Theorem ltexprlem2 9859

Description: Lemma for Proposition 9-3.5(iv) of [Gleason] p. 123. (Contributed by NM, 3-Apr-1996.) (New usage is discouraged.)

Hypothesis

Ref	Expression
ltexprlem.1	⊢ 𝐶 = {𝑥 ∣ ∃𝑦(¬ 𝑦 ∈ 𝐴 ∧ (𝑦 +Q 𝑥) ∈ 𝐵)}

Assertion

Ref	Expression
ltexprlem2	⊢ (𝐵 ∈ P → 𝐶 ⊊ Q)

Distinct variable groups:   𝑥,𝑦,𝐴   𝑥,𝐵,𝑦   𝑥,𝐶

Allowed substitution hint:   𝐶(𝑦)

Proof of Theorem ltexprlem2

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ltexprlem.1	. . . . 5 ⊢ 𝐶 = {𝑥 ∣ ∃𝑦(¬ 𝑦 ∈ 𝐴 ∧ (𝑦 +Q 𝑥) ∈ 𝐵)}
2	1	abeq2i 2735	. . . 4 ⊢ (𝑥 ∈ 𝐶 ↔ ∃𝑦(¬ 𝑦 ∈ 𝐴 ∧ (𝑦 +Q 𝑥) ∈ 𝐵))
3		elprnq 9813	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐵 ∈ P ∧ (𝑦 +Q 𝑥) ∈ 𝐵) → (𝑦 +Q 𝑥) ∈ Q)
4		addnqf 9770	. . . . . . . . . . 11 ⊢ +Q :(Q × Q)⟶Q
5	4	fdmi 6052	. . . . . . . . . 10 ⊢ dom +Q = (Q × Q)
6		0nnq 9746	. . . . . . . . . 10 ⊢ ¬ ∅ ∈ Q
7	5, 6	ndmovrcl 6820	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑦 +Q 𝑥) ∈ Q → (𝑦 ∈ Q ∧ 𝑥 ∈ Q))
8	3, 7	syl 17	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐵 ∈ P ∧ (𝑦 +Q 𝑥) ∈ 𝐵) → (𝑦 ∈ Q ∧ 𝑥 ∈ Q))
9		ltaddnq 9796	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑥 ∈ Q ∧ 𝑦 ∈ Q) → 𝑥 <Q (𝑥 +Q 𝑦))
10	9	ancoms 469	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑦 ∈ Q ∧ 𝑥 ∈ Q) → 𝑥 <Q (𝑥 +Q 𝑦))
11		addcomnq 9773	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑥 +Q 𝑦) = (𝑦 +Q 𝑥)
12	10, 11	syl6breq 4694	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑦 ∈ Q ∧ 𝑥 ∈ Q) → 𝑥 <Q (𝑦 +Q 𝑥))
13		prcdnq 9815	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐵 ∈ P ∧ (𝑦 +Q 𝑥) ∈ 𝐵) → (𝑥 <Q (𝑦 +Q 𝑥) → 𝑥 ∈ 𝐵))
14	12, 13	syl5 34	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐵 ∈ P ∧ (𝑦 +Q 𝑥) ∈ 𝐵) → ((𝑦 ∈ Q ∧ 𝑥 ∈ Q) → 𝑥 ∈ 𝐵))
15	8, 14	mpd 15	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐵 ∈ P ∧ (𝑦 +Q 𝑥) ∈ 𝐵) → 𝑥 ∈ 𝐵)
16	15	ex 450	. . . . . 6 ⊢ (𝐵 ∈ P → ((𝑦 +Q 𝑥) ∈ 𝐵 → 𝑥 ∈ 𝐵))
17	16	adantld 483	. . . . 5 ⊢ (𝐵 ∈ P → ((¬ 𝑦 ∈ 𝐴 ∧ (𝑦 +Q 𝑥) ∈ 𝐵) → 𝑥 ∈ 𝐵))
18	17	exlimdv 1861	. . . 4 ⊢ (𝐵 ∈ P → (∃𝑦(¬ 𝑦 ∈ 𝐴 ∧ (𝑦 +Q 𝑥) ∈ 𝐵) → 𝑥 ∈ 𝐵))
19	2, 18	syl5bi 232	. . 3 ⊢ (𝐵 ∈ P → (𝑥 ∈ 𝐶 → 𝑥 ∈ 𝐵))
20	19	ssrdv 3609	. 2 ⊢ (𝐵 ∈ P → 𝐶 ⊆ 𝐵)
21		prpssnq 9812	. 2 ⊢ (𝐵 ∈ P → 𝐵 ⊊ Q)
22	20, 21	sspsstrd 3715	1 ⊢ (𝐵 ∈ P → 𝐶 ⊊ Q)

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ∧ wa 384   = wceq 1483  ∃wex 1704   ∈ wcel 1990  {cab 2608   ⊊ wpss 3575   class class class wbr 4653   × cxp 5112  (class class class)co 6650  Qcnq 9674   +_Q cplq 9677   <_Q cltq 9680  Pcnp 9681

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1722  ax-4 1737  ax-5 1839  ax-6 1888  ax-7 1935  ax-8 1992  ax-9 1999  ax-10 2019  ax-11 2034  ax-12 2047  ax-13 2246  ax-ext 2602  ax-sep 4781  ax-nul 4789  ax-pow 4843  ax-pr 4906  ax-un 6949

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1038  df-3an 1039  df-tru 1486  df-ex 1705  df-nf 1710  df-sb 1881  df-eu 2474  df-mo 2475  df-clab 2609  df-cleq 2615  df-clel 2618  df-nfc 2753  df-ne 2795  df-ral 2917  df-rex 2918  df-reu 2919  df-rmo 2920  df-rab 2921  df-v 3202  df-sbc 3436  df-csb 3534  df-dif 3577  df-un 3579  df-in 3581  df-ss 3588  df-pss 3590  df-nul 3916  df-if 4087  df-pw 4160  df-sn 4178  df-pr 4180  df-tp 4182  df-op 4184  df-uni 4437  df-iun 4522  df-br 4654  df-opab 4713  df-mpt 4730  df-tr 4753  df-id 5024  df-eprel 5029  df-po 5035  df-so 5036  df-fr 5073  df-we 5075  df-xp 5120  df-rel 5121  df-cnv 5122  df-co 5123  df-dm 5124  df-rn 5125  df-res 5126  df-ima 5127  df-pred 5680  df-ord 5726  df-on 5727  df-lim 5728  df-suc 5729  df-iota 5851  df-fun 5890  df-fn 5891  df-f 5892  df-f1 5893  df-fo 5894  df-f1o 5895  df-fv 5896  df-ov 6653  df-oprab 6654  df-mpt2 6655  df-om 7066  df-1st 7168  df-2nd 7169  df-wrecs 7407  df-recs 7468  df-rdg 7506  df-1o 7560  df-oadd 7564  df-omul 7565  df-er 7742  df-ni 9694  df-pli 9695  df-mi 9696  df-lti 9697  df-plpq 9730  df-mpq 9731  df-ltpq 9732  df-enq 9733  df-nq 9734  df-erq 9735  df-plq 9736  df-mq 9737  df-1nq 9738  df-ltnq 9740  df-np 9803

This theorem is referenced by:  ltexprlem5  9862