dm 14250	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵) ∈ ≤𝑂(1) → dom (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵) ⊆ ℝ)
9	1, 8	syl 17	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → dom (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵) ⊆ ℝ)
10	7, 9	eqsstr3d 3640	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ⊆ ℝ)
11	10	adantr 481	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑚 ∈ ℝ ∧ 𝑛 ∈ ℝ)) → 𝐴 ⊆ ℝ)
12		rexanre 14086	. . . . . . 7 ⊢ (𝐴 ⊆ ℝ → (∃𝑐 ∈ ℝ ∀𝑥 ∈ 𝐴 (𝑐 ≤ 𝑥 → (𝐵 ≤ 𝑚 ∧ 𝐶 ≤ 𝑛)) ↔ (∃𝑐 ∈ ℝ ∀𝑥 ∈ 𝐴 (𝑐 ≤ 𝑥 → 𝐵 ≤ 𝑚) ∧ ∃𝑐 ∈ ℝ ∀𝑥 ∈ 𝐴 (𝑐 ≤ 𝑥 → 𝐶 ≤ 𝑛))))
13	11, 12	syl 17	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑚 ∈ ℝ ∧ 𝑛 ∈ ℝ)) → (∃𝑐 ∈ ℝ ∀𝑥 ∈ 𝐴 (𝑐 ≤ 𝑥 → (𝐵 ≤ 𝑚 ∧ 𝐶 ≤ 𝑛)) ↔ (∃𝑐 ∈ ℝ ∀𝑥 ∈ 𝐴 (𝑐 ≤ 𝑥 → 𝐵 ≤ 𝑚) ∧ ∃𝑐 ∈ ℝ ∀𝑥 ∈ 𝐴 (𝑐 ≤ 𝑥 → 𝐶 ≤ 𝑛))))
14		readdcl 10019	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑚 ∈ ℝ ∧ 𝑛 ∈ ℝ) → (𝑚 + 𝑛) ∈ ℝ)
15	14	adantl 482	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑚 ∈ ℝ ∧ 𝑛 ∈ ℝ)) → (𝑚 + 𝑛) ∈ ℝ)
16	4, 1	lo1mptrcl 14352	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → 𝐵 ∈ ℝ)
17	16	adantlr 751	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑚 ∈ ℝ ∧ 𝑛 ∈ ℝ)) ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → 𝐵 ∈ ℝ)
18		o1add2.2	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → 𝐶 ∈ 𝑉)
19	18, 2	lo1mptrcl 14352	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → 𝐶 ∈ ℝ)
20	19	adantlr 751	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑚 ∈ ℝ ∧ 𝑛 ∈ ℝ)) ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → 𝐶 ∈ ℝ)
21		simplrl 800	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑚 ∈ ℝ ∧ 𝑛 ∈ ℝ)) ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → 𝑚 ∈ ℝ)
22		simplrr 801	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑚 ∈ ℝ ∧ 𝑛 ∈ ℝ)) ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → 𝑛 ∈ ℝ)
23		le2add 10510	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) ∧ (𝑚 ∈ ℝ ∧ 𝑛 ∈ ℝ)) → ((𝐵 ≤ 𝑚 ∧ 𝐶 ≤ 𝑛) → (𝐵 + 𝐶) ≤ (𝑚 + 𝑛)))
24	17, 20, 21, 22, 23	syl22anc 1327	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑚 ∈ ℝ ∧ 𝑛 ∈ ℝ)) ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → ((𝐵 ≤ 𝑚 ∧ 𝐶 ≤ 𝑛) → (𝐵 + 𝐶) ≤ (𝑚 + 𝑛)))
25	24	imim2d 57	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑚 ∈ ℝ ∧ 𝑛 ∈ ℝ)) ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → ((𝑐 ≤ 𝑥 → (𝐵 ≤ 𝑚 ∧ 𝐶 ≤ 𝑛)) → (𝑐 ≤ 𝑥 → (𝐵 + 𝐶) ≤ (𝑚 + 𝑛))))
26	25	ralimdva 2962	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑚 ∈ ℝ ∧ 𝑛 ∈ ℝ)) → (∀𝑥 ∈ 𝐴 (𝑐 ≤ 𝑥 → (𝐵 ≤ 𝑚 ∧ 𝐶 ≤ 𝑛)) → ∀𝑥 ∈ 𝐴 (𝑐 ≤ 𝑥 → (𝐵 + 𝐶) ≤ (𝑚 + 𝑛))))
27		breq2 4657	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑝 = (𝑚 + 𝑛) → ((𝐵 + 𝐶) ≤ 𝑝 ↔ (𝐵 + 𝐶) ≤ (𝑚 + 𝑛)))
28	27	imbi2d 330	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑝 = (𝑚 + 𝑛) → ((𝑐 ≤ 𝑥 → (𝐵 + 𝐶) ≤ 𝑝) ↔ (𝑐 ≤ 𝑥 → (𝐵 + 𝐶) ≤ (𝑚 + 𝑛))))
29	28	ralbidv 2986	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑝 = (𝑚 + 𝑛) → (∀𝑥 ∈ 𝐴 (𝑐 ≤ 𝑥 → (𝐵 + 𝐶) ≤ 𝑝) ↔ ∀𝑥 ∈ 𝐴 (𝑐 ≤ 𝑥 → (𝐵 + 𝐶) ≤ (𝑚 + 𝑛))))
30	29	rspcev 3309	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝑚 + 𝑛) ∈ ℝ ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐴 (𝑐 ≤ 𝑥 → (𝐵 + 𝐶) ≤ (𝑚 + 𝑛))) → ∃𝑝 ∈ ℝ ∀𝑥 ∈ 𝐴 (𝑐 ≤ 𝑥 → (𝐵 + 𝐶) ≤ 𝑝))
31	15, 26, 30	syl6an 568	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑚 ∈ ℝ ∧ 𝑛 ∈ ℝ)) → (∀𝑥 ∈ 𝐴 (𝑐 ≤ 𝑥 → (𝐵 ≤ 𝑚 ∧ 𝐶 ≤ 𝑛)) → ∃𝑝 ∈ ℝ ∀𝑥 ∈ 𝐴 (𝑐 ≤ 𝑥 → (𝐵 + 𝐶) ≤ 𝑝)))
32	31	reximdv 3016	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑚 ∈ ℝ ∧ 𝑛 ∈ ℝ)) → (∃𝑐 ∈ ℝ ∀𝑥 ∈ 𝐴 (𝑐 ≤ 𝑥 → (𝐵 ≤ 𝑚 ∧ 𝐶 ≤ 𝑛)) → ∃𝑐 ∈ ℝ ∃𝑝 ∈ ℝ ∀𝑥 ∈ 𝐴 (𝑐 ≤ 𝑥 → (𝐵 + 𝐶) ≤ 𝑝)))
33	13, 32	sylbird 250	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑚 ∈ ℝ ∧ 𝑛 ∈ ℝ)) → ((∃𝑐 ∈ ℝ ∀𝑥 ∈ 𝐴 (𝑐 ≤ 𝑥 → 𝐵 ≤ 𝑚) ∧ ∃𝑐 ∈ ℝ ∀𝑥 ∈ 𝐴 (𝑐 ≤ 𝑥 → 𝐶 ≤ 𝑛)) → ∃𝑐 ∈ ℝ ∃𝑝 ∈ ℝ ∀𝑥 ∈ 𝐴 (𝑐 ≤ 𝑥 → (𝐵 + 𝐶) ≤ 𝑝)))
34	33	rexlimdvva 3038	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (∃𝑚 ∈ ℝ ∃𝑛 ∈ ℝ (∃𝑐 ∈ ℝ ∀𝑥 ∈ 𝐴 (𝑐 ≤ 𝑥 → 𝐵 ≤ 𝑚) ∧ ∃𝑐 ∈ ℝ ∀𝑥 ∈ 𝐴 (𝑐 ≤ 𝑥 → 𝐶 ≤ 𝑛)) → ∃𝑐 ∈ ℝ ∃𝑝 ∈ ℝ ∀𝑥 ∈ 𝐴 (𝑐 ≤ 𝑥 → (𝐵 + 𝐶) ≤ 𝑝)))
35	3, 34	syl5bir 233	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((∃𝑚 ∈ ℝ ∃𝑐 ∈ ℝ ∀𝑥 ∈ 𝐴 (𝑐 ≤ 𝑥 → 𝐵 ≤ 𝑚) ∧ ∃𝑛 ∈ ℝ ∃𝑐 ∈ ℝ ∀𝑥 ∈ 𝐴 (𝑐 ≤ 𝑥 → 𝐶 ≤ 𝑛)) → ∃𝑐 ∈ ℝ ∃𝑝 ∈ ℝ ∀𝑥 ∈ 𝐴 (𝑐 ≤ 𝑥 → (𝐵 + 𝐶) ≤ 𝑝)))
36	10, 16	ello1mpt 14252	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ((𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵) ∈ ≤𝑂(1) ↔ ∃𝑐 ∈ ℝ ∃𝑚 ∈ ℝ ∀𝑥 ∈ 𝐴 (𝑐 ≤ 𝑥 → 𝐵 ≤ 𝑚)))
37		rexcom 3099	. . . . 5 ⊢ (∃𝑐 ∈ ℝ ∃𝑚 ∈ ℝ ∀𝑥 ∈ 𝐴 (𝑐 ≤ 𝑥 → 𝐵 ≤ 𝑚) ↔ ∃𝑚 ∈ ℝ ∃𝑐 ∈ ℝ ∀𝑥 ∈ 𝐴 (𝑐 ≤ 𝑥 → 𝐵 ≤ 𝑚))
38	36, 37	syl6bb 276	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ((𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵) ∈ ≤𝑂(1) ↔ ∃𝑚 ∈ ℝ ∃𝑐 ∈ ℝ ∀𝑥 ∈ 𝐴 (𝑐 ≤ 𝑥 → 𝐵 ≤ 𝑚)))
39	10, 19	ello1mpt 14252	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ((𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐶) ∈ ≤𝑂(1) ↔ ∃𝑐 ∈ ℝ ∃𝑛 ∈ ℝ ∀𝑥 ∈ 𝐴 (𝑐 ≤ 𝑥 → 𝐶 ≤ 𝑛)))
40		rexcom 3099	. . . . 5 ⊢ (∃𝑐 ∈ ℝ ∃𝑛 ∈ ℝ ∀𝑥 ∈ 𝐴 (𝑐 ≤ 𝑥 → 𝐶 ≤ 𝑛) ↔ ∃𝑛 ∈ ℝ ∃𝑐 ∈ ℝ ∀𝑥 ∈ 𝐴 (𝑐 ≤ 𝑥 → 𝐶 ≤ 𝑛))
41	39, 40	syl6bb 276	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ((𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐶) ∈ ≤𝑂(1) ↔ ∃𝑛 ∈ ℝ ∃𝑐 ∈ ℝ ∀𝑥 ∈ 𝐴 (𝑐 ≤ 𝑥 → 𝐶 ≤ 𝑛)))
42	38, 41	anbi12d 747	. . 3 ⊢ (𝜑 → (((𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵) ∈ ≤𝑂(1) ∧ (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐶) ∈ ≤𝑂(1)) ↔ (∃𝑚 ∈ ℝ ∃𝑐 ∈ ℝ ∀𝑥 ∈ 𝐴 (𝑐 ≤ 𝑥 → 𝐵 ≤ 𝑚) ∧ ∃𝑛 ∈ ℝ ∃𝑐 ∈ ℝ ∀𝑥 ∈ 𝐴 (𝑐 ≤ 𝑥 → 𝐶 ≤ 𝑛))))
43	16, 19	readdcld 10069	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → (𝐵 + 𝐶) ∈ ℝ)
44	10, 43	ello1mpt 14252	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((𝑥 ∈ 𝐴 ↦ (𝐵 + 𝐶)) ∈ ≤𝑂(1) ↔ ∃𝑐 ∈ ℝ ∃𝑝 ∈ ℝ ∀𝑥 ∈ 𝐴 (𝑐 ≤ 𝑥 → (𝐵 + 𝐶) ≤ 𝑝)))
45	35, 42, 44	3imtr4d 283	. 2 ⊢ (𝜑 → (((𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵) ∈ ≤𝑂(1) ∧ (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐶) ∈ ≤𝑂(1)) → (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ (𝐵 + 𝐶)) ∈ ≤𝑂(1)))
46	1, 2, 45	mp2and 715	1 ⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ (𝐵 + 𝐶)) ∈ ≤𝑂(1))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 196   ∧ wa 384   = wceq 1483   ∈ wcel 1990  ∀wral 2912  ∃wrex 2913   ⊆ wss 3574   class class class wbr 4653   ↦ cmpt 4729  dom cdm 5114  (class class class)co 6650  ℝcr 9935   + caddc 9939   ≤ cle 10075  ≤𝑂(1)clo1 14218

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1722  ax-4 1737  ax-5 1839  ax-6 1888  ax-7 1935  ax-8 1992  ax-9 1999  ax-10 2019  ax-11 2034  ax-12 2047  ax-13 2246  ax-ext 2602  ax-sep 4781  ax-nul 4789  ax-pow 4843  ax-pr 4906  ax-un 6949  ax-cnex 9992  ax-resscn 9993  ax-1cn 9994  ax-icn 9995  ax-addcl 9996  ax-addrcl 9997  ax-mulcl 9998  ax-mulrcl 9999  ax-mulcom 10000  ax-addass 10001  ax-mulass 10002  ax-distr 10003  ax-i2m1 10004  ax-1ne0 10005  ax-1rid 10006  ax-rnegex 10007  ax-rrecex 10008  ax-cnre 10009  ax-pre-lttri 10010  ax-pre-lttrn 10011  ax-pre-ltadd 10012

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1038  df-3an 1039  df-tru 1486  df-ex 1705  df-nf 1710  df-sb 1881  df-eu 2474  df-mo 2475  df-clab 2609  df-cleq 2615  df-clel 2618  df-nfc 2753  df-ne 2795  df-nel 2898  df-ral 2917  df-rex 2918  df-rab 2921  df-v 3202  df-sbc 3436  df-csb 3534  df-dif 3577  df-un 3579  df-in 3581  df-ss 3588  df-nul 3916  df-if 4087  df-pw 4160  df-sn 4178  df-pr 4180  df-op 4184  df-uni 4437  df-br 4654  df-opab 4713  df-mpt 4730  df-id 5024  df-po 5035  df-so 5036  df-xp 5120  df-rel 5121  df-cnv 5122  df-co 5123  df-dm 5124  df-rn 5125  df-res 5126  df-ima 5127  df-iota 5851  df-fun 5890  df-fn 5891  df-f 5892  df-f1 5893  df-fo 5894  df-f1o 5895  df-fv 5896  df-ov 6653  df-oprab 6654  df-mpt2 6655  df-er 7742  df-pm 7860  df-en 7956  df-dom 7957  df-sdom 7958  df-pnf 10076  df-mnf 10077  df-xr 10078  df-ltxr 10079  df-le 10080  df-ico 12181  df-lo1 14222

This theorem is referenced by:  lo1sub  14361  pntrlog2bndlem4  25269  pntrlog2bndlem5  25270  pntrlog2bndlem6  25272