Theorem ltlecasei 10145

Description: Ordering elimination by cases. (Contributed by NM, 1-Jul-2007.) (Proof shortened by Mario Carneiro, 27-May-2016.)

Hypotheses

Ref	Expression
ltlecasei.1	⊢ ((𝜑 ∧ 𝐴 < 𝐵) → 𝜓)
ltlecasei.2	⊢ ((𝜑 ∧ 𝐵 ≤ 𝐴) → 𝜓)
ltlecasei.3	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ)
ltlecasei.4	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℝ)

Assertion

Ref	Expression
ltlecasei	⊢ (𝜑 → 𝜓)

Proof of Theorem ltlecasei

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ltlecasei.2	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐵 ≤ 𝐴) → 𝜓)
2		ltlecasei.1	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐴 < 𝐵) → 𝜓)
3		ltlecasei.4	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℝ)
4		ltlecasei.3	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ)
5		lelttric 10144	. . 3 ⊢ ((𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ∈ ℝ) → (𝐵 ≤ 𝐴 ∨ 𝐴 < 𝐵))
6	3, 4, 5	syl2anc 693	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝐵 ≤ 𝐴 ∨ 𝐴 < 𝐵))
7	1, 2, 6	mpjaodan 827	1 ⊢ (𝜑 → 𝜓)

Syntax hints:   → wi 4   ∨ wo 383   ∧ wa 384   ∈ wcel 1990   class class class wbr 4653  ℝcr 9935   < clt 10074   ≤ cle 10075

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1722  ax-4 1737  ax-5 1839  ax-6 1888  ax-7 1935  ax-9 1999  ax-10 2019  ax-11 2034  ax-12 2047  ax-13 2246  ax-ext 2602  ax-sep 4781  ax-nul 4789  ax-pr 4906

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3an 1039  df-tru 1486  df-ex 1705  df-nf 1710  df-sb 1881  df-eu 2474  df-mo 2475  df-clab 2609  df-cleq 2615  df-clel 2618  df-nfc 2753  df-ral 2917  df-rex 2918  df-rab 2921  df-v 3202  df-dif 3577  df-un 3579  df-in 3581  df-ss 3588  df-nul 3916  df-if 4087  df-sn 4178  df-pr 4180  df-op 4184  df-br 4654  df-opab 4713  df-xp 5120  df-cnv 5122  df-xr 10078  df-le 10080

This theorem is referenced by:  iccsplit  12305  expnbnd  12993  hashf1  13241  absmax  14069  sinltx  14919  iccntr  22624  pmltpclem2  23218  cniccbdd  23230  iccvolcl  23335  ioovolcl  23338  dyaddisjlem  23363  mbfposr  23419  itg1ge0a  23478  itg2monolem1  23517  itgioo  23582  c1lip1  23760  plyeq0lem  23966  aalioulem5  24091  pserulm  24176  tanord  24284  birthdaylem3  24680  fsumharmonic  24738  chpo1ubb  25170  mblfinlem2  33447  ioodvbdlimc1  40148  ioodvbdlimc2  40150  ibliooicc  40187  fourierdlem107  40430